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关于后端:面试高频题难度-355综合最短路的-DP-问题

题目形容

这是 LeetCode 上的 1976. 达到目的地的计划数 ,难度为 中等

Tag :「最短路」、「拓扑排序」、「动静布局」

你在一个城市里,城市由 $n$ 个路口组成,路口编号为 $0$ 到 $n – 1$,某些路口之间有 双向 路线。输出保障你能够从任意路口登程达到其余任意路口,且任意两个路口之间最多有一条路。

给你一个整数 n 和二维整数数组 roads,其中 $roads[i] = [u_i, v_i, time_i]$ 示意在路口 $u_i$ 和 $v_i$ 之间有一条须要破费 $time_i$ 工夫能力通过的路线。你想晓得破费 起码工夫 从路口 $0$ 登程达到路口 $n – 1$ 的计划数。

请返回破费 起码工夫 达到目的地的 门路数目。因为答案可能很大,将后果对 $10^9+7$ 取余 后返回。

示例 1:

输出:n = 7, roads = [[0,6,7],[0,1,2],[1,2,3],[1,3,3],[6,3,3],[3,5,1],[6,5,1],[2,5,1],[0,4,5],[4,6,2]]

输入:4

解释:从路口 0 登程到路口 6 破费的起码工夫是 7 分钟。四条破费 7 分钟的门路别离为:- 0 ➝ 6
- 0 ➝ 4 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 2 ➝ 5 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 3 ➝ 5 ➝ 6

示例 2:

输出:n = 2, roads = [[1,0,10]]

输入:1

解释:只有一条从路口 0 到路口 1 的路,破费 10 分钟。

提醒:

  • $1 <= n <= 200$
  • $n – 1 <=$ roads.length $<= \frac{n \times (n – 1)}{2}$
  • $roads[i].length == 3$
  • $0 <= u_i, v_i <= n – 1$
  • $1 <= time_i <= 10^9$
  • $u_i != v_i$
  • 任意两个路口之间至少有一条路。
  • 从任意路口登程,你可能达到其余任意路口。

Dijkstra + 拓扑排序 + DP

为了不便,咱们记 roadsrs,令点数为 n,边数为 m

边数与点数不在一个数量级上($m \approx n^2$),属于「浓密图」,咱们能够应用「邻接矩阵」进行存图,同时应用奢侈 Dijkstra 求解从 $0$ 号点到其余点的最短路,记为 dist 数组,$dist[i] = x$ 代表以 $0$ 号点为终点到到 $i$ 点的最短门路为 $x$。

当咱们预处理出 $0$ 点到其余点的最短距离后,思考如何统计从 $0$ 点到 $n – 1$ 点,且门路和为 $dist[n – 1]$ 的计划数。

一个容易想到的性质:在任意的非法计划中,路径的该门路中的每个点时,都是以最短门路的形式达到的。

应用「反证法」证实该性质的正确性:假如其中一条非法门路为 a -> ... -> k -> ... -> z(其中 a 为 $0$ 号点,z 为 $n – 1$ 号点),其为非法门路,意味着从 az 的门路和为 $dist[n – 1]$。若咱们在通过某个途经点,假如为 k 时,所路径的门路总和 $x$ 不是 $dist[k]$ 的话,意味着咱们能够调整从 ak 的门路,使其变为 $dist[k]$,而后续门路不变(从 kz 的门路不变)来失去一条门路和比 $dist[n – 1]$ 要小的从 az 的门路,这与 $dist[n – 1]$ 为从 az 的最短路抵触。

至此,咱们证实了「在任意的非法计划中,路径的该门路中的每个点时,都是以最短门路的形式达到的」这一性质。

利用该性质,咱们能够对图进行「重建」,对于原图中点 $a$ 与点 $b$ 权重为 $c$ 的无向边,咱们依据 $dist[a]$、$dist[b]$ 和 $c$ 三者关系建设有向边,并统计入度:

  • 若有 $dist[b] = dist[a] + c$,在新图上减少从 $a$ 到 $b$ 的权重为 $c$ 的有向边,同时 $b$ 入度加一;
  • 若有 $dist[a] = dist[b] + c$,在新图上减少从 $b$ 到 $a$ 的权重为 $c$ 的有向边,同时 $a$ 入度加一。

构建新图的目标是可能在跑「拓扑排序」过程中进行 DP,统计计划数。

定义 $f[i]$ 为从 $0$ 达到 $i$ 点的计划数,$f[n – 1]$ 为答案,同时咱们有不言而喻的初始化条件 $f[0] = 1$。

不失一般性思考 $f[i]$ 如何计算,若咱们存在一条从 $i$ 到 $j$ 的出边,并且 $f[i]$ 已确定更新实现(通过判断 $i$ 的入度是为 $0$ 得悉,入度为 $0$ 意味着曾经没有其余状态能够更新 $f[i]$),咱们能够用 $f[i]$ 来更新 $f[j]$,即有 $f[j] = f[j] + f[i]$,含意将达到 $i$ 的门路数累加到达到 $j$ 的门路数中,同时更新 $j$ 的入度。

代码:

class Solution {int N = 210, MOD = (int)1e9+7;
    long INF = (long)1e12;
    int[][] g = new int[N][N];
    int[] in = new int[N];
    long[] dist = new long[N];
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int n;
    public int countPaths(int _n, int[][] rs) {
        n = _n;
        for (int[] info : rs) {int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
            g[a][b] = g[b][a] = c;
        }
        // 奢侈 Dijkstra 求解从 0 点到其余点的最短路
        dijkstra();
        // 利用最短路从新建图,并统计入度
        for (int[] info : rs) {int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
            g[a][b] = g[b][a] = 0;
            if (dist[a] + c == dist[b]) {g[a][b] = c; in[b]++;
            } else if (dist[b] + c == dist[a]) {g[b][a] = c; in[a]++;
            }
        }
        // 跑拓扑排序统计计划数
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {if (in[i] == 0) d.addLast(i);
        }
        int[] f = new int[n];
        f[0] = 1;
        while (!d.isEmpty()) {int x = d.pollFirst();
            for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[x][i] == 0) continue;
                f[i] += f[x];
                f[i] %= MOD;
                if (--in[i] == 0) d.addLast(i);
            }
        }
        return f[n - 1];
    }
    void dijkstra() {Arrays.fill(dist, INF);
        dist[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = -1;
            for (int j = 0; j < n; j++) {if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
            }
            vis[t] = true;
            for (int j = 0; j < n; j++) {if (g[t][j] == 0) continue;
                dist[j] = Math.min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
            }
        }
    }
}
  • 工夫复杂度:首次建图复杂度为 $O(m)$;Dijkstra 求最短路复杂度为 $O(n^2)$;再次建图复杂度为 $O(m)$,跑拓扑排序统计计划数复杂度为 $O(n + m)$。整体复杂度为 $O(n^2 + m)$
  • 空间复杂度:$O(n^2)$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1976 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,局部是有锁题,咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面,除了解说解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

为了不便各位同学可能电脑上进行调试和提交代码,我建设了相干的仓库:https://github.com/SharingSou…。

在仓库地址里,你能够看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其余优选题解。

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