题目形容
这是 LeetCode 上的 2045. 达到目的地的第二短时间 ,难度为 艰难。
Tag :「最短路」、「BFS」、「堆优化 Dijkstra」、「AStar 算法」、「启发式搜寻」
城市用一个 双向连通 图示意,图中有 $n$ 个节点,从 $1$ 到 $n$ 编号(蕴含 $1$ 和 $n$)。图中的边用一个二维整数数组 $edges$ 示意,其中每个 $edges[i] = [u_i, v_i]$ 示意一条节点 $u_i$ 和节点 $v_i$ 之间的双向连通边。每组节点对由 最多一条 边连通,顶点不存在连贯到本身的边。穿过任意一条边的工夫是 $time$ 分钟。
每个节点都有一个交通信号灯,每 $change$ 分钟扭转一次,从绿色变成红色,再由红色变成绿色,周而复始。所有信号灯都 同时 扭转。你能够在 任何时候 进入某个节点,然而 只能 在节点 信号灯是绿色时 能力来到。如果信号灯是 绿色,你 不能 在节点期待,必须来到。
第二小的值 是 严格大于 最小值的所有值中最小的值。
- 例如,
[2, 3, 4]
中第二小的值是 $3$,而[2, 2, 4]
中第二小的值是 $4$。
给你 $n$、$edges$、$time$ 和 $change$,返回从节点 $1$ 到节点 $n$ 须要的 第二短时间。
留神:
- 你能够 任意次 穿过任意顶点,包含 1 和 n。
- 你能够假如在 启程时,所有信号灯刚刚变成 绿色。
示例 1:
输出:n = 5, edges = [[1,2],[1,3],[1,4],[3,4],[4,5]], time = 3, change = 5
输入:13
解释:下面的左图展示了给出的城市交通图。右图中的蓝色门路是最短时间门路。破费的工夫是:- 从节点 1 开始,总破费工夫 =0
- 1 -> 4:3 分钟,总破费工夫 =3
- 4 -> 5:3 分钟,总破费工夫 =6
因而须要的最小工夫是 6 分钟。右图中的红色门路是第二短时间门路。- 从节点 1 开始,总破费工夫 =0
- 1 -> 3:3 分钟,总破费工夫 =3
- 3 -> 4:3 分钟,总破费工夫 =6
- 在节点 4 期待 4 分钟,总破费工夫 =10
- 4 -> 5:3 分钟,总破费工夫 =13
因而第二短时间是 13 分钟。
示例 2:
输出:n = 2, edges = [[1,2]], time = 3, change = 2
输入:11
解释:最短时间门路是 1 -> 2,总破费工夫 = 3 分钟
最短时间门路是 1 -> 2 -> 1 -> 2,总破费工夫 = 11 分钟
提醒:
- $2 <= n <= 10^4$
- $n – 1 <= edges.length$ $<= \min(2 \times 10^4, \frac{n \times (n – 1)}{2})$
- $edges[i].length == 2$
- $1 <= u_i, v_i <= n$
- $u_i != v_i$
- 不含反复边
- 每个节点都能够从其余节点间接或者间接达到
- $1 <= time, change <= 10^3$
堆优化 Dijkstra
整体题意:在一张正权无向图上求严格次短路,该图无重边与自环。
同时依据提醒 $n – 1 <= edges.length$ $<= \min(2 \times 10^4, \frac{n \times (n – 1)}{2})$ 可知,该图为「稠密图」,容易想到「堆优化 Dijkstra」做法。
对「堆优化 Dijkstra」或者「其余最短路算法」不相熟的同学,能够看前置 🧀:【最短路 / 必背模板】涵盖所有的「存图形式」与「最短路算法(详尽正文)」。内容如题,首次接触的话,倡议每个模板先敲十遍。
回到本题,与惯例的「求最短路」不同,本题须要求得「严格次短路」,咱们能够在原来的最短路算法根底上($dist1[]$ 数组用于记录最短路)多引入一个 $dist2[]$ 数组,$dist2[x]$ 用于记录从节点 $1$ 到节点 $x$ 的严格次短路。
保护次短路是容易的,基本思路为:
- 若以后间隔 $dist$ 小于 $dist1[x]$,本来的最短路 $dist1[x]$ 沦为次短路 $dist2[x]$,即先用 $dist1[x]$ 更新 $dist2[x]$ 后,再用 $dist$ 更新 $dist1[x]$;
- 若以后间隔 $dist$ 等于 $dist1[x]$,不合乎「严格次短路」,疏忽;
- 若以后间隔 $dist$ 大于 $dist1[x]$,且 $dist$ 小于 $dist2[x]$,则应用 $dist$ 更新 $dist2[x]$。
同时,因为解决「严格次短路蕴含反复边」的状况,咱们毋庸应用 $vis[]$ 数组记录解决过的点,而要确保每次「最短路」或者「次短路」被更新时,都进行入堆操作。
而后思考「红绿灯」切换问题,这实质是引入动静边权,假如咱们以后通过 $step$ 步达到节点 $i$,依据其与 $change$ 的关系分状况探讨即可:
- $\left \lfloor \frac{step}{change} \right \rfloor$ 为偶数:以后处于绿灯,动静边权为 $0$;
- $\left \lfloor \frac{step}{change} \right \rfloor$ 为奇数:以后处于红灯,须要减少动静边权(等待时间),减少的动静边权为
change - (step % change)
。
最初,为了防止每个样例都 new
大数组,咱们能够应用 static
润饰须要用到的数组,并在执行逻辑前进行重置工作。
代码:
class Solution {
static int N = 10010, M = 4 * N, INF = 0x3f3f3f3f, idx = 0;
static int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
static int[] dist1 = new int[N], dist2 = new int[N];
void add(int a, int b) {e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx;
idx++;
}
public int secondMinimum(int n, int[][] edges, int time, int change) {Arrays.fill(dist1, INF);
Arrays.fill(dist2, INF);
Arrays.fill(he, -1);
idx = 0;
for (int[] e : edges) {int u = e[0], v = e[1];
add(u, v); add(v, u);
}
PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[1]-b[1]);
q.add(new int[]{1, 0});
dist1[1] = 0;
while (!q.isEmpty()) {int[] poll = q.poll();
int u = poll[0], step = poll[1];
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];
int a = step / change, b = step % change;
int wait = a % 2 == 0 ? 0 : change - b;
int dist = step + time + wait;
if (dist1[j] > dist) {dist2[j] = dist1[j];
dist1[j] = dist;
q.add(new int[]{j, dist1[j]});
q.add(new int[]{j, dist2[j]});
} else if (dist1[j] < dist && dist < dist2[j]) {dist2[j] = dist;
q.add(new int[]{j, dist2[j]});
}
}
}
return dist2[n];
}
}
