0. 概要

老规矩，先回顾一下后面三篇文章咱们都讲了什么。

首先，第一篇【谈谈二进制（一）】咱们从进制自身的意义开始，意识了二进制和其余进制，而后实现了十进制和其余各种进制之间的转换。

接着，第二篇【谈谈二进制（二）——四则运算】中，咱们则通过十进制的四则运算原理，推导出二进制的四则运算。

上一篇【谈谈二进制（三）——位运算及其利用】，咱们将二进制从纯数学的世界中带到了计算机的世界里，并通过一个实在的算法题，理解了二进制位运算在理论编程中的应用。

明天这篇，咱们来看看二进制在计算机中的非凡示意。

1. 有符号数和无符号数

在讲各种码之前，先来相熟一下两个概念：有符号数 和无符号数。这两个概念很好了解，就是字面的意思，一个数值是否有正负符号。

在上一篇文章中，按位取反的局部，咱们在 C++ 代码中用 unsigned 关键字定义了一个无符号数。无符号数的意思就是，这个数字存储在计算机中的时候是没有符号的，也就是负数；而有符号数则会把正负号也存入计算机中。但咱们晓得，计算机所有的数值都是由二进制组成的，那么正负号这种货色该怎么存储呢？

其实正和负这两个货色，就像布尔型的真和假一样，是两种截然相同的状态，因而正和负也能够应用 0 和1来示意，计算机里理论也是这么做的：0示意正，1示意负。并且正负号在原数无效数的最后面（右边），所占的这一位被称为 符号位 。譬如+1001，它的理论存储值就是0,1001，-1001 就是1,1001，符号位在逗号的右边。这里的逗号，实际上是一种为了书写不便以及区别整数小数的约定俗成的写法，即整数的数值与符号位之间用逗号隔开，而小数的符号位和数值位之间则以小数点隔开，譬如-0.1001，会写成1.1001。

这种把正负号给 数字化 后的数值，被称为 机器数 ，带正负号的原数被叫做 真值。

讲各种码之前，这里还要提一句，原码、补码、反码、移码这些码，都只是机器数的不同示意模式，就像后面咱们讲过的进制，无论二进制还是十进制，对于同一个数值来讲，也只是不同的示意办法而已。

2. 原码

先来看原码，原码是泛滥码中最简略的一种机器数表示法，其实咱们下面在说有符号位的符号的时候，就曾经把原码的概念给讲完了，原码就是符号位和真值的绝对值组成的 。它和真值之间仅仅是正负号被换成了0 和1，而后依据整数或小数加上,，也就是上文中写到的那几个例子，这里简略列举一下：

$$[+1001]_{原}=0, 1001$$

$$[-1001]_{原}=1, 1001$$

$$[+0.1001]_{原}=0. 1001$$

$$[-0.1001]_{原}=1. 1001$$

不过这里有几点咱们要提一下，十分有意思。

第一个是整数正数的原码，上文中咱们晓得，就是把负号给换成 1，而后写的时候加一个逗号，举个例子，-1001（-9），原码示意为1, 1001。这里咱们做一个大胆的试验：把逗号去掉，而后把残余的11001 看做一个残缺的二进制正整数，也就是 25，看看它跟-1001（-9） 有什么分割。

从十进制上的数来看，乍看之下 25 和（-9）如同没什么分割，而后咱们来看二进制 11001 和-1001，咦？仿佛有点像，除了最高位的 1 和负号之外，余下的 4 位截然不同，咱们把它俩相加：11001 + (-1001) = 10000。嘿，这就更有意思了，相熟二进制运算的敌人们必定一眼就看进去，10000实际上就是 $2^4=16$。

咱们是不是能够从这个试验中猜想一个论断：一个负整数的原码，等于 2 的n次方减去本人 ？没错，这是一个正确的论断。这里的要害是，n 是多少？下面的试验中咱们的 n 为4，这里的 4， 其实就是原数的位数。用数学表达式表白就是：当 $0≥x>-2^n$（x 为原数真值）时，则 $[x]_{原}=2^n-x$。

