引子
在 Filed Play:简介中提到了这个办法,查资料理解了一下。
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相干概念
极限
有时不能间接计算某个值,但能够看看逐步靠近时的状况,看上面的例子:
当 x = 1
时,发现后果是 0/0
,这个在数学上是未定式,是不确定的。那看看靠近的状况:
x | f(x) |
---|---|
0.5 | 1.5 |
0.9 | 1.9 |
0.99 | 1.99 |
0.9999 | 1.9999 |
0.999999 | 1.999999 |
发现当 x
靠近 1 的时候,f(x)
越来越靠近 2,这种状况就是 极限。
咱们能够说当 x
趋近 1 时,f(x)
的极限是 2,用符号示意就是:
更加正式的定义见这里。
导数
设函数 f(x) 在 x0 有定义,如果以下极限存在:
则称 f(x) 在 x0 处 可导 ,上述极限值为 f(x) 在 x0 处的 导数,记作 f‘(x0)。
导数形容的是函数的 变化率,在几何中能够通过导数计算出某一点切线的斜率。
求导法令见这里。
微分
设函数 y=f(x) 在 x0 处间断,若存在实数 A,使得:
其中 △x -> 0,则称 f(x) 在 x0 处 可微 ,线性局部 A△x 为 f(x) 在 x0 处的 微分,记作 dy。
微分的几何意义是线性代替,线性代替的思维能够推广至高阶代替。
更加具体的介绍见这里。
微分方程
微分方程 指的是含有函数及其导数的方程。微分方程中有的有无穷多解,有的无解,有的则仅有无限个解。
微分方程的 阶数 取决于方程中呈现的最高次导数阶数。
- 常微分方程:仅含有一个独立变量的微分方程。
- 偏微分方程:函数蕴含两个或两个以上的独立变量。
- 特解:满足微分方程的某一个解。
- 通解:满足微分方程的一组解。
- 初值问题:满足初值条件的常微分方程的解。
- 单步法:计算下一个点的值 yn+1 只须要用到后面一个点的值 yn。
- 多步法:计算下一个点的值 yn+1 须要用到后面 m 个点的值 ym。
更多信息见这里和这里。
Runge-Kutta
龙格-库塔法是一种求解常微分方程数值解的单步算法。其中有一个在工程上利用很宽泛,称为 RK4。
对于一阶微分方程初值问题:
其中,t0 为初始工夫(已知常数),y0为初始状态(已知向量),f(t,y) 是对于工夫 t 和状态 y 的函数(已知函数)。
RK4 求解算法为:
其中:
h 为工夫步长。
参考资料
- Runge–Kutta methods wiki
- Runge–Kutta methods mathworld
- Runge-Kutta 办法及其推导
- 龙格库塔法