关于后端:面试高频题难度-255综合贪心的序列-DP-题

这是 LeetCode 上的 646. 最长数对链 ，难度为中等。

Tag :「贪婪」、「排序」、「二分」、「序列 DP」、「LIS」

给出 n 个数对。在每一个数对中，第一个数字总是比第二个数字小。

当初，咱们定义一种追随关系，当且仅当 b < c 时，数对 $(c, d)$ 才能够跟在 $(a, b)$ 前面。咱们用这种模式来结构一个数对链。

给定一个数对汇合，找出可能造成的最长数对链的长度。你不须要用到所有的数对，你能够以任何程序抉择其中的一些数对来结构。

示例：

输出：[[1,2], [2,3], [3,4]]

输入：2

解释：最长的数对链是 [1,2] -> [3,4]

提醒：

给出数对的个数在 $[1, 1000]$ 范畴内。

起始先将 pairs 依据第一维排升序（或间接双关键字排升序）。

思考定义 $f[i]$ 为以 $pairs[i]$ 为结尾的最长数对链长度，所有 $f[i]$ 中的最大值为答案。

不失一般性思考 $f[i]$ 该如何转移：不难发现 $f[i]$ 为所有满足「下标范畴在 $[0, i – 1]$，且 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$」条件的 $f[j] + 1$ 的最大值。

但实际上，咱们只须要从 $j = i – 1$ 开始往回找，找到第一个满足 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$ 的地位 $j$ 即可。

容易证实该做法的正确性：假如贪婪解（该做法）找到的地位 $j$ 不是最优地位，即存在比 $j$ 更小的非法下标 $j’$ 满足 $f[j’] > f[j]$。依据咱们的排序规定必然有 $pairs[j’][0] <= pairs[j][0]$ 的性质，则可知 $pairs[j]$ 必然能够代替 $pairs[j’]$ 接在本来以 $pairs[j’]$ 为结尾的最优数链上（最优数链长度不变，后果不会变差），则至多有 $f[j’] = f[j]$。

代码：

class Solution {public int findLongestChain(int[][] pairs) {Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
        int n = pairs.length, ans = 1;
        int[] f = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {f[i] = 1;
            for (int j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) {if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1;
            }
            ans = Math.max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
}

工夫复杂度：排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；不思考剪枝成果 DP 复杂度为 $O(n^2)$。整体复杂度为 $O(n^2)$
空间复杂度：$O(n)$

根据上述剖析，咱们晓得对于一个特定的 $pairs[i]$ 而言，其所有非法（满足条件 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$）的前驱状态 $f[j]$ 必然是非枯燥递增的。

依据 LIS 问题的贪婪解的思路，咱们能够额定应用一个数组记录下特定长度数链的最小结尾值，从而实现二分找前驱状态。

具体的，创立 $g$ 数组，其中 $g[len] = x$ 代表数链长度为 $len$ 时结尾元素的第二维最小值为 $x$。

如此一来，当咱们要找 $f[i]$ 的前驱状态时，等价于在 $g$ 数组中找满足「小于 $pairs[i][0]$」的最大下标。同时，咱们不再须要显式保护 $f$ 数组，只须要边转移变更新答案即可。

不理解 LIS 问题的同学能够看前置 🧀 : LCS 问题与 LIS 问题的互相关系，以及 LIS 问题的最优解证实 🎉🎉🎉

代码：

class Solution {public int findLongestChain(int[][] pairs) {Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
        int n = pairs.length, ans = 1;
        int[] g = new int[n + 10];
        Arrays.fill(g, 0x3f3f3f3f);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            g[r] = Math.min(g[r], pairs[i][1]);
            ans = Math.max(ans, r);
        }
        return ans;
    }
}

工夫复杂度：排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；DP 复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
空间复杂度：$O(n)$

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.646 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

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关于后端:面试高频题难度-255综合贪心的序列-DP-题

题目形容

排序 + 贪婪 DP

排序 + 贪婪 DP（优化转移）

最初