原码, 反码, 补码 详解

本篇文章解说了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深刻探究了为何要应用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何能够用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证局部如有不对的中央请各位牛人帮忙斧正! 心愿本文对大家学习计算机根底有所帮忙!

一. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 须要先理解机器数和真值的概念.

1、机器数

一个数在计算机中的二进制示意模式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位寄存符号, 负数为 0, 正数为 1.

比方，十进制中的数 +3，计算机字长为 8 位，转换成二进制就是 00000011。如果是 -3，就是 10000011。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的模式值就不等于真正的数值。例如下面的有符号数 10000011，其最高位 1 代表负，其真正数值是 -3 而不是模式值 131（10000011 转换成十进制等于 131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1

二. 原码, 反码, 补码的根底概念和计算方法.

在探究为何机器要应用补码之前, 让咱们先理解原码, 反码和补码的概念. 对于一个数, 计算机要应用肯定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位示意符号, 其余位示意值. 比方如果是 8 位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以 8 位二进制数的取值范畴就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原码是人脑最容易了解和计算的示意形式.

2. 反码

反码的示意办法是:

负数的反码是其自身

正数的反码是在其原码的根底上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码示意的是正数, 人脑无奈直观的看进去它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

3. 补码

补码的示意办法是:

负数的补码就是其自身

正数的补码是在其原码的根底上, 符号位不变, 其余各位取反, 最初 +1. (即在反码的根底上 +1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于正数, 补码示意形式也是人脑无奈直观看出其数值的. 通常也须要转换成原码在计算其数值.

三. 为何要应用原码, 反码和补码

在开始深刻学习前, 我的学习倡议是先 ” 死记硬背 ” 下面的原码, 反码和补码的示意形式以及计算方法.

当初咱们晓得了计算机能够有三种编码方式示意一个数. 对于负数因为三种编码方式的后果都雷同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不须要过多解释. 然而对于正数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是齐全不同的. 既然原码才是被人脑间接辨认并用于计算示意形式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑能够晓得第一位是符号位, 在计算的时候咱们会依据符号位, 抉择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最结尾). 然而对于计算机, 加减乘数曾经是最根底的运算, 要设计的尽量简略. 计算机分别 ” 符号位 ” 显然会让计算机的根底电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参加运算的办法. 咱们晓得, 依据运算法令减去一个负数等于加上一个正数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器能够只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简略了.

于是人们开始摸索 将符号位参加运算, 并且只保留加法的办法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 – 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码示意, 让符号位也参加计算, 显然对于减法来说, 后果是不正确的. 这也就是为何计算机外部不应用原码示意一个数.

为了解决原码做减法的问题, 呈现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 – 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 后果的真值局部是正确的. 而惟一的问题其实就呈现在 ”0″ 这个非凡的数值上. 尽管人们了解上 + 0 和 - 0 是一样的, 然而 0 带符号是没有任何意义的. 而且会有 [0000 0000] 原和 [1000 0000] 原两个编码表示 0.

于是补码的呈现, 解决了 0 的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补 =[0000 0000]原

这样 0 用 [0000 0000] 示意, 而以前呈现问题的 - 0 则不存在了. 而且能够用 [1000 0000] 示意 -128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127 的后果应该是 -128, 在用补码运算的后果中, [1000 0000]补 就是 -128. 然而留神因为实际上是应用以前的 - 0 的补码来示意 -128, 所以 -128 并没有原码和反码示意.(对 -128 的补码示意 [1000 0000] 补算进去的原码是 [0000 0000] 原, 这是不正确的)

应用补码, 不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题, 而且还可能多示意一个最低数. 这就是为什么 8 位二进制, 应用原码或反码示意的范畴为[-127, +127], 而应用补码示意的范畴为[-128, 127].

因为机器应用补码, 所以对于编程中罕用到的 32 位 int 类型, 能够示意范畴是: [-231, 231-1] 因为第一位示意的是符号位. 而应用补码示意时又能够多保留一个最小值.

四 原码, 反码, 补码 再深刻

计算机奇妙地把符号位参加运算, 并且将减法变成了加法, 背地蕴含了怎么的数学原理呢?

将钟表设想成是一个 1 位的 12 进制数. 如果以后工夫是 6 点, 我心愿将工夫设置成 4 点, 须要怎么做呢? 咱们能够:

1. 往回拨 2 个小时: 6 – 2 = 4
2. 往前拨 10 个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨 10+12=22 个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3 办法中的 mod 是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用 16 除以 12 后的余数是 4.

所以钟表往回拨 (减法) 的后果能够用往前拨 (加法) 代替!

当初的焦点就落在了如何用一个负数, 来代替一个正数. 下面的例子咱们能感觉进去一些端倪, 发现一些法则. 然而数学是谨严的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相干的概念: 同余

同余的概念

两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 对于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以 4, 16, 28 对于模 12 同余.

正数取模

负数进行 mod 运算是很简略的. 然而正数呢?

上面是对于 mod 运算的数学定义:

下面是截图, “ 取下界 ” 符号找不到如何输出(word 中粘贴过去后乱码). 上面是应用 ”L” 和 ”J” 替换上图的 ” 取下界 ” 符号:

x mod y = x – y L x / y J

下面公式的意思是:

x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x 与 y 的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2

= -3 – 2xL -3/2 J

= -3 – 2xL-1.5J

= -3 – 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 – 5 = 7

开始证实

再回到时钟的问题上:

回拨 2 小时 = 前拨 10 小时

回拨 4 小时 = 前拨 8 小时

回拨 5 小时 = 前拨 7 小时

留神, 这里发现的法则!

联合下面学到的同余的概念. 实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

- 2 与 10 是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

- 4 与 8 是同余的.

间隔胜利越来越近了. 要实现用负数代替正数, 只须要使用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很不言而喻的.

线性运算定理:

如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证实, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

当初咱们为一个正数, 找到了它的负数同余数. 然而并不是 7 -2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1= 1 的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反

先到这一步, - 1 的反码示意是 1111 1110. 如果这里将 [1111 1110] 认为是原码, 则 [1111 1110] 原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是 126.

发现有如下法则:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126 的余数后果是雷同的! 而这个余数, 正式咱们的冀望的计算结果: 2-1=1

所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是咱们的二进制, 而是所能示意的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可示意范畴内的一个正确的数值!

而 2 +126 很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参加计算的, 正好和溢出的最高位造成正确的运算后果.

既然反码能够将减法变成加法, 那么当初计算机应用的补码呢? 为什么在反码的根底上加 1, 还能失去正确的后果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

如果把 [1111 1111] 当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111]原 = 127

其实, 在反码的根底上 +1, 只是相当于减少了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每 128 个刻度转一轮. 所以用补码示意的运算后果最小值和最大值应该是[-128, 128].

然而因为 0 的非凡状况, 没有方法示意 128, 所以补码的取值范畴是[-128, 127]

自己始终不长于数学, 所以如果文中有不对的中央请大家多多蕴含, 多多指导!

转自：https://www.cnblogs.com/zhang…
作者：张子秋