在工程和迷信畛域，AI 与迷信办法的联合正在解决更多经典迷信问题，并在固体、流体、传热、资料等越来越多的畛域失去了验证。为了更好撑持科研人员发展 AI 与基础学科的穿插交融钻研，百度飞桨不断完善框架能力，提供反对 AI+ 科学计算的复数算子、高阶主动微分机制以及高性能编译等等。
本期咱们聚焦构造畛域中的“高阶”物理机理，向大家阐明飞桨如何利用“高阶主动微分算子”解决构造畛域中的经典问题。在案例中，咱们将介绍如何应用飞桨框架对 4 阶以上偏微分方程进行无监督求解，同时联合 DeepXDE 或赛桨 PaddleScience 等科学计算工具组件取得更好的开发体验。
01 构造畛域背景与痛点
在构造畛域中，飞机机翼桁架、汽车底盘、轮船甲板等机械结构件的受力变形、毁坏以及疲劳伤害等都是最典型的“力学”工程难题，解决好这些经典工程挑战无论对根底科研或工程利用都具备非常重要的意义。
传统的构造分析方法包含有限元法、无限差分法、边界元法等，通常须要大量的计算资源和人力投入，这会限度模型的规模和精度。近年来，基于物理信息神经网络（PINN）的 AI 办法逐步被利用于构造畛域的物理方程求解，这类办法广泛被认为兼具晋升计算速度与升高人力投入的劣势。
不同于经典 NLP、CV 等畛域问题，其中少数工作都是基于梯度降落算法进行优化，只须要一阶导数（即梯度）来更新模型参数。物理问题通常须要应用高阶微分方程（ODEs/PDEs/fPDEs/IDEs）及相应的初边值条件来形容物理机理，这要求交融物理机理的 AI 办法可解决高阶微分。目前深度学习框架中高阶微分算子往往通过手写、组合等形式实现，尤其是 4 阶以上微分算子的定义难度及实现工作量都十分大。
02 构造畛域问题求解原理
构造畛域问题形容
构造畛域问题通常可用均衡微分方程、几何方程和物理方程来形容，其通用模式个别很难求解。理论利用中多应用简化方程，如宽泛存在的立体问题，从而升高求解难度。针对二维线弹性问题，咱们能够找到某些标量来代表应力函数，从而可取得同时满足均衡微分方程和相容方程的标量微分方程。在疏忽体积力的状况下，二维线弹性问题可由以下偏微分方程形容：
(1)
式中，φ 是极坐标系 (r,θ) 下的 Airy 应力函数。在直角坐标系中，该偏微分方程可形容如下：
(2)
式中，(x,y)=r(sinθ,cosθ)。以上方程也被称为双调和方程，它通过一个对立的表达式来形容立体线弹性问题。
实践上，基于方程 (1) 或(2)以及充沛的边界条件，即可实现问题求解。然而，因为方程蕴含四阶双调和算子∇4，传统数值办法须要应用更高阶的单元和算法能力进行求解，而其计算工夫和老本是极高的，大型简单构造问题中则广泛面临着“维度爆炸”、精度低、求解难等问题。比照传统求解办法，PINN 办法具备自适应采样、非线性激活函数、并行计算等特点，能够将 PDEs 嵌入到神经网络中，可无效地解决高维空间和简单几何形态的问题。
一旦求解取得 Airy 应力函数，则可计算应力重量如下：
（3）
采纳胡克定律，则可计算应变重量如下：
(4)
式中，对于立体应变和立体应力问题，k 别离取 3 - v 和(3-v)(1+v)；μ 可取为剪切模量 G，v 为泊松比。通过以上高阶偏微分方程，咱们能够对构造畛域的典型问题进行定义。不同于传统的数值差分的计算方法，基于给定的偏微分方程，利用 PINN 办法可在无监督的状况下间接对构造畛域问题进行求解，具体如下。
PINN 办法求解构造问题
围绕构造畛域中高阶微分方程所形容的工程和迷信问题，飞桨框架能够反对 PaddleScience 和 DeepXDE 科学计算工具组件构建相应的 PINN 求解模型，并针对后面形容的二维线弹性构造问题，构建了求解应力函数的 PINN 模型，如图 1 所示。
