前言
拟合在数学建模中利用广泛，而最小二乘拟合又是罕用的拟合办法。
数据拟合又称曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的示意形式。迷信和工程问题能够通过诸如采样、试验等办法取得若干离散的数据，依据这些数据，咱们往往心愿失去一个间断的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合(fitting)。                                                                 – 摘自百度百科
最小二乘拟合，咱们从原理登程，给出三个示例并联合 python 代码，从而加深对最小二乘拟合的了解。
1. 原理
首先最小二乘拟合是一种思维，通过最小二乘拟合能够进行线性拟合，多项式拟合，指数拟合 … 等任意模式拟合。
拟合 ：拟合用于解决对于一系列已知的 \(x_i,y_i\) 求 \(y=f(x)\)方程的问题。
最小二分思维 ：咱们通过拟合找到 \(\phi(x) \)，使得误差平方和 Q =\(\sum(\phi(x_i)-y_i)^2\) 最小，则认为 \(\phi(x)\)近似等于咱们须要的 \(f(x)\)。使误差平方和 Q =\(\sum(\phi(x_i)-y_i)^2\)最小的准则就是最小二分思维。
\(\phi(x)\)的表达式 ：如何求 \(\phi(x)\) 呢，能够依据已知 xi，yi 画出的图像走势，抉择 \(\phi(x)=f(e^x),\phi(x)=f(x^n)+f(x^{n-1})+….\)等方程式进行拟合。此时产生一些参数如 \(a*e^x+b\)中的 a，b。
误差平方和 Q : 那么 Q 的最小值如何求呢？首先引入高等数学的内容
$$
\begin{cases}
Q_a=0\\
Q_b=0 \ &+ 函数间断 \Rightarrow 求出极值点 + 边界点 \Rightarrow 最值点 \\
Q_c=0\\
……
\end{cases}
$$
有极值的充分条件是 Q 对于 a,b,c… 的偏导等于 0 且 Q 式间断。
而最值通过极值和边界值比拟确定。
这里求 Q 的最小值, 通过求 Q 对于 a,b,c… 的偏导等于 0，可求得 a,b,c… 参数，从而求 Q 的值。有 n 个方程 n 个未知数，能够求解。
所以依据 a,b,c… 等参数的值，可失去 \(\phi(x)\)的方程，并用来画图比拟拟合预测值和实在值。
2.python 代码
- 多项式拟合
次要是对 np.polyfit 和 np.poly1d 的应用。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]# 这两行解决字体问题
x = np.arange(1, 101)# 改数据
y = np.array([11, 5, 4, 7, 6, 6, 5, 7, # 改数据
13, 6, 5, 7, 12, 5, 4, 6,
9, 5, 5, 11, 29, 21, 17, 20,
27, 13, 9, 10, 16, 6, 5, 7,
11, 5, 5, 6, 12, 7, 7, 10,
15, 10, 9, 11, 15, 10, 10, 16,
26, 21, 23, 36, 50, 45, 45, 49,
57, 43, 40, 44, 52, 43, 42, 45,
52, 41, 39, 41, 48, 35, 34, 35,
42, 34, 36, 43, 55, 48, 54, 65,
80, 70, 74, 85, 101, 89, 88, 90,
100, 87, 88, 89, 104, 89, 89, 90,
106, 96, 94, 99])
z1=np.polyfit(x,y,deg=100)#deg=100,100 次多项式，返回值为系数
p1=np.poly1d(z1)# 通过多项式系数，返回方程
print(p1)# 输入方程
print(np.polyval(p1,12))# 进行预测
print(np.polyval(z1,13))# 这两种办法都能够，能够 p1，或者 z1 作为参数，12，13 为 x，输出 x 失去预测值
y_pred=p1(x)# 预测值
plt.plot(x,y,'*',label='origin value')
plt.plot(x,y_pred,'r',color='green',label='pred value')
plt.title('多项式拟合')
plt.xlabel('xlable')
plt.ylabel('ylabel')
plt.legend(loc=3, borderaxespad=0., bbox_to_anchor=(0, 0))# 画出图例
plt.show()有趣味可通过调整多项式次数，钻研适度拟合的状况，这里不过多论述。上面是多项式拟合状况
- 任意模式的拟合
指数拟合
上一种拟合办法还不能对 \(f(e^x)\)等其余模式的方程进行拟合，上面次要通过 plt.cur_fit 来进行拟合。查阅函数并留神函数返回类型。
代码中 fun()函数能够设置任意咱们想要的函数，从而达到以任意模式拟合。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from pylab import mpl
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]# 这两行解决字体问题
def fun(x,a,b,c,d,e):# 自定义任意类型的函数
return a*np.exp(x)+b*x+c
#return a*b**x+c+d/np.exp(x)+e/x**5;
if __name__=="__main__":
x = np.arange(1, 105)
y = np.array([11, 5, 4, 7, 6, 6, 5, 7,
13, 6, 5, 7, 12, 5, 4, 6,
9, 5, 5, 11, 29, 21, 17, 20,
27, 13, 9, 10, 16, 6, 5, 7,
11, 5, 5, 6, 12, 7, 7, 10,
15, 10, 9, 11, 15, 10, 10, 16,
26, 21, 23, 36, 50, 45, 45, 49,
57, 43, 40, 44, 52, 43, 42, 45,
52, 41, 39, 41, 48, 35, 34, 35,
42, 34, 36, 43, 55, 48, 54, 65,
80, 70, 74, 85, 101, 89, 88, 90,
100, 87, 88, 89, 104, 89, 89, 90,
106, 96, 94, 99, 109, 99, 96, 102])
popt,pcov=curve_fit(fun,x,y)#popt 返回值是残差最小时的参数，即最佳参数
y_pred=[fun(i,popt[0],popt[1],popt[2],popt[3],popt[4]) for i in x]# 将 x 和参数带进去，失去 y 的预测值
print(popt)# 输入参数
plt.plot(x,y,'*',label='original values')
plt.plot(x,y_pred,'-',label='pred values',color='green')
plt.xlabel('xlabel')
plt.ylabel('ylabel')
plt.title('指数拟合')
plt.legend(loc=3, borderaxespad=0., bbox_to_anchor=(0, 0))
plt.show()上面是指数函数拟合的状况，因为数据问题差距有点大，不过明确原理不必在乎这些细节了。
幂函数拟合
上面更换 fun 函数即可实现幂函数的拟合，这里我顺带换了一下数据。
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from pylab import mpl
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]# 这两行解决字体问题
def fun(x,a,b,c,d,e):# 自定义任意类型的函数
return a/x+b
#return a*np.exp(x)+b*x+c
#return a*b**x+c+d/np.exp(x)+e/x**5;
if __name__=="__main__":
x = np.arange(1, 6)
y = np.array([1,0.78,0.61,0.55,0.42])
popt,pcov=curve_fit(fun,x,y)#popt 返回值是残差最小时的参数，即最佳参数
y_pred=[fun(i,popt[0],popt[1],popt[2],popt[3],popt[4]) for i in x]# 将 x 和参数带进去，失去 y 的预测值
print(popt)# 输入参数
plt.plot(x,y,'*',label='original values')
plt.plot(x,y_pred,'-',label='pred values',color='green')
plt.xlabel('xlabel')
plt.ylabel('ylabel')
plt.title('幂函数拟合')
plt.legend(loc=3, borderaxespad=0., bbox_to_anchor=(0, 0))
plt.show()如图：
好了，到此结束~
记录一下我的第一次撰写博客，当前再接再厉~