最近开始致力钻研算法,遇到这个很有意思的题目,因为从中温习到斐波那契数列,又通过某篇材料,查到中科院官网,看了很多科普文章。深挖上来能看到很多货色。
本着酷爱分享的初衷,整顿本文与大家分享,题目自身没啥难度,欢送一起交换,算法大佬求不喷,多谢。
进入主题。
本题为 LeetCode 第 70 题爬楼梯,题目如下:
假如你正在爬楼梯。须要 n 阶你能力达到楼顶。每次你能够爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的办法能够爬到楼顶呢?
大家能够先想想 。
流程剖析
本题中,能够每次能够走 1 级,也能够一次走 2 级,因而咱们会有 3 种走法:
- 全程任意走,如全副 1 级走;
- 后面任意走,最初一步只走 1 级;
- 后面任意走,最初一步只走 2 级;
我画了几张图不便大家了解,如下:
第一种走法就不做具体介绍。
第二种走法,倒数第二步的走法如下,有 1 步和 2 步两种形式:
第三种走法,倒数第二步的走法如下,也有 1 步和 2 步两种形式:
下面这个过程形容的是,从最初一层开始往下的每一层的走法。
在最初一步时,有 1 步和 2 步两种形式,能够了解为只能 1 步或者 2 步达到最初一层。
- 当最初一步为 1 步时,即从 n-1 层开始;
- 当最初一步为 2 步时,即从 n-2 层开始;
再了解一下这个过程,就是第 n 层的走法数量是第 n-1 层和第 n-2 层走法数量之和。
如果还不太了解,能够再看看后面的图。
归纳法剖析
当然,遇事不决,归纳法走起,咱们能够列举几种状况进行剖析:
台阶层数 | 走法数量 | 走法 |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 11、2 |
3 | 3 | 111、12、21 |
4 | 5 | 1111、112、121、211、22 |
5 | 8 | 11111、1112、1121、1211、2111、221、212、122 |
… | … | … |
能够发现有个简略的法则,当台阶层数为 n 层,它的走法数量就有 n-1 层的走法数量加上 n-2 层的走法数量。
记做:f(n)=f(n-1)+f(n-2)
。
第 1 层固定 1 种走法;
第 2 层固定 2 种走法;
…
第 5 层走法的数量等于第 4 层加上第 5 层走法数量。
了解分明整个流程法则当前,咱们就能够编码就简略多了:
解法 1:循环累加计算
通过简略的循环累加就能失去后果:
const climbStairs = (n = 1) => {if(n <= 2) return n;
let res = 0, n1 = 1, n2 = 2; // n1 示意前 2 项,n2 示意前 1 项
for(let i = 3; i<= n; i++){ // 前两项值固定,因而从第 3 项开始循环
res = n1 + n2;
n1 = n2;
n2 = res;
}
return res;
}
测试下第 6 层的走法数量:
climbStairs(6); // 13
解法 2:递归计算
依照 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
,这个办法更加简略:
const climbStairs = (n = 1) => {if(n <= 2) return n;
return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
}
测试下第 6 层的走法数量:
climbStairs(6); // 13
这个办法比拟简洁易懂,但递归比拟费时,容易呈现 LeetCode 超出工夫限度的提醒。
解法 3:利用数组个性
利用 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这个法则,先预设好前 2 项,再开始循环,最初返回数组最初一项即可:
const climbStairs = n => {let result = [1,2];
for (let i = 2; i < n; i++) {result.push(result[i-1] + result[i-2]);
}
return result[n-1];
};
解法 4:利用 JavaScript ES6 新个性
利用数组构造赋值操作:[a, b] = [c, d]
:
const climbStairs = n => {
let a = b = 1;
for (let i = 0; i < n; i++) {[a, b] = [b, a + b];
}
return a;
};
当然,大家还有其余解法,欢送一起探讨~
拓展常识:每次能够走 1 步、2 步、3 步
这里多减少了一次能够走 3 步,这时候最初一步会有以下状况:
- 当最初一步为 1 步时,即从 n-1 层开始;
- 当最初一步为 2 步时,即从 n-2 层开始;
- 当最初一步为 3 步时,即从 n-3 层开始;
革新一下后面解法,还是一样:
const climbStairs = (n = 1) => {if(n <= 2) return n;
if(n == 3) return 4;
return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2) + climbStairs(n-3);
}
测试下第 6 层的走法数量:
climbStairs(6); // 24
拓展常识:斐波那契数列
这一题次要考查的内容相似斐波那契数列(Fibonacci sequence)的计算,如果你还不分明什么是斐波那契数列,这边先简略介绍一下,另外举荐李永乐老师解说的斐波那契的课。
最早是有由数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子滋生为例子而引入的,数列大抵如:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、….。
认真察看,咱们能够发现一个法则: 从第 3 项开始,每一项的值都等于前两项之和 。
在自然界中,存在着许许多多的斐波那契数列的排列形式,比方一棵一般的树,它的树枝成长状况就像上面这样:
(图片起源网络)
能够看到每一层枝干的数量为 1、2、3、5、8、… 排列上来。当然还有很多其余的:
(自然界中各种各样的裴波那契螺旋,图片来源于网络)
依据斐波那契数列的法则,失去这样的公式 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
。跟咱们后面列的差不多。
总结
这道题自身难度不大,然而如果没有理清流程和法则,很容易掉坑,写多余的代码。本文只列举 4 个简略实现办法,如果大家有其余实现形式,欢送一起探讨,哈哈。