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关于计算机:计算机是如何实现除法运算的

jiezi

二进制除法和十进制除法是统一的，都是采纳：将被除数从高位除起，每次计算失去的商保留，余数加下一位数再次进行除法，顺次将被除数所有位数运算结束，失去的商依照按程序组合，余数为最初一次运算后果。

[x]原 = 0.1011，[y]原 = 0.1101

  • 0.1011 ÷ 0.1101 = 0.1101 … 0.00000111

    • 1011 ÷ 1101 = 0
    • 10110 ÷ 1101 = 0.1 … 1001
    • 10010 ÷ 1101 = 0.11 … 0101
    • 01010 ÷ 1101 = 0.110
    • 10100 ÷ 1101 = 0.1101 … 0.00000111
  • 每做一次除法运算，如果被除数小于除数，商 0，否者商 1，在用余数减去除数，失去下一个被除数，以此循环
  • 符号位进行异或运算：0 ⊕ 0 = 0
  • 最终后果：0.1101，余数是 111

这是咱们人类通过除法的竖式计算失去的后果，商 0 还是商 1，是通过比大小决定的，计算机在做除法的时候总不能凭空比大小吧？还有每次做完除法后，余数的位数也是不确定的。

那计算机该如何实现除法呢？

通过后面的学习，咱们晓得运算器是由 ACC、MQ、X、ALU 组成。

ALU 是运算器的外围，计算的性能是由这部分它来实现的。ACC、MQ、X，它们是用来暂存操作和两头后果，通过指令交由 ALU 解决。

再除法运算中，各寄存器有不同的作用：

  • ACC：被除数、余数
  • MQ：商
  • X：除数

原码除法复原余数法

最终运算后果，商在 MQ 中，商的位数是数值位位数；余数在 ACC 中，余数的位数是 2^-n；运算后果的符号位独自解决：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位。

运算过程

计算机每次都是商 1，如果不对，在改商 0，并复原余数。

如何判断商 1 对不对呢？

用 被除数 (除数) – 商: ACC - X -> ACC - [y] 原 -> ACC + [-y]补，如果余数是正数，则改商 0。

因为商错了，所以上一步计算的余数是不对的，须要复原到之前的数，这时候机器必定是没有存储它的，须要通过计算失去。

如何失去之前的数呢？

[y] 和 [-y] 互为相反数，因为上一步是加 [-y]补 失去的余数，那当初加 [y] 补 失去之前的数(称为复原余数)。

所以须要先把 [y]补 ，[-y] 补 的机器码算进去

  • [y]原 = 0.1101，[y]补 = 0.1101，[-y]补 =1.0011

计算步骤

步骤 操作 ACC MQ X
1 被除数搁置到 ACC 中，MQ 置 0 01011 00000 01101
2 MQ 商 1 01011 00001 01101
3 ACC – X = ACC + [-y]补 = 01011 + 10011 11110 00001 01101
4 ACC 是正数，ACC 须要复原到之前的余数，ACC + [y]补 = 11110 + 01101，MQ 从 1 变成 0 01011 00000 01101
5 逻辑左移一位 10110 00000 01101
6 MQ 商 1 10110 00001 01101
7 ACC – X = ACC + [-y]补 = 10110 + 10011 01001 00001 01101
8 ACC 是负数，不须要复原余数 01001 00001 01101
9 逻辑左移一位 10010 00010 01101
10 MQ 商 1 10010 00011 01101
11 ACC – X = ACC + [-y]补 = 10010 + 10011 00101 00011 01101
12 ACC 是负数，不须要复原余数 00101 00011 01101
13 逻辑左移一位 01010 00110 01101
14 MQ 商 1 01010 00111 01101
15 ACC – X = ACC + [-y]补 = 01010 + 10011 11101 00111 01101
16 ACC 是正数，ACC 须要复原到之前的余数，ACC + [y]补 = 11101 + 01101 01010 00110 01101
17 逻辑左移一位 10100 01100 01101
18 MQ 商 1 10100 01101 01101
19 ACC – X = ACC + [-y]补 = 10100 + 10011 00111 01101 01101
20 最终符号位：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位 = 0 ⊕ 0 = 0 – – –

第 19 步，如果计算的后果是正数，还是要再进行一步复原余数，这里计算的后果是负数，所以就完结了，不再左移了。

这里逻辑左移了 4 次，上商 5 次，所以机器位数是 n 位，那么须要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次

最终后果：

  • 商：0.1101
  • 余数：0.00000111

原码除法加减交替法(不复原余数法)

最终运算后果，商在 MQ 中，商的位数是数值位位数；余数在 ACC 中，余数的位数是 2^-n；运算后果的符号位独自解决：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位。

