关于动态规划:状压-DP-是什么这篇题解带你入门

题目地址（464. 我能赢么）

https://leetcode-cn.com/probl…

题目形容

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流抉择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和达到或超过 100 的玩家，即为胜者。如果咱们将游戏规则改为“玩家不能重复使用整数”呢？例如，两个玩家能够轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。给定一个整数 maxChoosableInteger（整数池中可抉择的最大数）和另一个整数 desiredTotal（累计和），判断先出手的玩家是否能稳赢（假如两位玩家游戏时都体现最佳）？你能够假如 maxChoosableInteger 不会大于 20，desiredTotal 不会大于 300。示例：输出：maxChoosableInteger = 10
desiredTotal = 11

输入：false

解释：无论第一个玩家抉择哪个整数，他都会失败。第一个玩家能够抉择从 1 到 10 的整数。如果第一个玩家抉择 1，那么第二个玩家只能抉择从 2 到 10 的整数。第二个玩家能够通过抉择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家抉择任意其余整数，第二个玩家都会赢。

前置常识

• 动静布局
• 回溯

公司

• 阿里
• linkedin

暴力解（超时）

思路

题目的函数签名如下：

def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:

即给你两个整数 maxChoosableInteger 和 desiredTotal，让你返回一个布尔值。

两种非凡状况

首先思考两种非凡状况，前面所有的解法这两种非凡状况都实用，因而不再赘述。

• 如果 desiredTotal 是小于等于 maxChoosableInteger 的，间接返回 True，这不难理解。
• 如果 [1, maxChoosableInteger] 全副数字之和小于 desiredTotal，谁都无奈赢，返回 False。

个别状况

思考完了非凡状况，咱们持续思考个别状况。

首先咱们来简化一下问题，如果数字能够轻易选呢？这个问题就简略多了，和爬楼梯没啥区别。这里思考暴力求解，应用 DFS + 模仿的形式来解决。

留神到每次可选的数字都不变，都是 [1, maxChoosableInteger]，因而无需通过参数传递。或者你想传递的话，把援用往下传也是能够的。

这里的 [1, maxChoosableInteger] 指的是一个左右闭合的区间。

为了不便大家了解，我画了一个逻辑树：

接下来，咱们写代码遍历这棵树即可。

可反复选 的暴力外围代码如下：

class Solution:
    def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:
        # acc 示意以后累计的数字和
        def dfs(acc):
            if acc >= desiredTotal:
                return False
            for n in range(1, maxChoosableInteger + 1):
                # 对方有一种状况赢不了，我就选这个数字就能赢了，返回 true，代表能够赢。if not backtrack(acc + n):
                    return True
            return False

        # 初始化汇合，用于保留以后曾经抉择过的数。return dfs(0)

下面代码曾经很清晰了，并且加了正文，我就不多解释了。咱们持续来看下 如果数字不容许反复选 会怎么样？

一个直观的思路是应用 set 记录曾经被取的数字。入选数字的时候，如果是在 set 中则不取即可。因为可选数字在 动态变化。也就是说下面的逻辑树局部，每个树节点的可选数字都是不同的。

那怎么办呢？很简略，通过参数传递呗。而且：

• 要么 set 是值传递，这样不会相互影响。
• 要么每次递归返回的是时候被动回溯状态。对于这块不相熟的，能够看下我之前写过的回溯专题。

如果应用值传递，对应是这样的：

如果在每次递归返回的是时候被动回溯状态，对应是这样的：

留神图上的蓝色的新增的线，他们示意递归返回的过程。咱们须要在返回的过程 撤销抉择。比方我选了数组 2，递归返回的时候再把数字 2 从 set 中移除。

简略比照下两种办法。

• 应用 set 的值传递，每个递归树的节点都会存一个残缺的 set，空间大略是 节点的数目 X set 中数字个数，因而空间复杂度大略是 $O(2^maxChoosableInteger * maxChoosableInteger)$，这个空间基本不可设想，太大了。
• 应用本状态回溯的形式。因为每次都要从 set 中移除指定数字，工夫复杂度是 $O(maxChoosableInteger X 节点数)$，这样做工夫复杂度又太高了。

这里我用了第二种形式 – 状态回溯。和下面代码没有太大的区别，只是加了一个 set 而已，惟一须要留神的是须要在回溯过程复原状态（picked.remove(n)）。