图 1 构造畛域 PINN 求解模型
该求解模型引入二维线弹性构造问题的管制方程和边值条件，这些物理信息束缚不仅升高了神经网络对数据的依赖，也升高了对网络复杂度的要求，使得采纳一个简略的全连贯网络即可实现二维线弹性构造问题的求解。
同时为了解决该畛域中高维偏微分方程的定义与求解，飞桨一方面在框架中减少高阶微分算子，另一方面构建根底算子体系，可反对不限阶数的主动微分。目前，飞桨曾经反对绝大多数算子的有限阶主动微分，以及局部算子的无限阶主动微分，次要算子简述如下：
有限阶主动微分
包含标量与 Tensor 之间的加、减、乘、除、幂运算，elementwise 系列运算、矩阵乘 matmul、激活函数 tanh，以及 assign、concat、cumsum、expand_v2、reverse、squeeze、unsqueeze、scale、tile、transpose、sign、sum、mean、flip、cast、slice 等；
无限阶主动微分
sin、cos、sigmoid 等算子反对三阶计算。基于飞桨最新提供的有限高阶主动微分（AD）算子，咱们也可在飞桨全量撑持的 DeepXDE 科学计算工具中，通过导入 paddle.fluid 中的 core 模块，利用 deepxde.gradients.jacobian 和 deepxde.gradients.hessian 可别离计算一阶和二阶微分，以及通过它们的任意组合来实现高阶微分。对此，咱们基于飞桨实现了 PINN 办法求解构造畛域中 1 维梁变形、2 维立体受载两类典型问题求解，并失去与实践解统一的后果。
03 典型案例介绍
上面依据后面给出的二维线弹性问题 PINN 求解模型，介绍基于飞桨联结科学计算工具 DeepXDE 构建的构造畛域典型案例，包含欧拉梁挠度计算、矩形平板集中受载基准案例、圆形平板散布受载基准案例（具体可见 DeepXDE 构造畛域科学计算案例）。
一维欧拉梁问题
欧拉梁（Euler beam）是被用来形容长条形物体蜿蜒静止的物理模型。在桥梁、飞机机翼、吊桥等泛滥状况下，都能够用欧拉梁模型来形容这些物体的蜿蜒、扭转和振动等静止。欧拉梁模型假如物体是修长且刚性的，能够在一个立体上自在蜿蜒，其几何通常可被简化为一维。DeepXDE 的官网目录 examples / pinn_forward 下蕴含该类案例的一个具体实例 Euler_beam.py，其对应的管制方程如下：
(5)
式中，w 为挠度，也即选取的应力函数 φ。其边界条件可形容如下：左端点（x=0）固定，因此其扰度和转角为零，即：
（6）
右端点（x=1）承载，因此其弯矩和剪切力为零，即：
（7）
依据以上给出的挠度四阶方程和边界条件，基于 DeepXDE 能够简略地构建相应的 PINN 求解模型，次要步骤的代码如图 2 所示。
图 2 一维欧拉梁问题的 PINN 求解模型代码
采纳以上代码能够求解欧拉梁的挠度，后果如图 3 所示。能够看出，梁的左端因为固定而挠度为 0，从左到右逐步增大。
图 3 欧拉梁问题的 PINN 求解后果
矩形平板散布受载基准案例
图 4 散布载荷作用下的矩形平板基准案例 Vahab M, Haghighat E, Khaleghi M, et al. A physics-informed neural network approach to solution and identification of biharmonic equations of elasticity, 2022.
