关于后端:808-分汤-挺有意思的-DP-题

题目形容

这是 LeetCode 上的 808. 分汤 ，难度为 中等。

Tag :「数学」、「动静布局」、「线性 DP」

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种调配操作：

1. 提供 100ml 的 汤 A 和 0ml 的 汤 B。
2. 提供 75ml 的 汤 A 和 25ml 的 汤 B。
3. 提供 50ml 的 汤 A 和 50ml 的 汤 B。
4. 提供 25ml 的 汤 A 和 75ml 的 汤 B。

当咱们把汤调配给某人之后，汤就没有了。每个回合，咱们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行调配抉择。如果汤的残余量不足以实现某次操作，咱们将尽可能调配。当两种类型的汤都调配完时，进行操作。

留神 不存在先调配 100 ml 汤 B 的操作。

须要返回的值：汤 A 先调配完的概率 +  汤 A 和汤 B 同时调配完的概率 / 2。返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范畴内将被认为是正确的。

示例 1:

输出: n = 50

输入: 0.62500

解释: 如果咱们抉择前两个操作，A 首先将变为空。对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。对于第四个操作，B 首先将变为空。所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输出: n = 100

输入: 0.71875

提醒:

• $0 <= n <= 10^9$

数学 + 动静布局

四种调配形式都是 $25$ 的倍数，因而咱们能够将 $n$ 进行除以 $25$ 上取整的缩放操作，并将四类操作等价成：

1. 提供 4ml 的 汤 A 和 0ml 的 汤 B。
2. 提供 3ml 的 汤 A 和 1ml 的 汤 B。
3. 提供 2ml 的 汤 A 和 2ml 的 汤 B。
4. 提供 1ml 的 汤 A 和 3ml 的 汤 B。

定义 $f[i][j]$ 为 汤 A 残余 $i$ 毫升，汤 B 残余 $j$ 毫升时的最终概率（$ 概率 = 汤 A 先调配完的概率 + 汤 A 和汤 B 同时调配完的概率 \times 0.5$）。

最终答案为 $f[n][n]$ 为最终答案，思考任意项存在为 $0$ 状况时的边界状况：

• 若 $i = 0$ 且 $j = 0$，后果为 $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，即有 $f[0][0] = 0.5$
• 若 $i = 0$ 且 $j > 0$，后果为 $1 + 0 = 1$，即有 $f[0][X] = 1$，其中 $X > 1$
• 若 $i > 0$ 且 $j = 0$，后果为 $0 + 0 = 0$，即有 $f[X][0] = 0$，其中 $X > 1$

其余个别状况为 $i$ 和 $j$ 均不为 $0$，因为四类操作均为等概率，联合题意和状态定义可知：

$$
f[i][j] = \frac{1}{4} \times (f[i – 4][j] + f[i – 3][j – 1] + f[i – 2][j – 2] + f[i – 1][j – 3])
$$

因为 $n = 1e9$，即便进行了除 $25$ 的缩放操作，过多的状态数仍会导致 TLE。

此时须要利用「返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范畴内将被认为是正确的」来做优化（一下子不太好想到）：因为四类操作均是等概率，单个回合冀望耗费汤 A 的量为 $2.5$，耗费汤 B 的量为 $1.5$。

因而当 $n$ 足够大，操作回合足够多，汤 A 将有较大的概率完结调配，即当 $n$ 足够大，概率值会趋向于 $1$。

咱们思考多大的 $n$ 可能配合精度误差 $10^{-5}$ 来缩小计算量：一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的形式找到合乎精度要求的验算值（不超过 $200$）。

Java 代码：

class Solution {public double soupServings(int n) {n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0));
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = 0.5;
        for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {double a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)];
                double c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)];
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
            }
        }
        return f[n][n];
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def soupServings(self, n: int) -> float:
        n = min(200, math.ceil(n / 25))
        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = 0.5
        for j in range(1, n + 10):
            f[0][j] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                a, b = f[max(i - 4, 0)][j], f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)]
                c, d = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)]
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d)
        return f[n][n]

• 工夫复杂度：$O(m^2)$，其中 $m = 200$ 为验算值
• 空间复杂度：$O(m^2)$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.808 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

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