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小 Mi 学习，向上踊跃！在后面几周的学习中，小 Mi 终于带着大家完完整整学完了线性回归，同时小 Mi 也收到了大家的很多反馈，在后续的学习中，小 Mi 会一一改良的！明天咱们就开启新的章节学习—logistic 回归(Logistic Regression) 算法吧（冲鸭）！
1 分类问题
在 logistic 回归算法中，咱们通常遇到的是所需预测的变量 y 是一个离散值这种状况下的分类问题，在介绍篇中，小 Mi 就曾经带着大家略微理解了哪些问题是分类问题，比方垃圾邮件分类问题，还有就是对肿瘤进行分类的例子，确定其是恶性癌症还是良性肿瘤。在所有的这些问题中，咱们尝试预测的变量 y，都只有两个取值的变量，0 或 1，垃圾邮件或者非垃圾邮件，恶性或良性。咱们将因变量 (dependent variable) 可能属于的两个类别离称为负向类（negative class）和正向类（positive class），则因变量，其中 0 示意负向类，1 示意正向类。两个类别中，例如垃圾邮件或非垃圾邮件，到底哪个是正类 /1，哪个是负类 /0，这都是任意的，并没有什么区别。但通常来说，咱们默认负类示意没有某样货色，例如没有恶性肿瘤，而 1 即正类，示意具备咱们要寻找的货色。当然啦，这都不重要，重要的是如何解决分类问题，对不对！当然还会有多分类问题，例如变量 y 能够选取 0，1，2，3 这几个值，这就是多分类问题，当初咱们就先从二分类问题开始理解吧！
说到这小 Mi 不由得眉头一皱; 计上心来，话说之前学习的线性回归是否实用于分类问题呢？废话不多说，咱们一起来验证一下！假如下图中的数据集，是对肿瘤进行恶性或良性分类，失去的数据只有两个值，0/ 否或者 1 / 是，依据线性回归算法用直线对数据进行拟合。最终失去的假如为：，而分类器输入的阈值设为 0.5，即纵坐标值如果大于等于 0.5，预测 y 为 1；如果小于 0.5，预测 y 等于为 0。
在这个例子中，仿佛线性回归拟合的成果还不错，然而，尝试减少些难度，如果咱们还有另一个训练样本，位于左边最远边，如果仍旧运行线性回归，咱们会失去另一条蓝色的直线。
如果还跟之前一样将阈值设为 0.5，这时候就能显著看进去是一个相当差劲的线性回归了。毫无疑问，学习算法会将这个样本断定为恶性，但加了这个样本后，使得线性回归对数据的拟合直线从红色变成蓝色这条直线，变成了一个更坏的假如。因而，把线性回归利用于分类问题，通常并不是一个好主见。在这个例子中，在额定加这个样本之前，之前的线性回归运气很好，咱们失去了一个假如，成果不错。但通常对数据集进行线性回归，只是偶然成果会很好，所以并不举荐将线性回归用于分类问题。
总的来说，如果咱们要用线性回归算法来解决一个分类问题，首先分类问题中，取值只有 0 或者 1，但如果假如函数的输入值远大于 1，或者远小于 0，就无奈解决这种状况了。所以咱们的逻辑回归算法就闪亮退场啦！这个算法的性质是：它的输入值永远在 0 到 1 之间，即。
BTW，咱们把 logistic 回归视为一种分类算法，因为名字中有“回归”，有些时候可能会让你产生误解，但 logistic 回归实际上是一种分类算法，用在标签 y 为离散值 0 或 1 的状况下，实用于标签取值离散的状况，如：1 0 0 1。
2 假说示意
那么在 logistic 回归中，咱们要应用哪个方程来示意咱们的假如呢？此前，咱们提到心愿咱们分类器的输入值在 0 和 1 之间，另外，当咱们应用线性回归的时候，假如模式为，当初咱们能够稍作批改，假如，sigmoid/logistic 函数，z 是一个实数，将这两个函数联合起来，得出的后果为：，的图像如下图所示，介于 0~1 之间。当初须要做的就是用参数来拟合咱们的数据。因而，拿到一个数据集，咱们须要给参数选定一个值，假如函数会帮忙咱们做出预测。
python 代码实现：
import numpy as np
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
在这里，假如函数的输入，假若输入某个数字，能够把这个数字当作对一个输出，y= 1 的概率预计。
举例：
咱们应用肿瘤分类的例子，可能有一个特征向量，同样，，而后咱们的一个特色是肿瘤的大小，假如有一个病人，他的肿瘤大小确定，把他的特征向量带入咱们的假如中，并且假如输入为 0.7，阐明对于一个特色为的患者，y= 1 的概率是 0.7，也就是说，该病人有 70% 的可能性是恶性肿瘤，能够更加正式地写成数学表达式，假如函数的输入等于（知识点：示意在给定 x 的条件下 y = 1 的概率，即病人的特色为 x 的状况下，病人的特色也就是代表肿瘤的大小，这个概率的参数是），所以基本上依赖假如函数来预计 y = 1 的概率是多少，因为这是一个分类工作，y 必须是 0 或 1，无论是在训练集中还是将来可能走进医生办公室的新患者，同时也能够计算 y = 0 的概率，另外，还有个表达式须要理解一下：（能够参照来了解），给定参数，对具有特征 x 的病人，y= 0 的概率与同样给定参数，对具有特征 x 的病人，y= 1 的概率相加和为 1。
