这是图算法的第五篇文章：图解：最短门路之如何了解“松弛”or“放松”？
最短门路问题的目标是找到从一个顶点达到另一个顶点的老本最小的门路。最短门路算法 被宽泛地利用于解决各种简单的问题，比方在地图中寻找两个地点之间的最短门路，如何在网络连接中为路由器寻找最短的传输门路等等。为了实现 最短门路算法 ，人们创造了一系列的算法，比方：Dijkstra 算法 与Bellman-Ford 算法 。然而这些算法都基于一个被称为 放松 的基本操作
relaxtion, 有些人称为松弛，我就间接简略翻译为放松了，别管怎么叫，了解就行
在这篇文章中，我会具体介绍 放松 操作，同时给出解决最短门路问题的根本（通用）思维。
这篇文章的纲要是：
- 1. 什么是最短门路问题？
- 2. 怎么了解边的 放松？
- 3. 边的放松程序重要吗？
- 4. 无环加权图的最短门路算法
1. 什么是最短门路问题？
咱们接下来要探讨的问题被称为 单源最短路（Single-Source Shortest Path），艰深来讲，就是给定一幅加权图和一个特定的顶点 s，称为 源；咱们的指标是对于图中任意一点 v, 计算从源s 达到 v 的最短门路
G=(V,E)是一个加权图
- 图 G 中的边有权重
- 能够为有向或者无向
- 能够是连通的或者不连通的
- 取
s作为一个非凡的顶点——叫做源
指标：对于图中任意一点 v, 计算从源s 达到 v 的最短门路
咱们一起来看一个例子：
在这幅图中，咱们取源 s，对于顶点A，从s 达到 A 的门路只有一条 SA，所以最短门路就是SA，最小权重为1；对于顶点B, 从s 达到 B 的门路有两条：SB与SAB, 显然最短门路是SAB, 最小权重为1+1=2。
对于上面这幅图呢？
咱们把最小权重写在每个顶点外部会失去图二，这就是咱们的指标！
2. 怎么了解边的 放松？
当初，咱们就来一起看一下 放松 这一个最根本最重要的操作吧！
对于一条从
顶点 u指向顶点 v的边u-->v来说，如果满足 d[u]+w(u,v)<d[v], 就更新d[v], 使得d[v]=d[u]+w(u,v)；这就是对边 uv的一次放松操作；其中，w(u,v)示意边的权重，d(u)示意顶点 u 达到源 s 的最短距离(目前已知)
以下图为例，通过这次放松，咱们 有可能 可能改良 d[v]！顶点 v 本来有一个最短门路值d[v], 它是在咱们没有把握足够多的信息的状况下做出的长期判断，d[v] 可能真的是最终的答案也可能不是。咱们就是通过对 边 uv进行放松操作来看一下能不能改良。如果 d[u]+w(u,v)<d[v] 成立，也就意味着咱们找到了一条更近的门路达到 顶点 v ，这条门路是通过 顶点 u 的那条。所以，咱们就更新 顶点 v 贮存的值d[v]，同时还要更新门路信息, 使得edgeTo[v]=u
下面就是 放松 的定义，它的本质就是判断一个顶点能不能有更好的抉择，已知的最短门路能不能更短；如果满足那个不等式，就阐明咱们能够找到一条更好的门路，就 更新 它，改良 它！
下面咱们谈到的是 对边的放松 ，然而在理论的代码实现中，咱们的操作是 对一个顶点进行放松 。这儿了解起来很天然， 对一个顶点进行放松就是对所有从该顶点收回的边进行放松的总和
在上图中，咱们对顶点 v 操作中，对它相邻的三个边进行 放松 ，其实质就是 在问相应边对面的顶点————“你可能被改良（更短）吗？”
在理解了 放松 这个操作之后，咱们就来看一下如何利用 放松 来求最短门路，下文以一个很简略的图来举例
咱们首先将所有的顶点的值 d[v] 标记为无穷大（因为咱们还不能到达这些顶点），源 s 非凡解决标记为0，即d[s]=0, 因为源 s 间隔本身的间隔显然为 0
接下来，咱们对 顶点 s 进行 放松 。也就是对每一个从顶点s 收回去的边进行放松，别离是 SA 与SB。先对 SA 放松，因为 d[s]+1<∞, 合乎放松的条件，放松边SA 同时使edgeTo[a]=s，失去图二
而后对边 SB 放松，同样因为 d[s]+1<∞, 合乎放松的条件，放松边SB, 同时使edgeTo[b]=s 失去图三
很容易发现，图三并不是最终的答案：SAB边要比 SB 边短，而后，对顶点 A 进行雷同的放松操作，失去图四即为最终的最短门路, 同时扭转edgeTo[b]=a。
图五就是操作的全副流程：
最初，咱们能够通过 edgeTo[] 数组 来失去所有的最短门路。比方依据 edgeTo[b]=a 失去顶点 B 是从顶点 A 过去的；而再依据 edgeTo[a]=s 失去顶点 A 是从顶点 S 处过去的，由此溯源了一条从 S 达到 B 的残缺门路！
3. 边的放松程序重要吗？
在下面的篇幅咱们探讨了应用 放松 操作取得最短门路的一个简略示例，咱们从前往后顺次对顶点 S 和 A 进行放松。然而因为咱们的示例切实是太简略了，就没有器重放松的程序！在这里，我想说的是，对于一个比拟大的图（至多顶点不再是简简单单的三个），边的放松程序重要吗？或者说不同的放松程序可能达到雷同的目标（求最短门路）吗？答案是否定的！
咱们还是以一个例子阐明这件事件：程序很重要！
在图中，如果你先放松顶点 S，再放松B,C 最初放松顶点 A 就会呈现问题！你会发现，当放松完顶点 B 后，d=5, 最初对 A 放松并不会影响 d=5 的事实；所以，最初咱们失去达到 C 的最短门路的值为5，而后实际上并不是这样，从图中不难看出，最小值是SABC, 为4！
或者从听到我这个问题你就感觉到程序是有要求的，当初更加证实了你的想法，记住：放松的程序很重要！
咱们随后要探讨的好几种最短门路算法，都是在钻研 放松 的程序！比方:
Dijkstra 算法
如何决定边的放松程序次要取决于 图的性质【有环无环】【有无负权重边】
接下来咱们就以 无环加权图 为例来看一下具体的实现过程。
4. 无环加权图中的最短门路算法
算法：先对图进行拓扑排序，而后依照拓扑程序放松顶点
我感觉伪代码更能体现思路，所以在上面给出了伪代码，具体的代码实现能够看一下 算法 4 ：
DAG-Shortest-Path(G, s)
Topological Sort G ;
For each v, set d(v) = 1 ; Set d(s) = 0 ;
for (k = 1 to |V|) {
v = kth vertex in topological order ;
Relax all outgoing edges of v ;
}
return d ;首先对原图进行拓扑排序，失去顶点的拓扑程序，见【图一】
而后，将源顶点的间隔初始化为 0，其余顶点的间隔值初始化为∞, 从左向右顺次对每个顶点 放松
至此，依照拓扑程序放松了所有顶点，最短门路也就求进去了。留神：该算法有两个比拟重要的性质：
- 1. 可能解决负权重的边
- 可能求出最长的门路（只须要将原图的所有权重取反即可）
参考:Understanding Edge Relaxation for Dijkstra’s Algorithm and Bellman-Ford Algorithm
5. 后记
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