运算过程

ACC - X = ACC + [-y]补 的值如果是正数，那么咱们会加上它相反数的补 ACC + [y] 补，这一步被称为复原余数。

  1. ACC + [-y]补 正数
  2. ACC + [-y]补 + [y]补 复原余数
  3. 2(ACC + [-y]补 + [y]补) 逻辑左移一位
  4. 2(ACC + [-y]补 + [y]补) - [y]补 减除数

简化得 2(ACC + [-y]补) + [y]补

  • ACC + [-y]补 如果是正数的话，将 MQ 改商 0
  • 逻辑左移一位(ACC 和 MQ 都要逻辑左移)
  • MQ 商 1，并且加上除数 [y]补

计算步骤

步骤 操作 ACC MQ X
1 置 0 01011 00000 01101
2 MQ 商 1 01011 00001 01101
3 ACC – X = ACC + [-y]补 = 01011 + 10011 11110 00001 01101
4 ACC 是正数，MQ 改商 0 11110 00000 01101
5 逻辑左移一位 11100 00000 01101
6 MQ 商 1 11100 00001 01101
7 ACC + X = ACC + [y]补 = 11100 + 01101 01001 00001 01101
8 ACC 是负数，MQ 不必改 01001 00001 01101
9 逻辑左移一位 10010 00010 01101
10 MQ 商 1 10010 00011 01101
11 ACC – X = ACC + [-y]补 = 10010 + 10011 00101 00011 01101
12 ACC 是负数，MQ 不必改 00101 00011 01101
13 逻辑左移一位 01010 00110 01101
14 MQ 商 1 01010 00111 01101
15 ACC – X = ACC + [-y]补 = 01010 + 10011 11101 00111 01101
16 ACC 是正数，MQ 改商 0 11101 00110 01101
17 逻辑左移一位 11010 01100 01101
18 MQ 商 1 11010 01101 01101
19 ACC + X = ACC + [y]补 = 11010 + 01101 00111 01101 01101
20 最终符号位：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位 = 0 ⊕ 0 = 0 – – –

第 19 步，如果计算的后果是正数，MQ 还是要进行改商 0，并左移再加上 [y]补，和复原余数法是一样的步骤。

这里逻辑左移了 4 次，上商 5 次，所以机器位数是 n 位，那么须要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次

最终后果：

  • 商：0.1101
  • 余数：0.0111 × 2^-4 = 0.00000111

补码除法加减交替法

题目：[x]原 = 0.1000，[y]原 = 1.1011，[y]补 = 1.0101，[-y]补 = 0.1011

被除数和除数要用两位符号位：

  • [x]原 = 00.1000
  • [y]原 = 11.1011
  • [y]补 = 11.0101
  • [-y]补 = 00.1011

运算过程

判断被除数 (余数) 和除数的符号位

  1. 被除数和除数符号位判断

    • 同号，被除数减除数
    • 异号，被除数加除数

  2. 余数和除数符号位判断

    • 同号，MQ 商 1，ACC 和 MQ 逻辑左移一位，余数减除数
    • 异号，MQ 商 0，ACC 和 MQ 逻辑左移一位，余数加除数
  3. 循环第三步，循环的次数是机器位数

计算步骤

步骤 操作 ACC MQ X
1 置 0 001000 00000 110101
2 ACC + X = ACC + [y]补 = 001000 + 110101 111101 00000 110101
3 ACC 和 X 同号，MQ 商 1 111101 00001 110101
4 逻辑左移一位 111010 00010 110101
5 ACC – X = ACC + [-y]补 = 111010 + 001011 000101 00010 110101
6 ACC 和 X 异号，MQ 商 0 000101 00010 110101
7 逻辑左移一位 001010 00100 110101
8 ACC + X = ACC + [y]补 = 001010 + 110101 111111 00100 110101
9 ACC 和 X 同号，MQ 商 1 111111 00101 110101
10 逻辑左移一位 111110 01010 110101
11 ACC – X = ACC + [-y]补 = 111110 + 001011 001001 01010 110101
12 逻辑左移一位 010010 10100 110101
13 ACC + X = ACC + [y]补 = 010010 + 110101 000111 10100 110101
14 MQ 开端横置 1 000111 10101 110101
15 最终符号位：ACC 中的符号位 00 – – –

第 14 步最终计算的后果，开端要横置 1，其精度误差 2^-4。

这里逻辑左移了 4 次，上商 5 次，所以机器位数是 n 位，那么须要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次

最终后果：

  • 商：1.0101
  • 余数：0.0111 × 2^-4 = 0.00000111

总结

原码的除法运算和补码的除法运算的左移都是逻辑左移。

机器位数是 n 位，那么须要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次，

  • 补码除法运算最初一步横置 1，其精度误差 2^-4
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