本篇文章将介绍钟形曲线是如何造成的，以及 π 为什么会呈现在一个看似与它无关的曲线的公式中。
最近在翻阅一本旧的统计教科书时我发现了一个相熟的正态分布方程：
任何在大学上过统计学课程的人都遇到过这个等式。我本人也看过很屡次了，但这次从新看，立即想到了两个问题：
- 这货色到底是如何造成正态分布的？
- π 在那里做什么？
第一个问题仿佛很简略也很容易弄清楚：我只须要学习方程产生的历史而后将其一一拼凑起来。但第二个问题相对让人感到困惑：正态分布的钟形曲线与圆有什么关系？在做了一些我本人的钻研之后，我尝试通过这篇文章解释这种分割。
什么是钟形曲线？
在咱们进入 π 局部之前，首先须要深刻理解钟形曲线是如何造成的。首先从指数函数开始，咱们能够在下面的等式中看到它。它是独立存在的：
如果咱们对 x 的值进行平方，它会变成看起来有点像二次方的货色，但实际上并不是二次方。相同，它是一个比二次函数增长得更快的函数，但具备一些类似的属性（例如对于其最低点对称）。将其增加到下面的图中进行比拟，能够看到它们在 x=0 和 x=1 处具备雷同的值：
最初，让指数为负咱们失去上面红色显示的钟形曲线：
这个函数
f(x) = e^{-x²}只是一个具备有限可能性的非凡钟形曲线，咱们能够求 e 的任意二次方。然而只有当二次曲线是凹的（也就是说它向下“关上”）时，才会失去钟形曲线。下面那个二次方是 -x²，它的确向下开。
例如，上面用蓝色绘制的方程 f(x) = x² + x + 2 不是凹的，当 e 取它时，你会失去绿色曲线，这显然不是钟形曲线：
如果咱们将等式转换为 f(x) = -2x² + 3x + 2，咱们会失去一个凹函数，并且 e 造成钟形曲线的形态：
钟形曲线方程的一般方程被晋升为二次方程：
为了将其限度为凹二次方程，能够执行以下替换：
将这些代入并重新排列后失去以下后果，这简直与咱们在顶部开始的等式完全相同，只是在其后面加了一个 a：
将 a 替换成左边的等式中的蕴含 π 项的分数后，无论钟形曲线是什么形态，其下方的面积始终恰好为 1。这是因为对于统计散布：1 相当于 100% 的可能后果，并且面积总和应为该值。
换句话说，钟形曲线和那个 π 项之间的分割必须与曲线自身的面积无关。但这种分割到底是什么？
Pi 与钟形曲线的关系
让咱们回顾一下下面的工作。咱们取了一个超越数 e，并将它晋升到二次幂。当咱们计算该曲线下的面积时，咱们会失去另一个超越数 π。
事实证明这两个数字在几个方面是相干的，包含它们在复数零碎中通过数学中最丑陋的方程之一的关系：e^{iπ} + 1 = 0。尽管这个等式在这里并没有被用到。
相同，正如咱们将看到的 π 的呈现让咱们不得不去计算面积。咱们能够通过计算 e^{-x²} 的平方，而后求平方根来失去这个面积。也就是说：
咱们这么做的起因是咱们须要用到微积分技巧来求面积。网上有很多例子能够阐明如何做到这一点，但我想要提供的是这些剖析解决方案不肯定能传播的直观想法。
因为咱们用来计算面积的变量是任意的，咱们能够像上面这样简略地示意下面的方程，咱们用 y 代替第二个 x:
你当初能够把它设想成把一条钟形曲线放在 x 轴上另一条放在 y 轴上，而后获取它们的所有高度组合并绘制成三维图形:
要取得其中一条曲线的面积，只须要取得造成的“山丘”的体积，而后取该值的平方根。与此类似的是，在维数较少的状况下，晓得正方形的面积，而后通过开平方根失去它的边长。
这个技巧并不适用于所有类型的函数。如果二次方程 (比方 -x²+ 9)，不会失去正确的答案。起因是这只实用于平方的旋转对称的函数。而高斯曲线，能够从上面相似的二次方程式图中看到它是“四方形的”并且不像下面的曲线那样通过旋转而对称。
然而如何失去体积呢? 一种办法是将山坡分成像下面一样的正方形，而后在正方形两头获取每个正方形的高度。而后将这些方块的体积计算为（每个正方形的面积）⋅（高度），而后将所有这些较小的体积相加。正方形越小，近似成果越好（经典的微积分的思维）。
然而这样就暗藏了 π 是从哪里来的。如果咱们不应用平方，而是将其径向划分。在这张图中，咱们从山顶往下看，能够看到山的等高线:
把山顶划分成用彩色虚线示意的“片”。这些切片被进一步宰割成蓝色突出显示的局部。将这些蓝色局部的面积乘以该点的山的高度，就失去体积:
在这种状况下沿着“切片”反复此操作就能够失去整个切片的体积，而后将其乘以切片的总数就能取得整个体积。
如果让角度𝜃足够小那么它仅仅是一个薄片，能够将一片切片的体积乘以 2π 弧度（即圆中的弧度数）。
如果做这个数学运算（还是微积分），你会发现每个切片的面积正好是 0.5。将其乘以 2π 弧度，您将失去一个齐全等于 π 的体积。
所以 Pi 来自于咱们通过制作径向切片，而后将它们缝合成一个圆来失去体积。
总结
事实证明，任何通过旋转对称的货色都能够被认为与圆无关，圆意味着 π 必定会潜藏在数学的某个中央。
尽管这不是一个严格的证实并且我跳过了很多细节 (例如，两条钟形曲线的 3D 绘图通常不适用于所有函数，但它实用于咱们应用的函数)。我心愿这篇文章能够让你直观地了解为什么 π 仿佛忽然呈现在与它无关的曲线的公式中。
作者：Ryan Brideau
转自：https://www.overfit.cn/post/6…