1 重点概念
1.1 结点概念
一棵二叉树是节点的一个无限汇合，该汇合或者为空，或者由一个根节点加上两棵左子树和右子树组成
结点是数据结构中的根底，是形成简单数据结构的根本组成单位。
1.2 树结点申明
本系列文章中提及的结点专指树的结点。例如：结点 A 在图中示意为：
2 树
2.1 定义
树（Tree）是 n（n>=0)个结点的无限集。n= 0 时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当 n >1 时，其余结点可分为 m(m>0)个互不相交的无限集 T1、T2、……、Tn，其中每一个汇合自身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还须要强调以下两点：
1）n>0 时根结点是惟一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0 时，子树的个数没有限度，但它们肯定是互不相交的。
示例树：
图 2.1 为一棵一般的树：
图 2.1 一般树
由树的定义能够看出，树的定义应用了递归的形式。递归在树的学习过程中起着重要作用，如果对于递归不是非常理解，倡议先看看递归算法
2.2 结点的度
结点领有的子树数目称为结点的度。
图 2.2 中标注了图 2.1 所示树的各个结点的度。
图 2.2 度示意图
2.3 结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图 2.2 中，A 为 B 的双亲结点，B 为 A 的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图 2.2 中，结点 B 与结点 C 互为兄弟结点。
2.4 结点档次
从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
图 2.3 示意了图 2.1 所示树的档次关系
图 2.3 层示意图
2.5 树的深度
树中结点的最大档次数称为树的深度或高度。图 2.1 所示树的深度为 4。
3 二叉树
3.1 定义
二叉树是 n(n>=0)个结点的无限汇合，该汇合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、别离称为根结点的左子树和右子树组成。
图 3.1 展现了一棵一般二叉树：
图 3.1 二叉树
3.2 二叉树特点
由二叉树定义以及图示剖析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于 2 的结点。
2）左子树和右子树是有程序的，秩序不能任意颠倒。
3）即便树中某结点只有一棵子树，也要辨别它是左子树还是右子树。
3.3 二叉树性质
1）在二叉树的第 i 层上最多有 2i-1 个节点。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为 k, 那么最多有 2k\- 1 个节点。(k>=1）
3）n0=n2\+1 n0 示意度数为 0 的节点数，n2 示意度数为 2 的节点数。
4）在齐全二叉树中，具备 n 个节点的齐全二叉树的深度为 \[log2n\]+1，其中 \[log2n\]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的齐全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对齐全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下个性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 \[i/2\] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为 2i+1 的结点为其右孩子结点。
3.4 斜树
斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
图 3.2 左斜树
图 3.3 右斜树
3.5 满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能呈现在最下一层。呈现在其它层就不可能达成均衡。
2）非叶子结点的度肯定是 2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
图 3.4 满二叉树
3.6 齐全二叉树
齐全二叉树：对一颗具备 n 个结点的二叉树按层编号，如果编号为 i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中地位完全相同，则这棵二叉树称为齐全二叉树。
图 3.5 展现一棵齐全二叉树
图 3.5 齐全二叉树
特点：
1）叶子结点只能呈现在最上层和次上层。
2）最上层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，肯定在右部间断地位。
4）如果结点度为 1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，齐全二叉树深度最小。
注：满二叉树肯定是齐全二叉树，但反过来不肯定成立。
3.7 二叉树的存储构造
3.7.1 顺序存储
二叉树的顺序存储构造就是应用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储地位，就是数组的下标索引。
图 3.6
图 3.6 所示的一棵齐全二叉树采纳顺序存储形式，如图 3.7 示意：
图 3.7 顺序存储
由图 3.7 能够看出，当二叉树为齐全二叉树时，结点数刚好填满数组。
那么当二叉树不为齐全二叉树时，采纳顺序存储模式如何呢？例如：对于图 3.8 形容的二叉树：
图 3.8.png
其中浅色结点示意结点不存在。那么图 3.8 所示的二叉树的顺序存储构造如图 3.9 所示：
图 3.9