正整数就没啥好说的，间接在真值绝对值后面加个0,。

再来看看小数，因为小数的符号位和数值位用小数点隔开，因而当 0 ≤ x < 1 时，也就是正小数时，它的原码就等于它本人。负小数呢？譬如-0.1001，原码写成1. 1001，也很简略，就是1. 1001 = 1 - (-0.1001)。

原码就是这样，前面的这些数学运算法则其实不论也无所谓，因为原码自身切实是太简略易懂了。

3. 补码

补码就略微简单一点，它的根底原理波及到了 补数 和模 的概念，这里我参考了 唐朔飞老师的《计算机组成原理》中的一些概念和例子来解说。

3.1 补数和模

补数的概念首次接触会感觉生疏，但它实际上可能就存在于咱们的日常生活中。譬如，某一时刻时钟的某个指针指向 6，如果咱们想让它指向3，咱们能够让指针沿逆时针方向走3 格，也能够让它沿顺时针方向能走 9 格，最终都会让这个指针指向 3。假如顺时针方向为正，逆时针方向为负，则方才的两个行为别离为：6 + (-3) = 3 和6 + 9 = 15。

咱们晓得，尽管咱们日常采纳 24 小时制，但钟表上的刻度通常只有 12 个刻度，因而指针超过 12 时，就会回归 1、2 等等。因而下面咱们失去的 15，实际上是15 - 12 = 3，也就是咱们一开始所要达到的指向3 的目的地。所以这里 15 和3在时钟上指向的都是 3，那么，在方才的操作过程中，-3 和+9对时钟而言，作用是一样的，都是让本来在 6 的指针，指向了3。

下面的例子里，在数学上，称时钟的 12 格刻度为 模，写作 mod 12，而 称+9是 -3 以12为模的补数，记作

$$-3 ≡ +9 \qquad（\text{mod}\ 12）$$

或者说，对于 模 12而言，-3和 +9 是互为补数的。同理有

$$-4 ≡ +8 \qquad（\text{mod}\ 12）$$

$$-5 ≡ +7 \qquad（\text{mod}\ 12）$$

即对于 模 12而言，+8和 +7 别离是 -4 和-5的补数。可见，只有确定一个 模，就能够找到一个与正数等价的负数来代替该正数，而这个失去的负数，即为正数的 补数 ，同时，咱们察看到， 该正数的绝对值，和它的补数相加，就是模（论断一）。

那么当咱们有一个正数，且已知模时，如何求它对应的负数补数呢？很简略，只须要 让正数和模相加 （论断二），譬如-4 + 12 = 8（mod 12），这个+8 就是 -4 的补数了。

这就是模和补数的概念。这里大家可能会有疑难了：下面的几个式子和最初的论断，讲的都是正数的补数，那么负数有补数吗？

有的，但先别着急，咱们先来看下，下面咱们求得的正数的模到底有什么用。其实参考咱们一开始讲的时钟的例子，咱们模摸糊糊能够感觉到，补数这个货色，能够让减法变成加法。仍然来看一个例子，咱们设A = 9, B = 5，求A - B（mod 12）。最通常的解法是减法：

$$A – B = 9 – 5 = 4$$

这么解必定没问题，但咱们题目中给出了 mod 12，那么对模12 而言，-5能够用它的补数 +7 代替，他们是恒等的，于是这题的另一个解法如下：

$$A – B = 9 + 7 = 16$$

这样咱们失去了 16，回忆一下时钟，16 这个数字是不存在的，过后钟拨到 16 时，其实是 4，所以对于mod 12，16 又等价于 4，即4 ≡ 16（mod 12）。那么如果此时时钟再顺时针转一圈（12 格），到了 28 呢？它仍然是4，即