代码

代码反对：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:
        if desiredTotal <= maxChoosableInteger:
            return True
        if sum(range(maxChoosableInteger + 1)) < desiredTotal:
            return False
        # picked 用于保留以后曾经抉择过的数。# acc 示意以后累计的数字和
        def backtrack(picked, acc):
            if acc >= desiredTotal:
                return False
            if len(picked) == maxChoosableInteger:
                # 阐明全副都被选了，没得选了，返回 False，代表输了。return False
            for n in range(1, maxChoosableInteger + 1):
                if n not in picked:
                    picked.add(n)
                    # 对方有一种状况赢不了，我就选这个数字就能赢了，返回 true，代表能够赢。if not backtrack(picked, acc + n):
                        picked.remove(n)
                        return True
                    picked.remove(n)
            return False

        # 初始化汇合，用于保留以后曾经抉择过的数。return backtrack(set(), 0)

状态压缩 + 回溯

思路

有的同学可能会问，为什么不应用记忆化递归？这样能够无效缩小逻辑树的节点数，从指数级降落到多项式级。这里的起因在于 set 是不可间接序列化的，因而不可间接存储到诸如哈希表这样的数据结构。

而如果你本人写序列化，比方最毛糙的将 set 转换为字符串或者元祖存。看起来可行，set 是 ordered 的，因而如果想正确序列化还须要排序。当然你可用一个 orderedhashset，不过效率仍然不好，感兴趣的能够钻研一下。

如下图，两个 set 应该一样，然而遍历的后果程序可能不同，如果不排序就可能有谬误。

至此，问题的要害基本上锁定为找到一个 能够序列化且容量大大减少的数据结构 来存是不是就可行了？

留神到 maxChoosableInteger  不会大于 20 这是一个强有力的提醒。因为 20 是一个不大于 32 的数字，因而这道题很有可能和状态压缩无关，比方用 4 个字节存储状态。力扣相干的题目还有不少，具体大家可参考文末的相干题目。

咱们能够将状态进行压缩，应用位来模仿。实际上应用状态压缩和下面 思路截然不同，只是 API 不一样 罢了。

如果咱们应用的这个用来代替 set 的数字名称为 picked。

• picked 第一位示意数字 1 的应用状况。
• picked 第二位示意数字 2 的应用状况。
• picked 第三位示意数字 3 的应用状况。
• 。。。

比方咱们方才用了汇合，用到的汇合 api 有：

• in 操作符，判断一个数字是否在汇合中
• add(n) 函数，用于将一个数退出到汇合
• len()，用于判断汇合的大小

那咱们其实就用位来模仿实现这三个 api 就罢了。具体可参考我的这篇题解 – 面试题 01.01. 断定字符是否惟一

如果实现 add 操作？

这个不难。比方我要模仿 picked.add(n)，只有将 picked 第 n 为置为 1 就行。也就是说 1 示意在汇合中，0 示意不在。

应用 或运算和位移运算 能够很好的实现这个需要。

位移运算

1 << a

指的是 1 的二进制示意整体左移 a 位，右移也是同理

| 操作

a | b

指的是 a 和 b 每一位都进行或运算的构造。常见的用法是 a 和 b 其中一个当成是 seen。这样就能够当 二值 数组和哈希表用了。比方：

seen = 0b0000000
a = 0b0000001
b = ob0000010

seen |= a 后，seen 为 0b0000001
seen |= b 后，seen 为 0b0000011

这样我就能够晓得 a 和 b 呈现过了。当然 a，b 以及其余你须要统计的数字只能用一位。典型的是题目只须要存 26 个字母，那么一个 int(32 bit) 足够了。如果是包含大写，那就是 52，就须要至多 52 bit。

如何实现 in 操作符？

有了下面的铺垫就简略了。比方要模仿 n in picked。那只有判断 picked 的第 n 位是 0 还是 1 就行了。如果是 0 示意不在 picked 中，如果是 1 示意在 picked 中。

用 或运算和位移运算 能够很好的实现这个需要。

& 操作

a & b

指的是 a 和 b 每一位都进行与运算的构造。常见的用法是 a 和 b 其中一个是 mask。这样就能够得指定位是 0 还是 1 了。比方：

mask = 0b0000010
a & mask == 1 阐明 a 在第二位（从低到高）是 1
a & mask == 0 阐明 a 在第二位（从低到高）是 0

