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关于后端:873-最长的斐波那契子序列的长度-经典序列-DP-运用题

jiezi

题目形容

这是 LeetCode 上的 873. 最长的斐波那契子序列的长度 ，难度为 中等。

Tag :「序列 DP」、「哈希表」、「动静布局」

如果序列 $X_1, X_2, …, X_n$ 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：

  • n >= 3
  • 对于所有 i + 2 <= n，都有 $X_i + X_{i+1} = X_{i+2}$

给定一个严格递增的正整数数组造成序列 arr，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回  $0$。

（回忆一下，子序列是从原序列 arr 中派生进去的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也能够不删），而不扭转其余元素的程序。例如，[3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

示例 1：

输出: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]

输入: 5

解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8]。

示例 2：

输出: arr = [1,3,7,11,12,14,18]

输入: 3

解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18]。

提醒：

  • $3 <= arr.length <= 1000$
  • $1 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9$

序列 DP

定义 $f[i][j]$ 为应用 $arr[i]$ 为斐波那契数列的最初一位，应用 $arr[j]$ 为倒数第二位（即 $arr[i]$ 的前一位）时的最长数列长度。

不失一般性思考 $f[i][j]$ 该如何计算，首先依据斐波那契数列的定义，咱们能够间接算得 $arr[j]$ 前一位的值为 $arr[i] – arr[j]$，而疾速得悉 $arr[i] – arr[j]$ 值的坐标 $t$，能够利用 arr 的严格枯燥递增性质，应用「哈希表」对坐标进行转存，若坐标 $t$ 存在，并且合乎 $t < j$，阐明此时至多凑成了长度为 $3$ 的斐波那契数列，同时联合状态定义，能够应用 $f[t][j]$ 来更新 $f[i][j]$，即有状态转移方程：

$$
f[i][j] = \max(3, f[j][t] + 1)
$$

同时，当咱们「从小到大」枚举 $i$，并且「从大到小」枚举 $j$ 时，咱们能够进行如下的剪枝操作：

  • 可行性剪枝：当呈现 $arr[i] – arr[j] >= arr[j]$，阐明即便存在值为 $arr[i] – arr[j]$ 的下标 $t$，依据 arr 枯燥递增性质，也不满足 $t < j < i$ 的要求，且持续枚举更小的 $j$，依然有 $arr[i] – arr[j] >= arr[j]$，仍不非法，间接 break 掉以后枚举 $j$ 的搜寻分支；
  • 最优性剪枝：假如以后最大长度为 ans，只有当 $j + 2 > ans$，咱们才有必要往下搜寻，$j + 2$ 的含意为以 $arr[j]$ 为斐波那契数列倒数第二个数时的实践最大长度。

代码：

class Solution {public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) map.put(arr[i], i);
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
                int t = map.getOrDefault(arr[i] - arr[j], -1);
                if (t == -1) continue;
                f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1);
                ans = Math.max(ans, f[i][j]);
            }
        }
        return ans;
    }
}
  • 工夫复杂度：存入哈希表复杂度为 $O(n)$；DP 过程复杂度为 $O(n^2)$。整体复杂度为 $O(n^2)$
  • 空间复杂度：$O(n^2)$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.873 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

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