$$4 ≡ 16 ≡ 28 \qquad（\text{mod}\ 12）$$

$$4 ≡ 4 + 12 ≡ 4 + 2\times12 ≡ 4 \qquad（\text{mod}\ 12）$$

这也就是说，负数的补数，就是负数自身（论断三）。

后面讲进制时咱们重复讲过一点，不同的进制之间仅仅是进位形式不同，所以下面咱们尽管用的是十进制来介绍模，实际上二进制仍然能够用模，联合模和补数的概念，以及下面的三个论断，咱们能够失去如下二进制数的补数：

$$-1011 ≡ +0101 \qquad（\text{mod}\ 2^4）$$

$$+0101 ≡ +0101 \qquad（\text{mod}\ 2^4）$$

$$-0.1001 ≡ +1.0111 \qquad（\text{mod}\ 2）$$

$$+0.1001 ≡ +0.1001 \qquad（\text{mod}\ 2）$$

用下面粗体的三个论断，很容易就能求得各种数字的补数，这里几个二进制我就不再计算验证了，大家能够本人试一下。

有了补数的概念后，人们看到了它能够将减法变成加法，便将其概念用到了计算机中，于是呈现了补码这种机器数。

3.2 补码的定义

补码和原码一样，须要用一位数字在高位作为符号位表正负，而低位的数值局部则采纳了补数的概念，因而，联合下面补数的特色，咱们能够设想到，因为负数的补数是它本人，因而在补码中，负数的数值位是它本人，符号位则同原码一样，负数为0，正数为1。譬如上面两个例子：

$$[+1001]_{补}=0, 1001$$

$$[+0.1001]_{补}=0. 1001$$

也就是说，负数的补码和原码一样。

正数就要麻烦一些。首先，通过上一大节咱们晓得，二进制的补数计算形式和十进制一样，譬如 -1101，它的最高位为第3 位，因而咱们取比它高一位的最小值 $2^4$ 作为模，求得它的补数为 10000 + (-1101) = 0011。按理说，咱们失去的正数的补数是负数，这里只须要再加一个符号位0 即可，但留神了，补码中的理论状况并不是这样，只管正数的补数为负数，但正数的补码前的符号位仍然是负符号位1，即符号位与原数保持一致。

为什么会这样？明明求得的补数是负数，符号位却要用负符号1？

实际上，在后面讲补数的时候咱们提到过，补数的呈现，能够让本来作减法的式子变成加法 ，补码这种机器数也正是看准了这一点才被计算机引入的。对于计算机来说， 让减法变成加法，相当于让计算机只须要在硬件层面上实现一个加法器，就能够解决加减法两种问题。那么这里补码的符号位的问题，天然也是为了计算而设定如此的，咱们来看一个理论的例子就晓得了。

设 A = 1110，B = 1101，咱们来求A - B 的值。惯例用减法，一眼能够看进去，后果是 1110 - 1101 = 0001。咱们将A 和-B（-1101）两个数都换成补码，用加法计算，此时 $A = 0,1110\quad（mod\ 2^4）$，$-B = 1,0011\quad（mod\ 2^4）$。留神了，在应用补码计算时，补码的符号位也参加计算，那么此时这两个补码相加后的后果为：

$$0,1110 + 1,0011 = 10,0001 \qquad（\text{mod}\ 2^4）$$

咱们看到，后果的符号位产生了进位，变成了 10。这里其实波及到了另一个知识点： 补码运算的符号位进位（溢出）。因为篇幅关系，本文不对该知识点开展解说，大家有趣味的能够去查找材料理解一下。总之，这里符号位尽管进位了，但并没有产生溢出，咱们把符号位的最高位 1 拿掉，失去了最终的后果0,0001，也就是+0001，与之前的减法后果统一。

