三方复制机密分享
复制机密共享（three-party replicated secret sharing），是另一种机密共享技术。本次科普要介绍的是 Araki 等人的半诚恳的三方复制机密共享协定，用于在三方环境下的平安多方计算和机密共享，能够容忍最多一个腐化用户，其相比于 Shamir(2, 3)来说有十分小的通信量和计算量。
首先介绍在布尔电路下的情景，假如参与者别离为 Alice、Bob 和 Candy，三者的序号别离记为 1、2、3。在复制机密共享中，一个单比特的机密𝑥会被生成为三个子机密 \(𝑥_1,𝑥_2,𝑥_3 \)，且 \(𝑥=𝑥_1⊕𝑥_2⊕𝑥_3 \)。具体形式为：机密分享者首先生成三个随机数 \(𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3 \)，并且满足 \(𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3=0 \)。让子机密 \(𝑥_1=𝑎_3⊕𝑥，𝑥_2=𝑎_1⊕𝑥 \)，子机密 \(𝑥_3=𝑎_2⊕𝑥 \)。则 \(𝑥_1⊕𝑥_2⊕𝑥_3=𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3⊕𝑥⊕𝑥⊕𝑥=𝑥 \)。让 Alice、Bob 和 Candy 别离持有 \((𝑎_1,𝑥_1), (𝑎_2,𝑥_2), (𝑎_3,𝑥_3) \)，将这种机密分享形式简记为 [𝑥]。满足限度条件 \(𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3=0 \) 下生成随机数 \(𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3 \)的具体形式之后再进行介绍。
在这种状况下，任意两个参与者合谋就能够复原出机密𝑥，如 Bob 和 Candy 合谋，则 Candy 能够利用本人手中的 \(𝑥_3 \)和 Bob 手中的 \(𝑎_2 \)，计算 \(𝑥_3⊕𝑎_2=𝑎_2⊕𝑥⊕𝑎_2=𝑥 \)。
在平安多方计算中，只有实现了多方加法和多方乘法，即可实现齐备。因而接下来开始介绍该三方复制机密共享协定实现多方加法和多方乘法的形式。此时 Alice 曾经持有了 \((𝑎_1,𝑥_1), (𝑏_1,𝑦_1) \)，Bob 持有了 \((𝑎_2,𝑥_2), (𝑏_2,𝑦_2) \)，Candy 持有了 \((𝑎_3,𝑥_3), (𝑏_3,𝑦_3) \)。
首先是 XOR（加法）的实现形式：要计算 [𝑧]=[𝑥+𝑦]，Alice、Bob 和 Candy 只须要别离本地计算 \(𝑥_𝑖+𝑦_𝑖,𝑖∈{ 1,2,3} \)即可。以 Alice 为例，因为 \(𝑥_1=𝑎_3⊕𝑥，𝑦_1=𝑏_3⊕𝑦 \)，则 \(𝑥_1⊕𝑦_1=𝑎_3⊕𝑥⊕𝑏_3⊕𝑦=(𝑎_3⊕𝑏_3)⊕(𝑥⊕𝑦)=(𝑎_3⊕𝑏_3)⊕𝑧 \)，若将 \(𝑎_1⊕𝑏_1 \)记为 \(𝑐_1 \)，\(𝑎_2⊕𝑏_2 \)记为 \(𝑐_2 \)，\(𝑎_3⊕𝑏_3 \)记为 \(𝑐_3 \)，则 Alice、Bob 和 Candy 在别离实现本地计算 \(𝑥_𝑖+𝑦_𝑖,𝑖∈{ 1,2,3} \)后，Alice 能够失去 \(𝑧_1=𝑐_3⊕𝑧 \)，Bob 能够失去 \(𝑧_2=𝑐_1⊕𝑧 \)，Candy 能够失去 \(𝑧_3=𝑐_2⊕𝑧 \)；且 \(𝑐_1⊕𝑐_2⊕𝑐_3=𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3⊕𝑏_1⊕𝑏_2⊕𝑏_3=0⊕0=0 \)，由此满足之前的机密分享定义，\(𝑧_1⊕𝑧_2⊕𝑧_3=𝑧，𝑐_1⊕𝑐_2⊕𝑐_3=0 \)。
接着是 AND（乘法）的实现形式：要实现乘法首先须要另外引入三个随机数，记为𝛼, 𝛽, 𝛾，且满足𝛼⊕𝛽⊕𝛾=0，Alice 把握𝛼，Bob 把握𝛽，Candy 把握𝛾。
Alice 计算𝑟1=𝑥1𝑦1⊕𝑎1𝑏1⊕𝛼，并把 \(𝑟_1 \)发送给 Bob；Bob 计算𝑟2=𝑥2𝑦2⊕𝑎2𝑏2⊕𝛽，并把 \(𝑟_2 \)发送给 Candy；Candy 计算𝑟3=𝑥3𝑦3⊕𝑎3𝑏3⊕𝛾，并把 \(𝑟_3 \)发送给 Alice。
接着 Alice 本地计算 \(𝑐_1=𝑟_1⊕𝑟_3 \)，\(𝑧_1=𝑟_1 \)；Bob 本地计算 \(𝑐_2=𝑟_2⊕𝑟_1，𝑧_2=𝑟_2 \)；Candy 本地计算 \(𝑐_3=𝑟_3⊕𝑟_2，𝑧_3=𝑟_3 \)。
正确性证实：
又因为
因而：
$$
𝑥_1𝑦_1⊕𝑥_2𝑦_2⊕𝑥_3𝑦_3=𝑎_1𝑏_1⊕𝑎_2𝑏_2⊕𝑎_3𝑏_3⊕𝑥(𝑏_1⊕𝑏_2⊕𝑏_3)⊕𝑦(𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3)⊕𝑥𝑦=𝑎_1𝑏_1⊕𝑎_2𝑏_2⊕𝑎_3𝑏_3⊕𝑥𝑦
$$
把 \(𝑥_1𝑦_1⊕𝑥_2𝑦_2⊕𝑥_3𝑦_3 \)的后果代入到 \(𝑧_1⊕𝑧_2⊕𝑧_3 \)可得：
而 \(𝑐_1⊕𝑐_2⊕𝑐_3=𝑟_1⊕𝑟_3⊕𝑟_2⊕𝑟_1⊕𝑟_3⊕𝑟_2= 0 \)，即：
$$
𝑧_1=𝑐_3⊕𝑥𝑦 ,
𝑧_2=𝑐_1⊕𝑥𝑦,
𝑧_3=𝑐_2⊕𝑥𝑦
$$
其中 \(𝑧_1⊕𝑧_2⊕𝑧_3=𝑥𝑦，𝑐_1⊕𝑐_2⊕𝑐_3=0 \)，由此得证乘法的正确性。
满足限度条件 \(𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3=0 \)下生成随机数 \(𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3 \)的形式为：Alice、Bob、Candy 别离生成随机数𝜌1,𝜌2,𝜌3，Alice 将𝜌1 发送给 Bob，Bob 将𝜌2 发送给 Candy，Candy 将𝜌3 发送给 Alice。则 Alice 计算𝑎1=𝜌1⊕𝜌3，Bob 计算𝑎2=𝜌2⊕𝜌1，Candy 计算𝑎3=𝜌3⊕𝜌2。
显然：