本节介绍的是 logistic 回归中假如函数的示意办法，上面将更直观地意识假如函数是什么样子的，会波及到决定边界这个概念，也会有一些可视化的展示帮忙大家更好地了解。
3 断定边界
当初讲下决策边界 (decision boundary) 的概念。这个概念能更好地帮忙咱们了解逻辑回归的假如函数在计算什么。
Logistic 回归的表达式能够写成：，（sigmoid 函数），g(z)图像如下图所示，从零开始缓缓减少至 1，并逐步迫近 1。当初能够进一步了解，这个假如函数何时会将 y 预测为 1，什么时候又将 y 预测为 0，并且能够更好地了解这个假如函数的形态，特地是当咱们的数据有多个特色的时候。
那么什么时候将大于或等于 0.5 呢？咱们最终预测 y =1，看 sigmoid 函数的曲线图，只有 z 大于或等于 0，g(z)就大于等于 0.5，因为 logistic 回归的假如函数，只有大于等于 0，就大于或等于 0.5，所以这里取代了 z 的地位，所以，咱们的假如函数将会预测 y =1，只有大于或等于 0。假如函数预测 y = 0 的状况，相似地，将会小于 0.5，只有 g(z)小于 0.5，这是因为 z 的取值，使得 g(z)小于 0.5 的局部，是 z 小于 0 的局部，当 g(z)小于 0.5 时，咱们的假如函数将会预测 y =0，依据与之前相似的起因，，因而，只有小于 0，咱们就能预测 y 等于 0。总体来说，如果咱们决定要预测 y = 1 或 y =0，取决于估值概率是大于等于 0.5 还是小于 0.5，换句话说，咱们将预测 y = 1 的话，只须要大于或等于 0，另外，咱们将预测 y =0，只须要小于 0。通过这些，咱们能更好地了解 logistic 回归的假如函数是如何做出预测的。
当初，咱们假如有一个训练集，假设假如函数是（如何模仿此模型中的参数后续将会探讨，目前假如咱们曾经拟合好了参数），目前咱们抉择为 3，和均为 1，这意味着我的参数向量，这样咱们就有了这样的一个参数抉择，而后开始试着找出假如函数何时将预测 y =1/0，应用公式，咱们会发现 y 更有可能是 1，或者说 y = 1 的概率大于等于 0.5，只有满足大于 0，即大于 0。转换一下，对于任何样本和，只须要满足即可。而在图片中也能够间接显示进去，画出这条直线，直线的右半局部将预测 y =1，左半局部将预测 y =0。因而，这条直线就被成为决策边界，在该实例中就是这条直线对应的一系列的点，也恰好对应正好等于 0.5 的区域，将整个立体分成了两局部。决策边界是假如函数的一个属性，包含参数、和，决定于其参数。预先，咱们将探讨如何拟合参数，将应用训练集联合咱们的数据来确定参数的取值，然而，一旦咱们有确定的参数取值，如参数、和，咱们就能够齐全确定决策边界。咱们实际上并不需要通过绘制训练集来确定决策边界。
当初咱们看一个更加简单的例子，和平常一样，应用 x 示意咱们的正样本，圆圈示意咱们的负样本，给定一个这样的数据集，出现这样的散布状况，怎样才能应用 logistic 回归来拟合这些数据呢？
之前咱们提到过多项式回归或线性回归时，谈到能够在特色中增加额定的高阶多项式项，咱们也能够对 logistic 回归应用雷同的办法，具体地说，假如函数为:，增加了两个额定的特色和，所以咱们当初有五个参数（如何抉择，，…，的取值），倘若咱们曾经确定，为 -1，和均为 0，和取值为 1，这意味着在这个参数的抉择下，失去的参数向量是。也就是说，预测 y = 1 时，只须要即可，更为简略地说也就是只有就行。从而能够晓得决策边界是，这是以原点为核心半径为 1 的圆，只有在圆里面，都将预测 y =1，而在圆内的话，都将预测 y =0。通过在特色中减少这些简单的多项式，还能够失去更为简单的决策边界，并不全是以直线划分正负样本。再次强调，决策边界并不是训练集的属性，而是假如自身及其参数的属性，只有给定了参数向量，决定边界就确定了，并不是用训练集来确定决策边界，而是用训练集来拟合参数。
还有比这更为简单的决策边界吗？，比方咱们有更高阶的多项式：，这种就能够失去更为简单的决策边界，而 logistic 回归能够用于寻找决策边界，例如这样一个椭圆，参数不同，兴许会失去另一个不同的决策边界，还有一些其余乏味的形态。因而，这些高阶多项式特色能够让咱们失去非常复杂的决策边界。从而能够让咱们更加清晰地意识到，什么样的假如函数，咱们能够应用 logistic 回归来示意。
当初咱们晓得了，接下来将学习如何主动抉择参数，使咱们能在给定一个训练集时，依据数据主动拟合参数。
好啦，明天小 Mi 率领大家全新意识了逻辑回归的根本函数示意，下期咱们还将进一步学习其代价函数、梯度降落法以及多类别的分类问题。咱们，下期再见呦~