这就是正数求补码后让符号位也放弃负值 1 的起因了。下面讲的都是负负数，实际上负小数同理，这里不再赘述，咱们间接上两个数学公式来对正数求补码进行一个总结。首先是整数，正整数就不说了，和原码一样，负整数呢？除了下面用规范的补数算法外，咱们能够间接用上面这个公式来计算：

$$[x]_{补}=2^{n+1}+x\qquad0>x≥-2^n\quad（\text{mod}\ 2^{n+1}）$$

这里的 n 就是整数 x 的位数。拿后面咱们算过的 -1101 举例：

$$[-1101]_{补}=2^{4+1}+(-1101)=100000-1101=1,0011$$

最高位 1 就是符号位，与前面的数值位局部用逗号隔开，就失去了最终的后果。其实这里咱们能够察看到一个法则：负整数的补码，就是原数字除符号位外，数值局部的每一位按位求反后再+1。

接着是负小数：

$$[x]_{补}=2+x\qquad0>x≥-1\quad（\text{mod}\ 2）$$

看上去更简略了，举个例子，咱们求 -0.1001 的补码：

$$[-0.1001]=2+(-0.1001)=10.0000 – 0.1001=1.1010$$

其实这里求负小数的补码的形式，和上一节中咱们求小数的补数的形式是一样的。还记得上一节的 论断二 吗？求一个正数的补数，就是 让正数和模相加 。而后咱们再仔细观察一下，会发现下面负整数的求补法则在负小数也见效，即 正数的补码，就是原数字除符号位外，数值局部的每一位按位求反后再+1，而后符号位该怎么写怎么写。记住这个论断，它能让咱们在求补码的时候防止加减法运算，更加容易。

补码的概念根本就讲完了，想要把握的话，其实还是须要本人拿笔算一算，写一写。

4. 反码

反码，这种机器数的次要场景用于原码和补码的互相转换，反码作为两头数适度应用。首先，负数的反码，老样子，仍然和原码一样，符号位 0 和1示意正负，而后是数值位局部一成不变，这里间接拿后面原码里的两个负数例子：

$$[+1001]_{反}=0, 1001$$

$$[+0.1001]_{反}=0. 1001$$

有区别的仍然是正数，但反码的正数就简略多了：除了符号位，数值位局部每一位都按位取反。因而：

$$[-1001]_{反}=1, 0110$$

$$[-0.1001]_{反}=1. 0110$$

非常简单对不对？那么为什么说反码是原码和补码之间互相转换的两头过渡呢？在上一节补码的最初，咱们失去了一个求补码的简略法则：正数的补码，就是原数字除符号位外，数值局部的每一位按位求反后再 +1，而后符号位该怎么写怎么写。其实这个过程，就是对 原码 先求 反码 再给末位 +1。同理， 如果咱们晓得了一个补码，想要求它的原码，只须要先将补码的末位 -1 后，再将数值位局部按位求反即可。

好了，明确了这一点后，咱们来看一个上一篇文章中遗留的问题。

4.1 按位取反运算

在上一篇文章【谈谈二进制（三）——位运算及其利用】中的取反运算局部，咱们对有符号数 5 进行取反，却失去了 -6 这个匪夷所思的答案，过后我在文章中说，这是因为计算机中存储数字的形式都是用补码存储，之所以会失去负值，则是因为补码的最高位示意符号位，按位取反时连符号位一起取反了。明天咱们深刻理解了补码和反码，也推出了补码和原码之间的转换形式，那么就用明天的常识，来彻底解决这个按位取反的问题吧。

