上一篇文章咱们介绍的工夫预测的办法根本都是通过历史数据间接求均匀算进去的的。这一篇讲一些用模型来预测的办法。

1.AR(p) 模型

先讲第一个 AR 模型，AR 的全称是 Auto Regression，示意自回归，大家应该都晓得一般的回归方程，都是用 x 去回归 y，这里的 x 和 y 个别不是同一个货色。而咱们这里的自回归顾名思义就是用本人回归本人，也就是 x 和 y 都是工夫序列本人。具体的模型如下：

下面模型中，Xt 示意 t 期的值，当期的值由前 p 期的值来决定，δ 值是常数项，相当于一般回归中的截距项，μ 是随机误差，因为当期值总有一些因素是咱们没思考进去的，而这些因素带来的的当期值的扭转，咱们就把它归到 μ 局部中。

AR 模型与咱们后面讲过的加权均匀之间的区别就是多了常数项和误差项。

2.MA(q) 模型

MA 的全称是 Moving Average，示意挪动均匀。具体模型如下：

下面模型中，Xt 示意 t 期的值，当期的值由前 q 期的误差值来决定，μ 值是常数项，相当于一般回归中的截距项，ut 是当期的随机误差。MA 模型的核心思想是每一期的随机误差都会影响当期值，把前 q 期的所有误差加起来就是对 t 期值的影响。

3.ARMA(p,q) 模型

ARMA 模型其实就是把下面两个模型进行合并，就是认为 t 期值不仅与前 p 期的 x 值无关，而且还与前 q 期对应的每一期的误差无关，这两局部独特决定了目前 t 期的值，具体的模型如下：

4.ARIMA(p,d,q) 模型

ARIMA 模型是在 ARMA 模型的根底上进行革新的，ARMA 模型是针对 t 期值进行建模的，而 ARIMA 是针对 t 期与 t - d 期之间差值进行建模，咱们把这种不同期之间做差称为差分，这里的 d 是几就是几阶差分。

还是拿 gdp 数据为例，下图就是一阶差分以及一阶差分当前的后果：

下图为一阶差分前后的 gdp 趋势图，能够看出理论 gdp 值为持续上升趋势，差分后变成了随机稳定：

ARIMA 的的具体模型如下：

下面公式中的 wt 示意 t 期通过 d 阶差分当前的后果。咱们能够看到 ARIMA 模型的模式根本与 ARMA 的模式是统一的，只不过把 X 换成了 w。

5. 最初

当数据是安稳工夫序列时能够应用后面的三个模型，当数据是非安稳工夫序列时，能够应用最初一个，通过差分的形式将非安稳工夫工夫序列转化为安稳工夫序列。

以上就是罕用的对工夫序列预测的统计模型。