其中，∧示意数组中此地位没有存储结点。此时能够发现，顺序存储构造中曾经呈现了空间节约的状况。
那么对于图 3.3 所示的右斜树极其状况对应的顺序存储构造如图 3.10 所示：
图 3.10
由图 3.10 能够看出，对于这种右斜树极其状况，采纳顺序存储的形式是非常节约空间的。因而，顺序存储个别实用于齐全二叉树。
3.7.2 二叉链表
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需要，那么思考采纳链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因而，能够将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。示意形式如图 3.11 所示：
图 3.11
定义结点代码：
typedef struct BiTNode{TElemType data;// 数据 struct BiTNode *lchild, *rchild;// 左右孩子指针} BiTNode, *BiTree;则图 3.6 所示的二叉树能够采纳图 3.12 示意。
图 3.12
图 3.12 中采纳一种链表构造存储二叉树，这种链表称为二叉链表。
3.8 二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。
3.8.1 定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点登程，依照某种秩序顺次拜访二叉树中的所有结点，使得每个结点被拜访一次，且仅被拜访一次。
二叉树的拜访秩序能够分为四种：
前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历
3.8.2 前序遍历
前序遍历艰深的说就是从二叉树的根结点登程，当第一次达到结点时就输入结点数据，依照先向左在向右的方向拜访。
3.13
图 3.13 所示二叉树拜访如下：
从根结点登程，则第一次达到结点 A，故输入 A;
持续向左拜访，第一次拜访结点 B，故输入 B；
依照同样规定，输入 D，输入 H；
当达到叶子结点 H，返回到 D，此时曾经是第二次达到 D，故不在输入 D，进而向 D 右子树拜访，D 右子树不为空，则拜访至 I，第一次达到 I，则输入 I；
I 为叶子结点，则返回到 D，D 左右子树曾经拜访结束，则返回到 B，进而到 B 右子树，第一次达到 E，故输入 E；
向 E 左子树，故输入 J；
依照同样的拜访规定，持续输入 C、F、G；
则 3.13 所示二叉树的前序遍历输入为：
ABDHIEJCFG
3.8.3 中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点登程，当第二次达到结点时就输入结点数据，依照先向左在向右的方向拜访。
图 3.13 所示二叉树中序拜访如下：
从根结点登程，则第一次达到结点 A，不输入 A，持续向左拜访，第一次拜访结点 B，不输入 B；持续达到 D，H；
达到 H，H 左子树为空，则返回到 H，此时第二次拜访 H，故输入 H；
H 右子树为空，则返回至 D，此时第二次达到 D，故输入 D；
由 D 返回至 B，第二次达到 B，故输入 B；
依照同样规定持续拜访，输入 J、E、A、F、C、G；
则 3.13 所示二叉树的中序遍历输入为：
HDIBJEAFCG
3.8.4 后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点登程，当第三次达到结点时就输入结点数据，依照先向左在向右的方向拜访。
图 3.13 所示二叉树后序拜访如下：
从根结点登程，则第一次达到结点 A，不输入 A，持续向左拜访，第一次拜访结点 B，不输入 B；持续达到 D，H；
达到 H，H 左子树为空，则返回到 H，此时第二次拜访 H，不输入 H；
H 右子树为空，则返回至 H，此时第三次达到 H，故输入 H；
由 H 返回至 D，第二次达到 D，不输入 D；
持续拜访至 I，I 左右子树均为空，故第三次拜访 I 时，输入 I；
返回至 D，此时第三次达到 D，故输入 D；
依照同样规定持续拜访，输入 J、E、B、F、G、C，A；
则图 3.13 所示二叉树的后序遍历输入为：
HIDJEBFGCA
尽管二叉树的遍历过程看似繁琐，然而因为二叉树是一种递归定义的构造，故采纳递归形式遍历二叉树的代码非常简略。
3.8.5 档次遍历
档次遍历就是依照树的档次自上而下的遍历二叉树。针对图 3.13 所示二叉树的档次遍历后果为：
ABCDEFGHIJ
3.8.6 遍历常考考点
对于二叉树的遍历有一类典型题型。
1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
例题：若一棵二叉树的前序遍历为 ABCDEF，中序遍历为 CBAEDF，请画出这棵二叉树。
剖析：前序遍历第一个输入结点为根结点，故 A 为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点两头，故结点 A 的左子树中结点有 CB，右子树中结点有 EDF。
如图 3.14 所示：
图 3.14
依照同样的分析方法，对 A 的左右子树进行划分，最初得出二叉树的状态如图 3.15 所示：
图 3.15.png
2）已知后序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
后序遍历中最初拜访的为根结点，因而能够依照上述同样的办法，找到根结点后分成两棵子树，进而持续找到子树的根结点，一步步确定二叉树的状态。
注：已知前序遍历序列和后序遍历序列，不能够惟一确定一棵二叉树。
4 总结
通过上述的介绍，曾经对于二叉树有了初步的意识。本篇文章介绍的基础知识心愿读者可能牢牢把握，并且可能在脑海中建设一棵二叉树的模型，为后续学习打好根底。
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