首先，5的二进制为 101，其补码为0,101。在进行按位取反操作，即~5 时，实际上把符号位也取反了，于是咱们失去了 1,010 这个后果，请留神，这个 1,010 仍然是补码 。而从符号位的1 咱们看到，这是一个正数补码，咱们通过补码不能直观地看出它的真值，因而须要先转换成原码。依照前文咱们提到的补码转原码的形式，先将 1,010 末位 -1，失去1,001，接着，咱们将数值位按位取反，符号位不动，失去1,110。此时，1,110 曾经是 原码 了，能够间接将其求出：

$$1,110=-110_{原}=-6_{(10)}$$

于是，咱们失去了这个-6。

这个让咱们之前摸不着头脑的答案，在咱们学完了补码之后，变得清晰明了。

除了这个 -6 之外，按位取反的局部还有一个小问题，咱们起初又应用了一个无符号数 5 来进行按位取反，发现失去了一个微小的数字4294967290，并且这个数实际上是 $2^{32}-6$：

0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0101    // 5
1111,1111,1111,1111,1111,1111,1111,1010    // 4294967290

这个问题其实能够有两种角度去了解，一种是最直观的：因为无符号数不波及符号位的问题，而 C 语言中（这个数字是用 C++ 求得的）unsigned int的取值范畴在 32 位机器上为 0 ~ 4294967295，没错，最大值就是下面的两个数之和 $2^{32}-1$，也就是32 个1。所以将 5（101） 左侧不存在的 0 都取反为 1 后，就失去了这么大的一个数字。

第二种角度就是来解释 -6 这个偶合了。咱们只须要把 $2^{32}$ 看做一个 模，依照后面计算补数的运算形式，来求 -6 的补数，即让模和 -6 相加，就失去了 4294967290 这个数字，同时，4294967290是无符号数 5 按位求反的后果，它们相加的和，则是 unsigned int 的最大值（32位，$2^{32}-1$），自身就比 $2^{32}$ 小1，1 + 5 = 6，于是就很凑巧的变成了咱们看到的法则。

5. 移码

补码对计算机来说是个好货色，毕竟它让计算机对于数字的计算变得更加不便了。但对人类来说，补码可就不那么敌对了，不说和真值，哪怕和原码相比，补码也存在着一个微小的毛病：数字自身的被补码暗藏，使得数字的大小不直观。举个例子：

$$+15_{补}=[+1111]_{补}=0,1111$$

$$-15_{补}=[-1111]_{补}=1,0001$$

如果咱们把符号位的 1 也看作是整个二进制数的一部分，那么显然10001 > 01111。尽管在咱们懂得了补码的原理和运算过程后，咱们并不会间接这么去比拟，但因为正数的补码将数值局部都给改写了，总体来说，补码仍然给人以十分不直观的感触，一旦逗号遗记写，或者其余起因造成了误读，那么补码之间的比拟将成为劫难。就下面的两个数来说，咱们很难一眼就看进去这两个二进制数竟然互为相反数，但如果是用原码示意，那么起码他们的数值位是雷同的，咱们能第一工夫反馈过去。

此时，如果咱们将两个数字的 真值 都加上 $2^n$，这里的 n 同后面咱们讲过的那些 n 一样，是真值的位数，那么新失去的两个数字的大小就变得很直观了：

$$15 + 2^4 = 1111 + 10000 = 11111$$

$$-15 + 2^4 = 10000 – 1111 = 00001$$

只管还是无奈间接看出它俩的真值互为相反数，但咱们能够很直观地比拟出这两个数字的理论大小了，不会因为符号位的问题造成误读。而这两个计算后失去的新数字，就是移码。

所以移码的数学定义非常简单：

$$[x]_{移}=2^n+x\qquad（2^n>x≥-2^n）$$

这里的 n 就是真值的位数，x则是真值。

咱们仔细观察下面两个数字的补码和移码，会发现一个乏味的景象：移码实际上就是扭转了补码的符号位，从 0 变1，从 1 变0。这样一来，当咱们晓得了一个数的补码后，只须要替换它的符号位，就能够失去移码，从而与其余数值进行间接比拟了。

6. 总结

明天咱们理解了二进制数的四种机器数示意形式，并且解决了上一篇文章中遗留的小问题。在下一篇文章里，咱们将意识 定点数 和浮点数，对，就是咱们编程中十分相熟的那个浮点数float。