循环冗余校验码(Cyclic Redundancy Check, CRC)的根本思维是 发送方和接管方约定一个除数,被除数是由信息位 (n) 和校验位 (k) 组成,最终除法的余数要等于 0
原理
假如数据为 10101011,生成多项式为 10011,求 CRC 码?
多项式就是单方约定的除数 10011
- 最高位次幂为
4
- CRC 码位数由信息位和校验位组成:
8 + 4 = 12
因为 CRC 码是 12
位,目前数据为 10101011
只有 8
位,须要左移 4
位(低位补 0
),失去 101010110000
。
对移位后的数据进行 模 2 除,产生余数:
- 被除数最高位为
1
商1
,为0
商0
- 残余位数进行异或运算
- 最终余数的位数应该比除数的位数少一位
模 2 除 用竖式计算,算出最初的余数为 1010
-
101010110000/10011
- 10101/10011 = 1 … 0110
- 01100/10011 = 0 … 1100
- 11001/10011 = 1 … 1010
- 10101/10011 = 1 … 0110
- 01100/10011 = 0 … 1100
- 11000/10011 = 1 … 1011
- 10110/10011 = 1 … 0101
- 01010/10011 = 0 … 1010
余数 1010
就是 CRC 码的校验位,加上信息位组合成最终的 CRC 码:101010111010
用 101010111010
与 10011
相除,最终的余数肯定是 0000
检错和纠错
发送的 CRC 码记为:C12C11C10C9C8C7C6C5C4C3C2C1
C12 | C11 | C10 | C9 | C8 | C7 | C6 | C5 | C4 | C3 | C2 | C1 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
一位出错(纠错)
C12 | C11 | C10 | C9 | C8 | C7 | C6 | C5 | C4 | C3 | C2 | C1 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
C4 出错 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
把 101010110010
代入 模 2 除,失去余数 0100
,对应十进制 4
,也就是说 C4
处出错了
一位出错(不能纠错)
下面的例子,校验位是 4
位,能够示意 16
种状态,理论的 CRC 码只有 12
位,所以有纠错能力。
如果校验位是 3
位,能够示意 8
种状态,理论的 CRC 码有 9
位,这种状况下就没方法实现纠错了。
如果说当初求得的余数是 010
转换为十进制是 2
,是否阐明第 2
位出错了呢?
看上面表,010
对应的出错位是 2
和 9
,也就是说当第二位或者第九位出错了,余数是一样的,这就导致了咱们依据 010
没判断出错位了。
承受 | 余数 | 出错位 |
---|---|---|
101001001 | 000 | |
101001000 | 001 | 1 |
101001011 | 010 | 2 |
101001101 | 011 | 3 |
101000001 | 100 | 4 |
101011001 | 101 | 5 |
101101001 | 110 | 6 |
100001001 | 111 | 7 |
111001001 | 001 | 8 |
001001001 | 010 | 9 |
所以要使 CRC 码有纠错能力,必须满足:2^k >= n + k + 1
n + k
示意谬误的状态的数量1
示意的正确的状态
不过在理论的利用,CRC 码只用于检错,比方 几千个 bit+ 几个校验位
总结
- 确定 CRC 码位数
- 移位,低位补
0
- 模 2 除求余数,余数是校验位
- CRC 码 = 信息位 + 校验位
如果要有纠错能力,须要满足:2^k >= n + k + 1