如何实现 len

其实只有一一 bit 比对，如果以后 bit 是 1 则计数器 + 1，最初返回计数器的值即可。

这没有问题。而实际上，咱们只关怀汇合大小是否等于 maxChoosableInteger。也就是我只关怀 第 maxChoosableInteger 位以及低于 maxChoosableInteger 的位是否全副是 1。

这就简略了，咱们只须要将 1 左移 maxChoosableInteger + 1 位再减去 1 即可。一行代码搞定：

picked == (1 << (maxChoosableInteger + 1)) - 1

下面代码返回 true 示意满了，否则没满。

至此大家应该感触到了，应用位来代替 set 思路上没有任何区别。不同的仅仅是 API 而已。如果你只会应用 set 不会应用位运算进行状态压缩，只能阐明你对位 的 api 不熟而已。多练习几道就行了，文末我列举了几道相似的题目，大家不要错过哦~

关键点剖析

• 回溯
• 动静布局
• 状态压缩

代码

代码反对：Java,CPP,Python3,JS

Java Code:

public class Solution {public boolean canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {if (maxChoosableInteger >= desiredTotal) return true;
        if ((1 + maxChoosableInteger) * maxChoosableInteger / 2 < desiredTotal) return false;

        Boolean[] dp = new Boolean[(1 << maxChoosableInteger) - 1];
        return dfs(maxChoosableInteger, desiredTotal, 0, dp);
    }

    private boolean dfs(int maxChoosableInteger, int desiredTotal, int state, Boolean[] dp) {if (dp[state] != null)
            return dp[state];
        for (int i = 1; i <= maxChoosableInteger; i++){int tmp = (1 << (i - 1));
            if ((tmp & state) == 0){if (desiredTotal - i <= 0 || !dfs(maxChoosableInteger, desiredTotal - i, tmp|state, dp)) {dp[state] = true;
                    return true;
                }
            }
        }
        dp[state] = false;
        return false;
    }
}

C++ Code:

class Solution {
public:
    bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {int sum = (1+maxChoosableInteger)*maxChoosableInteger/2;
        if(sum < desiredTotal){return false;}
        unordered_map<int,int> d;
        return dfs(maxChoosableInteger,0,desiredTotal,0,d);
    }

    bool dfs(int n,int s,int t,int S,unordered_map<int,int>& d){if(d[S]) return  d[S];
        int& ans = d[S];

        if(s >= t){return ans = true;}
        if(S == (((1 << n)-1) << 1)){return ans = false;}

        for(int m = 1;m <=n;++m){if(S & (1 << m)){continue;}
            int nextS = S|(1 << m);
            if(s+m >= t){return ans = true;}
            bool r1 = dfs(n,s+m,t,nextS,d);
            if(!r1){return ans = true;}
        }
        return ans = false;
    }
};

Python3 Code:

class Solution:
    def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:
        if desiredTotal <= maxChoosableInteger:
            return True
        if sum(range(maxChoosableInteger + 1)) < desiredTotal:
            return False

        @lru_cache(None)
        def dp(picked, acc):
            if acc >= desiredTotal:
                return False
            if picked == (1 << (maxChoosableInteger + 1)) - 1:
                return False
            for n in range(1, maxChoosableInteger + 1):
                if picked & 1 << n == 0:
                    if not dp(picked | 1 << n, acc + n):
                        return True
            return False

        return dp(0, 0)

JS Code:

var canIWin = function (maxChoosableInteger, desiredTotal) {
  // 间接获胜
  if (maxChoosableInteger >= desiredTotal) return true;

  // 全副拿完也无奈达到
  var sum = (maxChoosableInteger * (maxChoosableInteger + 1)) / 2;
  if (desiredTotal > sum) return false;

  // 记忆化
  var dp = {};

  /**
   * @param {number} total 残余的数量
   * @param {number} state 应用二进制位示意抽过的状态
   */
  function f(total, state) {
    // 有缓存
    if (dp[state] !== undefined) return dp[state];

    for (var i = 1; i <= maxChoosableInteger; i++) {
      var curr = 1 << i;
      // 曾经抽过这个数
      if (curr & state) continue;
      // 间接获胜
      if (i >= total) return (dp[state] = true);
      // 能够让对方输
      if (!f(total - i, state | curr)) return (dp[state] = true);
    }

    // 没有任何让对方输的办法
    return (dp[state] = false);
  }

  return f(desiredTotal, 0);
};

相干题目

• 面试题 01.01. 断定字符是否惟一 纯状态压缩，无 DP
• 698. 划分为 k 个相等的子集
• 1681. 最小不兼容性

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