关于机器学习:小白学AI线性回归与逻辑回归似然参数估计

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文章转自【机器学习炼丹术】

线性回归解决的是回归问题，逻辑回归相当于是线性回归的根底上，来解决分类问题。

线性回归 (Linear Regression) 是什么相比不必多说了。格局是这个样子的：
$f_{w,b}(x)=\sum_i{w_ix_i}+b$

而逻辑回归（Logistic Regression）的样子呢？
$f_{w,b}(x)=\sigma(\sum_i{w_ix_i}+b)$

要记住的第一句话：逻辑回归能够了解为在线性回归后加了一个 sigmoid 函数。将线性回归变成一个 0~1 输入的分类问题。

sigmoid 函数就是：
$\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

函数图像是：

线性回归失去大于 0 的输入，逻辑回归就会失去 0.5~1 的输入；
线性回归失去小于 0 的输入，逻辑回归就会失去 0~0.5 的输入；

这篇文章的重点，在于 线性回归的参数估计应用的最小二乘法 ，而 而逻辑回归应用的是似然预计的办法。（当然，两者都能够应用梯度降落的办法）。

举个例子，当初咱们有了一个训练数据集，是一个二分类问题：

下面的 $x^1$ 是样本，上面的 $C_1$ 是类别，总共有两个类别。

当初假如咱们有一个逻辑回归的模型：
$f_{w,b}(x)=\sigma(\sum_i{w_ix_i}+b)$
那么 $f_{w,b}(x^1)$ 的后果，就是一个 0~1 的数，咱们能够设定好，假如这个数字就是是类别 $C_1$ 的概率，反之，1 减去这个数字，就是类别 $C_2$ 的概率。

似然简略的了解，就是让咱们下面的数据集呈现的概率最大

咱们来了解一下：

$x_1$ 是 $C_1$ 的概率是 $f_{w,b}(x^1)$;
$x_2$ 是 $C_1$ 的概率是 $f_{w,b}(x^2)$;
$x_3$ 是 $C_2$ 的概率是 $1-f_{w,b}(x^3)$;
……
$x_N$ 是 $C_1$ 的概率是 $f_{w,b}(x^N)$;

样本之间彼此独立，那么下面那个数据集的概率是什么？是每一个样本的乘积，这个就是似然 Likelihood：

咱们心愿这个 w，b 的参数估计值，就是能取得最大化似然的那个参数。也就是：

加上负号之后，就能够变成最小化的问题。当然，加上一个 log 并不会影响整个的 w,b 的估计值。因为 $L(w,b)$ 最大的时候，$log(L(w,b))$ 也是最大的，log 是个枯燥递增的函数。所以能够失去上面的：
【留神：所有的 log 其实是以 e 为底数的自然对数】

log 又能够把之前的乘积和，转换成加法。
$log(L(w,b))=log(f(x^1))+log(f(x^2))+log(1-f(x^3))…$

而后，为了更加简化这个算是，咱们将 $C_1, C_2$ 数值化，变成 1 和 0，而后每一个样本的实在标签用 $y$ 来示意，所以就能够失去：
$log(L(w,b))=\sum_i^N{ylog(f(x^i))+(1-y)log(1-f(x^i))}$
【有点像是二值穿插熵，然而其实就是二值穿插熵。。】

当 y =1，也就是类别是 $C_1$ 的时候，这个是 $log(f(x^i))$
当 y =0，也就是类别是 $C_2$ 的时候，这个是 $1-log(f(x^i))$

所以其实咱们失去的损失函数是：
$loss=-log(L(w,b))=-\sum_i^N{ylog(f(x^i))+(1-y)log(1-f(x^i))}$

之前说了，要找到让这个 loss 最小的时候的 w 和 b，那怎么找？
【有情万能的梯度降落】

所以计算 $\frac{\partial loss}{\partial w}$，而后乘上学习率就好了。这里就不持续推导了，有急躁的能够缓缓推导，反正必定能推出来的。
这里放个后果把：
$\frac{-\partial lnL(w,b)}{\partial w_i}=\sum_n^N{-(y^n-f_{w,b}(x^n))x_i^n}$