- 工夫复杂度:令 $n$ 为点数,$m$ 为边数,堆优化 Dijkstra 的复杂度为 $O(m\log{n})$
- 空间复杂度:$O(n + m)$
BFS
更进一步,原图边权尽管由「固定局部 $time$」和「动静局部 $change$ 相干」所组成,但在门路固定的前提下,其实边权之和齐全确定。
因而咱们能够先将原图等价为边权为 $1$ 的新图,通过 BFS
求出最短路 $dist1[x]$ 和严格次短路 $dist2[x]$,而后利用此时的 $dist2[n]$ 其实是严格次短路的边数,计算原图上的边权之和。
代码:
class Solution {
static int N = 10010, M = 4 * N, INF = 0x3f3f3f3f, idx = 0;
static int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
void add(int a, int b) {e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx;
idx++;
}
public int secondMinimum(int n, int[][] edges, int time, int change) {Arrays.fill(he, -1);
idx = 0;
for (int[] e : edges) {int u = e[0], v = e[1];
add(u, v); add(v, u);
}
Deque<int[]> d = new ArrayDeque<>();
int[] dist1 = new int[n + 10], dist2 = new int[n + 10];
Arrays.fill(dist1, INF);
Arrays.fill(dist2, INF);
d.addLast(new int[]{1, 0});
dist1[1] = 0;
while (!d.isEmpty()) {int[] poll = d.pollFirst();
int u = poll[0], dist = poll[1];
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];
if (dist1[j] > dist + 1) {dist2[j] = dist1[j];
dist1[j] = dist + 1;
d.addLast(new int[]{j, dist1[j]});
d.addLast(new int[]{j, dist2[j]});
} else if (dist1[j] < dist + 1 && dist + 1 < dist2[j]) {dist2[j] = dist + 1;
d.addLast(new int[]{j, dist2[j]});
}
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < dist2[n]; i++) {
int a = ans / change, b = ans % change;
int wait = a % 2 == 0 ? 0 : change - b;
ans += time + wait;
}
return ans;
}
}
- 工夫复杂度:令 $n$ 为点数,$m$ 为边数,BFS 的复杂度为 $O(n + m)$
- 空间复杂度:$O(n + m)$
AStar 算法
在 BFS
的根底上再进一步,咱们能够将问题拓展为「应用 AStar 算法来找第 K
短路」(批改代码的 K
即可),利用起点的第 $k$ 次出队必然是第 $k$ 短路(留神要求的是严格的第 $k$ 短路)。
代码:
class Solution {
static int N = 10010, M = 4 * N, INF = 0x3f3f3f3f, K = 2, idx = 0, n = 0;
static int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
static int[] dist = new int[N];
void add(int a, int b) {e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx;
idx++;
}
void bfs() {Arrays.fill(dist, INF);
Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
d.addLast(n);
dist[n] = 0;
while (!d.isEmpty()) {int x = d.pollFirst(), step = dist[x];
for (int i = he[x]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];
if (dist[j] != INF) continue;
dist[j] = step + 1;
d.addLast(j);
}
}
}
int astar() {
int k = K, min = -1;
PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[2]-b[2]);
q.add(new int[]{1, 0, dist[1]});
while (!q.isEmpty()) {int[] poll = q.poll();
int x = poll[0], step = poll[1];
if (x == n && min != step) {
min = step;
if (--k == 0) return min;
}
for (int i = he[x]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];
q.add(new int[]{j, step + 1, step + 1 + dist[j]});
}
}
return -1; // never
}
public int secondMinimum(int _n, int[][] edges, int time, int change) {
n = _n; idx = 0;
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] e : edges) {int u = e[0], v = e[1];
add(u, v); add(v, u);
}
bfs();
int cnt = astar(), ans = 0;
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
int a = ans / change, b = ans % change;
int wait = a % 2 == 0 ? 0 : change - b;
ans += time + wait;
}
return ans;
}
}
- 工夫复杂度:启发式搜寻不探讨时空复杂度
- 空间复杂度:启发式搜寻不探讨时空复杂度
最初
这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2045
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,局部是有锁题,咱们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章外面,除了解说解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。
为了不便各位同学可能电脑上进行调试和提交代码,我建设了相干的仓库:https://github.com/SharingSou…。
在仓库地址里,你能够看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其余优选题解。
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本文由 mdnice 多平台公布