思考更简单的二维矩形平板受散布载荷的基准案例，如图 4 所示。平板的长、宽和厚别离为 a =2m、b=3m 和 t =0.01m，厚度为周围被简略撑持，外表则被施加一个正弦散布载荷 ππ，相应的管制方程可形容如下：
(8)
式中，w 为平板挠度，D 为抗弯刚度，可计算如下：
(9)
式中，E 为弹性杨氏模量，v 为泊松比。依据平板挠度 w，可计算扭矩和剪切力如下：
(10)
该问题的边界条件可形容如下：在 x = 0 和 x =а两条边上，有挠度 w 和力矩 My 为 0，即：
(11)
在 x = 0 和 x = b 两条边上，有挠度 w 和力矩 Mx 为 0，即：
(12)
依据以上微分方程和边界条件，基于 DeepXDE 构建相应的 PINN 求解模型，外围步骤的代码如图 5 所示。
图 5 矩形平板接受散布载荷问题的 PINN 求解模型代码
采纳以上代码能够间接求解矩形平板的挠度，后果如图 6 所示。能够看出，平板周围的挠度为 0，越凑近平板核心的挠度越大，最大值达 0.004m 左右。
图 6 PINN 求解的矩形平板挠度后果
此外，以上微分方程和边界条件定义的问题存在准确解（S. P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, McGraw-hill, 1959），这里将计算结果与实践后果进行比拟。图 7 为本文 PINN 求解的弯矩（Mx、Mxy、My）与实践解的比照，图 8 为本文 PINN 求解的弯矩（Mx、Mxy、My）与实践解的比照。能够看出，PINN 求解后果在定性和定量上均与实践后果吻合。
图 7 PINN 求解的矩形平板弯矩（Mx、Mxy、My）与实践解比拟
图 8 PINN 求解的矩形平板剪切力（Qx、Qy）和挠度（w）与实践解比拟
圆形平板集中受载基准案例
图 9 集中载荷作用下的圆形平板基准案例 Vahab M, Haghighat E, Khaleghi M, et al. A physics-informed neural network approach to solution and identification of biharmonic equations of elasticity, 2022.
进一步地，思考二维圆形平板受集中力的基准案例，如图 9 所示。平板的半径和厚度别离为 ro=1m 和 t =0.03 m，周围为刚性撑持，外表则被施加一个集中载荷 p =100kN。因为圆形平板的几何存在轴对称性，能够将 Eq. (8)转化为极坐标，并在圆周方向进行积分，可取得简化的三阶管制方程如下：
(13)
相应地，扭矩和剪切力的计算公式简化如下：
(14)
该问题的边界条件可形容如下：在 r = 0 处，转角为 0，即：
(15)
在 r = ro 处，挠度和转角均为 0，即：
(16)
依据以上微分方程和边界条件，基于 DeepXDE 构建相应的 PINN 求解模型，外围步骤的代码如图 10 所示。
图 10 圆形平板接受集中载荷问题的 PINN 求解模型代码
采纳以上代码能够间接求解圆形平板的挠度，后果如图 11 所示。能够看出，平板圆周的挠度为 0，越凑近平板核心的挠度越大，圆心处最大达 0.04m 左右。
图 11 PINN 求解的圆形平板挠度后果
图 12 给出了本文 PINN 求解的圆形平板挠度与实践后果。能够看出，本文采纳 PINN 求解的挠度与实践解吻合较好。
图 12 PINN 求解的圆形平板挠度（w）与实践解比拟
依据求解的挠度 w，能够进一步计算出给圆形平板的弯矩和剪切力，如图 13 所示。与扰度相似，弯矩和剪切力也在圆心处获得最大值。
图 13 PINN 求解的圆形平板弯矩（Mr）与剪切力（Qr）
04 总结
本期联合三个典型的构造畛域案例，重点介绍了飞桨高阶主动微分机制在构造畛域问题上的求解能力，这是深度学习在求解由高阶微分方程所形容物理问题上的最新尝试，进一步验证了 AI for Science 可利用于宽泛的工程和科研畛域。联合以后提供的案例，用户也可通过裁减时空维度和交融更通用的微分方程，实现三维简单构造问题的求解。相干案例正在筹备中，敬请期待～
援用
[1] 飞桨全量反对业内 AI 科学计算工具——DeepXDE!https://mp.weixin.qq.com/s/yBsuLWozN4AJCFO5grJ8WA
[2] DeepXDE 介绍文档
https://deepxde.readthedocs.io/en/latest/
[3] DeepXDE 构造畛域科学计算案例 https://aistudio.baidu.com/aistudio/projectdetail/5678395
拓展浏览
[1] AI+Science 系列（三）：赛桨 PaddleScience 底层外围框架技术创新详解
[2] 飞桨科学计算实训示例
https://aistudio.baidu.com/aistudio/projectoverview/public?to…
[3] 飞桨黑客松第四期工作—科学计算专题 https://github.com/PaddlePaddle/Paddle/issues/51281#science
相干地址
[1] 飞桨 AI for Science 共创打算 https://www.paddlepaddle.org.cn/science
[2]飞桨 PPSIG Science 小组 https://www.paddlepaddle.org.cn/specialgroupdetail?id=9