关于后端:902-最大为-N-的数字组合-经典数位-DP-二分运用题

这是 LeetCode 上的 902. 最大为 N 的数字组合 ，难度为艰难。

Tag :「动静布局」、「二分」、「数位 DP」

给定一个按非递加程序排列的数字数组 digits。你能够用任意次数 $digits[i]$ 来写的数字。例如，如果 $digits = [1,3,5]$，咱们能够写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。

返回 能够生成的小于或等于给定整数 $n$ 的正整数的个数。

示例 1：

输出：digits = ["1","3","5","7"], n = 100

输入：20

解释：可写出的 20 个数字是：1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.

示例 2：

输出：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000

输入：29523

解释：咱们能够写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。总共，能够应用 D 中的数字写出 29523 个整数。

示例 3:

输出：digits = ["7"], n = 8

输入：1

提醒：

$1 <= digits.length <= 9$
$digits[i].length == 1$
$digits[i]$ 是从 '1' 到 '9' 的数
digits 中的所有值都不同
digits 按非递加程序排列
$1 <= n <= 10^9$

这是一道「数位 DP」的经典使用题。

因为题目给定的 digits 不蕴含 $0$，因而相当于只须要答复应用 digits 的数值可能笼罩 $[1, x]$ 范畴内的多少个数字。

起始先将字符串数组 digits 转为数字数组 nums，假设 nums 的长度为 $m$，而后思考如何求得 $[1, x]$ 范畴内非法数字的个数。

假设咱们存在函数 int dp(int x) 函数，可能返回区间 $[1, x]$ 内非法数的个数，那么配合「容斥原理」咱们便可能答复任意区间非法数的查问：

$$
ans_{(l, r)} = dp(r) – dp(l – 1)
$$

对于本题，查问区间的左端点固定为 $1$，同时 $dp(0) = 0$，因而答案为 $dp(x)$。

而后思考如何实现 int dp(int x) 函数，咱们将组成 $[1, x]$ 的非法数分成三类：

位数和 $x$ 雷同，且最高位比 $x$ 最高位要小的，这部分统计为 res1；
位数和 $x$ 雷同，且最高位与 $x$ 最高位雷同的，这部分统计为 res2；
位数比 $x$ 少，这部分统计为 res3。

其中 res1 和 res3 求解绝对简略，重点落在如何求解 res2 上。

对 $x$ 进行「从高到低」的解决（假设 $x$ 数位为 $n$），对于第 $k$ 位而言（$k$ 不为最高位），假如在 $x$ 中第 $k$ 位为 $cur$，那么为了满足「大小限度」关系，咱们只能在 $[1, cur – 1]$ 范畴内取数，同时为了满足「数字只能取自 nums」的限度，因而咱们能够利用 nums 自身有序，对其进行二分，找到满足 nums[mid] <= cur 的最大下标 $r$，依据 $nums[r]$ 与 $cur$ 的关系进行分状况探讨：

$nums[r] = cur$: 此时地位 $k$ 共有 $r$ 种抉择，而前面的每个地位因为 $nums[i]$ 能够应用屡次，每个地位都有 $m$ 种抉择，共有 $n – p$ 个地位，因而该分支往后共有 $r * m^{n – p}$ 种非法计划。且因为 $nums[r] = cur$，往后还有分支可决策（须要统计），因而须要持续解决；
$nums[r] < cur$：此时算上 $nums[r]$，地位 $k$ 共有 $r + 1$ 种抉择，而前面的每个地位因为 $nums[i]$ 能够应用屡次，每个地位都有 $m$ 种抉择，共有 $n – p$ 个地位，因而该分支共有 $(r + 1) * m^{n – p}$ 种非法计划，因为 $nums[r] < cur$，往后的计划数（均满足小于关系）曾经在这次被统计实现，累加后进行 break；
$nums[r] > cur$：该分支往后不再满足「大小限度」要求，非法计划数为 $0$，间接 break。

其余细节：实际上，咱们能够将 res1 和 res2 两种状况进行合并解决。

代码：

class Solution {int[] nums;
    int dp(int x) {List<Integer> list = new ArrayList<>();
        while (x != 0) {list.add(x % 10);
            x /= 10;
        }
        int n = list.size(), m = nums.length, ans = 0;
        // 位数和 x 雷同
        for (int i = n - 1, p = 1; i >= 0; i--, p++) {int cur = list.get(i);
            int l = 0, r = m - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (nums[mid] <= cur) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            if (nums[r] > cur) {break;} else if (nums[r] == cur) {ans += r * (int) Math.pow(m, (n - p));
                if (i == 0) ans++;
            } else if (nums[r] < cur) {ans += (r + 1) * (int) Math.pow(m, (n - p));
                break;
            }
        }
        // 位数比 x 少的
        for (int i = 1, last = 1; i < n; i++) {
            int cur = last * m;
            ans += cur; last = cur;
        }
        return ans;
    }
    public int atMostNGivenDigitSet(String[] digits, int max) {
        int n = digits.length;
        nums = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = Integer.parseInt(digits[i]);
        return dp(max);
    }
}

工夫复杂度：因为 digits 最多存在 $9$ 个元素，因而二分的复杂度能够疏忽，整体复杂度为 $O(\log{n})$
空间复杂度：$O(C)$

数位 DP 的难度取决于「限度条件」的多少，而 LC 上仅有的几道数位 DP 题目限度条件都很少，且不须要引入额定的数据结构来记录状态，因而都属于数位 DP 的入门难度（LC 难度均为 Hard）。

简直所有的数位 DP 问题都能够归纳到上述的解法 :「将问题形象为求解一个 $[0, x]$ / $[1, x]$ 范畴计划数的办法」->「对计划数统计依据位数来分状况探讨：数位相等的状况 + 数位不等状况」->「统计数位相等的计划数时，须要按位解决，并依据限度条件做逻辑；统计数位不等的计划数时，通常要做一些预处理，而后配合乘法原理间接算得」。

在还没卷到数位 DP 烂大巷的当初，把握此类求解形式繁多，广泛定位为「艰难」的数位 DP 类型，还是极具性价比的。

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.902 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

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关于后端:902-最大为-N-的数字组合-经典数位-DP-二分运用题

题目形容

数位 DP + 二分

总结

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