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前言
PCA（Principal Component Analysis）是一种罕用的数据降维办法，它的次要思维是将高维数据降维到一个低维空间，同时保留尽可能多的原始数据的信息。
定义
PCA (Principal Component Analysis) 是一种罕用的数据降维算法，用于对高维数据进行降维和特征提取。它的次要思维是通过对数据的协方差矩阵进行特征值合成，抉择前 k 个特征值最大的特征向量作为新的主成分，将原始数据投影到主成分空间，从而实现数据降维。
PCA 罕用于数据降维、数据可视化、数据压缩等场景，其特点是能够无效的升高数据维度，保留数据的次要特色。
PCA 步骤
- 中心化：将数据的每一个特色列减去该列的平均值，使得每一个特色的均值为 0。
- 协方差：计算样本的协方差矩阵，该矩阵示意各个特色之间的关系。
- 特征分析：对协方差矩阵进行特征分析，失去特征值和特征向量。特征向量示意了新的坐标轴的方向，特征值示意了新坐标轴的方差。
- 降维：抉择特征值较大的特征向量，结构新的坐标系，将原始数据投影到新的坐标系上，从而达到降维的目标。
这些步骤通过计算的过程能够失去一个主成分的矩阵，该矩阵的列示意了新的坐标轴，行示意了每一个样本在新坐标系上的坐标。
PCA 算法的一个重要长处是能够无效的升高数据的维度，升高数据的维数对于升高算法的复杂度和防止过拟合都有很重
PCA 长处
- 简化数据：PCA 能够无效的升高数据的维度，简化数据，便于后续数据分析。
- 缩小噪声：PCA 能够把噪声数据升高到最小，进步数据的品质。
- 可视化：PCA 能够将高维数据映射到二维或三维空间，便于人眼察看和可视化。
- 去冗余：PCA 能够打消数据中的冗余信息，只保留次要信息。
PCA 毛病
- 信息损失：PCA 为了升高数据的维度，可能会导致肯定的信息损失。
- 难以解释：PCA 降维后的数据维度和特色很难被人类间接了解和解释。
- 不适用于非线性数据：PCA 实用于线性数据，对于非线性数据，PCA 可能不能失去现实的后果。
所以在应用 PCA 时，要依据你的理论状况权衡利弊，联合其余算法一起应用
代码
import numpy as np
# 应用这段代码能够实现将原始数据降维至指定的维数，并返回降维后的数据
def PCA(X, k=None):
"""
X: m x n 的数据矩阵，m 示意样本数量，n 示意每个样本的特色数
k: 须要保留的主成分数量，如果不指定，则保留所有的主成分
"""
# 对样本进行中心化
X_mean = np.mean(X, axis=0)
X = X - X_mean
# 计算协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(X.T)
# 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
# 对特征值进行排序，从大到小
eigenvalues_sorted_index = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
eigenvalues = eigenvalues[eigenvalues_sorted_index]
eigenvectors = eigenvectors[:, eigenvalues_sorted_index]
# 依据 k 的值抉择保留的主成分数量
if k is not None:
eigenvalues = eigenvalues[:k]
eigenvectors = eigenvectors[:, :k]
# 计算降维后的数据
transformed_X = np.dot(X, eigenvectors)
return transformed_X正文完