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关于后端:面试高频题值得仔细推敲的贪心及其证明

jiezi

题目形容

这是 LeetCode 上的 1846. 减小和重新排列数组后的最大元素 ，难度为 中等。

Tag :「贪婪」

给你一个正整数数组 arr。

请你对 arr 执行一些操作（也能够不进行任何操作），使得数组满足以下条件：

  1. arr 中 第一个 元素必须为 $1$

  2. 任意相邻两个元素的差的绝对值小于等于 $1$

    对于任意的 $1 <= i < arr.length$，都满足 abs(arr[i]-arr[i-1])<=1，abs(x) 为 x 的绝对值。

你能够执行以下 $2$ 种操作任意次：

  • 减小 arr 中任意元素的值，使其变为一个更小的正整数
  • 重新排列 arr 中的元素，你能够以任意程序重新排列

请你返回执行以上操作后，在满足前文所述的条件下，arr 中可能的最大值。

示例 1：

输出：arr = [2,2,1,2,1]

输入：2

解释：咱们能够重新排列 arr 失去 [1,2,2,2,1]，该数组满足所有条件。arr 中最大元素为 2。

示例 2：

输出：arr = [100,1,1000]

输入：3

解释：一个可行的计划如下：1. 重新排列 arr 失去 [1,100,1000]。2. 将第二个元素减小为 2。3. 将第三个元素减小为 3。当初 arr = [1,2,3]，满足所有条件。arr 中最大元素为 3。

示例 3：

输出：arr = [1,2,3,4,5]

输入：5

解释：数组曾经满足所有条件，最大元素为 5。

提醒：

  • $1 <= arr.length <= 10^5$
  • $1 <= arr[i] <= 10^9$

根本剖析 & 证实

依据题意，数组的第一位必须是 $1$，且每个数只能 减小 或 不变，数值地位能够任意调整。

求解通过调整后，符合要求的数组中的最大值是多少。

首先符合条件的数组相邻位差值绝对值不超过 $1$，这限定了数组的必然是如下三种散布之一：

  • （非严格）枯燥递加
  • 存在波段
  • （非严格）枯燥递增

证实一：获得最优解对应的数组「必然是」或者「可调整为」（非严格）枯燥递增的模式。

咱们应用反证法来证实另外两种散布不能获得最优解：

  • （非严格）枯燥递加：题目限定了数的范畴为正整数，且第一位为 $1$，这种状况不必探讨了，跳过；
  • 存在波段：咱们始终能够将波峰的右侧呈现的值，纳入到波峰的左侧，从而消掉这个波峰，最终将整个散布调整为「（非严格）枯燥递增」的模式，后果不会变差：

多个波段的状况也是同理，能够本人在纸上画画。

都是利用 波峰右侧的点能够调整成波峰左侧的点，从而使散布变为（非严格）枯燥递增。

至此，咱们证实了最优解对应的数组必然合乎（非严格）枯燥递增。

这启发咱们能够先对原数组排个序，在此基础上进行剖析。

对原数组排序失去的有序数组，不肯定是合乎「相邻位差值绝对值不超过 $1$」的，同时因为每个数值能够抉择 减小 或 不变。

证实二：当必须要对以后位进行调整的时，优先选择调整为「与前一值差值为 $1$ 的较大数」不会比调整为「与前一差值为 $0$ 的较小数」更差。

这能够应用归纳推理，假如采取「优先调整为与前一值差值为 $1$ 的较大数」失去的序列为 a，采纳「优先调整与前一差值为 $0$ 的较小数」失去的序列为 b。

依据「$a[0] = b[0] = 1$」、「a 和 b 长度统一」、「a 和 b 均为（非严格）枯燥递增」以及「a 和 b 均满足相邻位差值不超过 $1$」，可推导出 $sum(a) >= sum(b)$，和任意地位 $a[i] >= b[i]$，从而推导出 a 序列的最初一位必然大于等于 b 的最初一位。

即 b 不会比 a 更优。

证实三：调整大小的操作不会扭转数组元素之间的绝对地位关系。

在证实二的剖析中，咱们会对某些元素进行“减小”操作，使得整个数组最终满足「相邻位差值绝对值不超过 $1$」。

但该证实成立的还有一个很重要的前提条件，就是调整操作不会登程元素的地位重排。

那么该前提条件是否必然成立呢？答案是必然成立。

假如原排序数组中存在须要调整的点 $i$ 和点 $j$，且 $nums[i] <= nums[j]$。

为了让数组满足条件，它们都进行了“缩小”操作的调整，别离变为了 $p$ 和 $q$，如果触发地位重排的话，必然有 $nums[p] >= nums[q]$。

此时，咱们可能通过调整它们的变动关系：点 $i$ 变为点 $q$、点 $j$ 变成点 $p$ 来确保同样满足条件，且不触发元素在有序数组中的地位重排。

贪婪

排序，限定第一位值为 $1$，从前往后解决，依据每一位是否「必须批改（与上一位差值是否大于 $1$）」做决策，如果必须被批改，则批改为与前一值差值为 $1$ 的较大数。

代码：

class Solution {public int maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        Arrays.sort(arr);
        arr[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {if (arr[i] - arr[i - 1] > 1) {arr[i] = arr[i - 1] + 1;
            }
        }
        return arr[n - 1];
    }
}
  • 工夫复杂度：假设 Arrays.sort 应用的是双轴快排实现。复杂度为 $O(n\log{n})$
  • 空间复杂度：假设 Arrays.sort 应用的是双轴快排实现。复杂度为 $O(\log{n})$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1846 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

为了不便各位同学可能电脑上进行调试和提交代码，我建设了相干的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。

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