关于python:Python函数式编程系列005离题之定义自然数

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在咱们曾经把握了那么多建管子的办法之后，咱们开始切题，看看咱们能用起码的概念做哪些自举产生的事。在这一章中咱们讲仅应用字符串 "e"，函数，if-else 分支，=="e"运算，这四个概念来实现一个自然数的概念（理论中还用到了 bool 值，不过 bool 自身也能够用 "e" 和f("e")示意）。

咱们首先回顾一下，数学如何定义即皮亚诺公理如何定义自然数，事实上，皮亚诺公理定义的是「有限可数集」的概念

(1) $$e \in S$$

(2) $$(\forall a \in S)(f(a) \in S)$$

(3) $$(\forall b \in S)(\forall c \in S)(f(b) = f(c) \rightarrow b = c)$$

(4) $$(\forall \in S)(f(a) \ne e)$$

(5) $$(\forall A \subseteq S)(((e \in A) \land (\forall a \in A)(f(a) \in A)) \rightarrow (A = S))$$

(1) 示意咱们须要一个初始值，来表述咱们能够从第一个货色开始数数，在这个符号集里叫 $e$。对应于自然数的「1」的概念。
(2) 示意往下数一个数的操作，这个符号集里用 $f$表述，咱们个别也把这个操作叫后继。对应自然数中「加一」/「往下数一」的概念
(3) 确定恒等关系。
(4) 确定 $e$不是任何数的后继，保障它是第一个被数的数。
(5) 归纳法

咱们仅仅须要上面两行代码就曾经实现了自然数的全副定义，咱们应用递归示意向下数数，用 "e" 表白了起始值「1」

one = "e" # 1
f = lambda x: lambda : x # 后继

当然，这么一个定义，是没有任何意义的，咱们还须要实现 判断相等 、加法、乘法这三个最简略的算法。首先判断全等的办法就是咱们将两个函数有限地求值上来，看到最初是不是同时失去 "e" 值，这也是对应了性质(3)：

def equal(x, y) -> bool:
    if x =="e" and y =="e":
        return True
    elif x =="e":
        return False
    elif y =="e":
        return False
    else:
        return equal(x(), y())


not_equal = lambda x, y: not(equal(x, y))

留神我在下面的实现中应用了 x =="e" 这种后面带空格而前面不带空格的写法，其实是为了强调，=="e"是一个一元运算，咱们仅应用到了它，而不须要其余概念。而认真探索这个算式，咱们发现其实它也隐式地用到定义 (4)，只有一个不为"e" 咱们就能够确定它们是不相等的。

定义加法其实也是一个非常容易的操作，咱们只须要让一个参数计算后继，一个参数求值产生前继的概念：

def add(x, y):
    if y =="e":
        return f(x)
    else:
        return add(f(x), y())

最初是乘法的概念，这个咱们能够调用 add 来递归实现：

def multiply(x, y):
    if y =="e":
        return x
    else:
        return add(multiply(x, y()), x)

其实咱们也能够同理取得一个自然数求幂的函数，十分相似下面 multiply 的实现

def power(x, y):
    if y =="e":
        return x
    else:
        return multiply(power(x, y()), x)

这样咱们能够十分疾速地给 20 以内的数取名字了：

one = "e"
two = f(one)
three = f(two)
four = f(three)
five= f(four)
six = f(five)
seven = f(six)
eight = f(seven)
nine = f(eight)
ten = f(nine)
eleven = f(ten)
twelve = f(eleven)
thirteen = f(twelve)
fourteen = f(thirteen)
fifteen = f(fourteen)
sixteen = f(fifteen)
seventeen = f(sixteen)
eighteen = f(seventeen)
nineteen = f(eighteen)

OK，最初咱们能够通过 equal 验证咱们的算法对不对：

>>> assert equal(add(two, one), three)
>>> assert not_equal(power(two, three), seven)
>>> assert equal(power(two, three), eight)
>>> assert equal(multiply(three, five), fifteen)

这一篇咱们偏题地实现了一个「自然数」的定义，目标是为了展示，函数式编程的魅力在于：

咱们能够用非常少的概念（在这个例子中是 4 个）就能够自举地实现十分多的事件。这个也是晚期 LISP 语言（一种常见的动静函数式语言）会那么在 AI 畛域或者一些对语言内核大小十分敏感的畛域的起因。
因为函数式编程中的函数和数学上的函数十分靠近，这使得在数学上应用的代数运算，都能够十分不便的实现（当然这一点咱们在前面也会一一例举进去）。

正文完