十进制零碎
十进制零碎即 The Decimal System
在日常生活中，咱们每天都在应用逢十进一的数位（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）来示意数字，这种数制叫做十进制。
考查数字 83 的意义，能够示意成：
83 = (8 × 10) + 3
即八个 10 再加上一个 3；
考查数字 4728 的意义，能够示意成：
4728 = (4 × 1000) + (7 × 100) + (2 × 10) + 8
即四个 1000 加上七个 100 再加上两个 10 再加上一个 8。
从上得悉，咱们能够说，十进制的基数（base/radix）为 10。也即，十进制数是由每个数位的数字乘以 10 的 n 次幂，n 与数位的地位相干。例如：
83 = (8 × 101) + (3 × 100)
83 是由两个数位形成，最右边的数位为 最高（无效）数位 ，这里是 8；最左边的数位是 最低（无效）数位 ，这里是 3。最低数位的地位所对应的 10 的幂为 0，从右往左顺次加一。即，数位 3 为最低数位，故其 10 的幂为 0，示意为 3×100；往左挪动一位，数位为 8，其 10 的幂为 1，示意为 8×101，将所有数位相加失去的和即该十进制数，也即，8×101+ 3×100= 83
应用同样的办法拆解数字 4728，示意如下：
4728 = (4 × 103) + (7 × 102) + (2 × 101) + (8 × 02)
咱们应用同样的办法示意小数局部，只不过小数局部数位的 10 的幂为正数。其最大的数位的 10 的幂为 -1，从左向右其数位的 10 的幂顺次减 1。例如：
0.256 = (2 × 10-1) + (5 × 10-2) + (6 × 10-3)
在一个既有整数局部又有小数局部的十进制数中，其数位的 10 的幂也既有负数又有正数：
442.256 = (4 × 102) + (4 × 101) + (2 × 100) + (2 × 10-1) + (5 × 10-2) + (6 × 10-3)
应用表格示意上述数字的数位地位和其 10 的幂的关系：
| 4 | 7 | 2 | 2 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 百位 | 十位 | 个位 | 非常位 | 百分位 | 千分位 |
| 102 | 101 | 100 | 10-1 | 10-2 | 10-3 |
| position 2 | position 1 | position 0 | position -1 | position -2 | position -3 |
个别的，十进制数应用 X 来示意：
$$X = \{…d_2d_1d_0d_{-1}d_{-2}d_{-3}…\}$$
X的值为：
$$X=\sum_{i}(d_i×10^i)$$
按位计数零碎
按位计数零碎即 Positional Number Systems
十进制零碎是按位计数零碎的一种。
在一个按位计数零碎中，每个数字（Number）的数位（Digit）的地位应用 i 示意，数位的权用 ri 示意。其中，r为数字的基数（base/radix）。
个别的，在该零碎中，一个数字可示意为：
$$(…a_3a_2a_1a_0a_{-1}a_{-2}a_{-3}…)_r$$
其中，每一个数位 ai 都是一个整数，且0≤ai≤r
该数字的值为：
$$
… + a_3r^3 + a_2r^2 + a_1r^1 + a_0r^0 + a_{-1}r^{-1} + a_{-2}r^{-2} + a_{-3}r^{-3} + … = \sum_i(a_i × r^i)
$$
二进制零碎
二进制零碎即 The Binary System
在十进制零碎中，每个数位有十个数能够示意，即 0~9。在二进制零碎中，每个数位只有 0 或者 1 这两个数来示意。
为了防止在表白过程中引起的数制概念凌乱，咱们给每个数字加上数制下标。例如，十进制数 83 和 4728，咱们应用 8310和 472810示意。
二进制数中的 1 和 0 在十进制中的意义雷同：
02 = 010
12 = 110
如果要应用二进制数字示意十进制数字中更大的数字（>2），显著的，在二进制中则须要进位了：
$$
10_2 = (1 × 2^1) + (0 × 2^0) = 2_{10} \\
11_2 = (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 3_{10} \\
100_2 = (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (0 × 2^0) = 4_{10}
$$
小数局部仍然应用 10 的负次幂示意，这里不再举例。
个别的，应用二进制示意数字：
$$
Y = \{…b_2b_1b_0b_{-1}b_{-2}b_{-3}…\}
$$
则 Y 的值为：
$$
Y = \sum_i(b_i × 2^i)
$$
二进制和十进制的转换
将二进制数转换为十进制数非常容易，上述的笔记中曾经有很多例子。
而要将十进制数字转换为二进制数字，整数局部和小数局部则须要离开解决。
整数局部
如上述笔记所叙，在二进制中，整数局部可示意为：
$$
b_{m-1}b_{m-2}…b_2b_1b_0\quad(b_i= 0 或 1)
$$
该数字的值为：
$$
(b_{m-1} × 2^{m-1}) + (b_{m-2} × 2^{m-2}) + … + (b_1 × 2^1) + b_0
$$
假如咱们须要将十进制的整数 N 转换为二进制，能够将 N 除以 2，将失去一个商 N1 和余数R0，记为：
$$
N = 2 × N_1 + R_0\quad(R_0= 0 或 1)
$$
接着，咱们将商 N1 持续除以 2。令其新的商记为N2，新的余数记为R1，则：
$$
N_1 = 2 × N_2 + R_1\quad(R_1= 0 或 1)
$$
那么有：
$$
N = 2(2N_2 + R_1) + R_0 = (N_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0
$$
咱们能够将失去的商持续往下除以 2，因为 N > N1 > N2…，最终会失去商：Nm-1 = 1（010 和 1 10除外）以及余数Rm-2 = 0 或 1 ，那么咱们能够失去：
$$
N = (1 × 2^{m-1}) + (R_{m-2} × 2^{m-2}) + … + (R_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0
$$
即 N 的二进制模式。
因而，将十进制数的整数局部转换为二进制数，只需将数字一直除以 2 即可，将失去的余数（非 0 即 1）逆序排列，就失去了二进制的整数局部。
例 1：将 1110 转换为二进制。
解：
例 2：将 2110 转换为二进制。
解：
小数局部
如上述笔记所叙，在二进制中，整数局部可示意为：
$$
b_{-1}b_{-2}b_{-3}…\quad(b_i= 0 或 1)
$$
该数字的值为：
$$
(b_{-1} × 2^{-1}) + (b_{-2} × 2^{-2}) + (b_{-3} × 2^{-3})…
$$
也能够记为：
$$
2_{-1} × (b_{-1} × 2^{-1} × (b_{-2} × 2^{-1} × (b_{-3} + …)…))
$$
上一个表达式正好提供了一个转换的思路。假如咱们要将数字 F(0 由十进制转换为二进制。由上可知，数字 F 能够示意为：
$$
F = 2^{-1} × (b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + …)…))
$$
等式两边同乘以 2 得：
$$
2F = b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + …)…)
$$
因为 0，显然的，2F 的整数局部b-1∈{0, 1}。咱们将残余的小数局部记为F1，且01<1，可得：
$$
F_1 = 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + …)…)
$$
为了求 b-1，咱们可反复上述步骤。以此类推，小数局部的转换算法行将小数一直乘以 2 即可。算法中每一步的被乘数都是上一步的积的小数局部，且积的整数局部肯定是 0 或 1，其形成之正序序列即二进制的小数局部。然而， 这个算法是不准确的，因为该算法的准确进行条件是直到积的小数局部等于 0 为止，而有时该算法可能会始终循环上来。因而，咱们须要另一个进行条件：将算法运行到咱们所须要的肯定精度即可。
例 1：将 0.8110 转换为二进制。
解：
例 2：将 0.2510 转换为二进制。
解：