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线性回归算法概述
- 这篇文章，咱们讲一下第一个机器学习算法————线性回归算法。
- 为了引入算法，首先，咱们要看一下相干的概念：
咱们依然以预测房价为例，给出的数据集称为训练集，咱们的工作就是从训练集中学习法则，进而预测更多的屋宇价格。
咱们定义了以下符号：
（1）m：训练集的数据数目
（2）x：输出的特色
（3）y：输入的标签，即咱们要预测的后果
（4）（x，y）示意一个训练样本，上标 i 示意第 i 个训练样本（不是示意求幂，而是示意训练集的第 i 行）
- 接着，咱们要理解下机器学习的工作流程：
（1）把训练集喂给学习算法
（2）学习算法开始工作，输入函数 h（hypothesis 假如函数），一个从 x 到 y 的函数映射
（3）输出 x 特色，输入 y 预测标签
- 线性回归，即输入的假如函数 h 是一次函数，用一条直线拟合训练集上的点
代价函数：失去最优假如函数
- 代价函数，就是如何抉择一次函数的两个模型参数，使得假如函数尽量与数据点相拟合。换言之，就是解决一个最小化问题，使得假如函数 h 的预测值和理论值的差距尽可能的小（预测房价中，就是让预测价格和理论价格的差距尽可能的小）。
因为咱们无奈失去所有的理论值，所以咱们只计算训练集提供的理论值；而因为训练集的数据数量 m 往往不同，所以咱们须要 /2m 求平均误差
在这里，咱们应用平方误差函数作为代价函数。平方误差函数是代价函数的一种，对于机器学习的大多数问题尤其是回归问题，平方误差函数是咱们最罕用的抉择
代价函数的直观感触
下边咱们通过一些例子，来获取代价函数的直观感触
- 首先，咱们先用简化的函数来了解。令截距为 0，函数就变成只有斜率一个参数的函数。咱们绘出代价函数随斜率变动的图像，可见，当斜率取某个值时，代价函数获得全局最小值，这时斜率的取值就是最优假如函数 h 的参数
- 接着，咱们看一下两个参数的代价函数
为了形容不便，咱们不应用三维曲面图，而用轮廓图（每个圆示意代价函数 j 的值雷同的所有点，相似地形图）
梯度降落法：主动找出代价函数最小化时的参数
- 介绍了代价函数之后，咱们须要有一种算法，可能主动找出代价函数最小化时的参数来。所以咱们引入了梯度降落法，主动将代价函数最小化
- 下边，咱们看一下两个参数的梯度降落法流程：
（1）首先赋予两个参数初始值。这个初始值赋啥不重要，依照习惯，咱们个别都初始化为 0
（2）而后一直一点点的扭转两个参数，使得代价函数 j 变小，直到找到一个部分最小值
- 这个流程能够用下山来了解：
把图设想成山，咱们站在山的一个点上，旋转 360 度环顾四周。而后问本人：如果我要迈着小碎步尽快下山，那么第一步要迈向哪个方向。
迈完一步后，站在新的点上，反复上述步骤，直到走到一个部分最低点
- 值得注意的是，如果咱们换了一个点应用梯度降落的话，可能会来到另外一个部分最低点。即不同的初始值，找到的部分最低点可能不同
- 下图是梯度降落法的数学公式，咱们来看一下公式的细节问题：
（1）:= 示意赋值。a:=b，不论 a 为何值，都会取 b 的值并且赋予 a；而 a =b，是一个让 a = b 的值的真的申明。a:=a+ 1 是能够滴，然而 a =a+ 1 不行
（2）a 示意学习速率，即咱们下山时迈出多大的步子。a 大，试着用大步子下山；a 小，试着用小碎步下山
（3）是一个微分项，后边再说怎么用
（4）一个很奥妙的问题就是咱们更新两个参数的程序。这里要留神，肯定要同时更新，即先令 j 别离等于 0 和 1，计算得出后果后，同时更新参数 0 和参数 1；而不是先令 j =0，算出后果后更新参数 0，而后令 j =1，带入新的参数 0 失去参数 1,。因为如果是后者用新的参数 0 的话，实际上计算参数 1 带入的点就不是函数上的点了
梯度降落法的直观感触
- 前边咱们说过，学习速率 a 管制咱们以多大的幅度更新这个参数，下边咱们依然令截距为 0，通过只有一个参数的函数，直观的意识下学习速率和微分项的作用
- 因为偏导数和导数的区别在于：偏导数有多个参数，而导数只有一个参数。所以当只有一个参数时，实际上相当于 a * 切线斜率。
学习速率 a 是一个负数，若斜率为负，更新后参数变大，代价函数横坐标右移；若斜率为正，更新后参数变小，代价函数横坐标左移。所以，随着参数更新，代价函数在一直靠近最小值
- 如果学习速率 a 太大或者太小会产生什么呢？
（1）学习速率 a 太小，就像小宝宝的步调，许多步也到不了最低点，影响效率
（2）学习速率 a 太大，当靠近最低点时，可能会间接跨过最低点，在最低点左近左右来回挪动，但就是到不了最低点
- 如果初始化时就把参数放到了一个最低点，后边会怎么样？最低点斜率等于 0，更新参数值没有变动，梯度降落法啥也没做
- 这里还有一个细节问题，随着代价函数一直靠近最低点，导数越来越小，这时只管学习速率 a 没有变动，然而更新幅度还是会变小。这有利于咱们收敛到最小值，而不必人为的扭转 a
- 上边的这种梯度降落算法，称为批量梯度降落算法。即在梯度降落的每一步，都会计算所有的（整个批次的）训练集标签和预测值的差别。
实际上，梯度降落法还有其余的版本，例如每次只计算训练集的一个小子集的差别
线性回归算法的得出
- 何为线性回归算法：
将梯度降落法利用到线性回归的平方误差代价函数，来最小化平方误差代价函数
- 得出线性回归算法：
（1）首先带入代价函数，计算出微分项的后果：
（2）将后果带入梯度降落算法，重复执行式子直到收敛，这就是线性回归算法（收敛：函数向某一个值凑近，这里了解为两个参数更新时不再发生变化（不发生变化阐明斜率为 0，达到了部分最低点））