卫星轨道微分方程：
卫星静止中的有心力是保守力，机械能守恒定律成立. 因而，咱们能够采纳总能量来探讨卫星轨道的具体模式. 在平方正比引力问题中，力 $F(r)$ 的具体模式已知.
因为有心力是保守力，故肯定存在势能 $V$，有
$$F=- \nabla V(1)$$
$$V= \int-F(r)dr=\int \frac{k^2m}{r^2}dr(2)$$
(2) 式中 $k^2=Gm_地 $ 是一个与卫星无关而只和地球无关的量，$r$ 为卫星和地球之间的间隔，$m$ 为卫星品质. 取无穷远处的势能为零，则得质点在距力心为 $r$ 时的引力势能为：
$$V(r)=\int_{0}^{r} \frac{k^2m}{r^2}dr=-\frac{k^2m}{r}(3)$$
咱们在钻研有心力问题时，如图 1 所示，通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律联合起来. 罕用如下两个方程作为根本方程：
$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta^2})+V(r)=E(4)$$
$$r^2 \dot{\theta}=h(5)$$
式子中 $h$ 是常数
联立 $(3)$ 和 $(4)$ 式可得：
$$\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right) -\frac{k^2m}{r}=E(6)$$
为了消去 $(6)$ 式中的 $dt$，咱们先做如下变换：
$$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}(7)$$
将 $(5)$ 带入 $(7)$ 可得：
$$
\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}=\frac{h}{r^2}\frac{dr}{d\theta}(8)
$$
将 $(6) 和 (8)$ 联立可得：
$$
\frac{1}{2}m\left[\frac{h^2}{r^4}\left(\frac{dr}{d\theta} \right) ^2+\frac{h^2}{r^2}-\frac{2k^2}{r} \right] =E(9)
$$
解出 $\frac{dr}{d\theta}$，并拆散变量并积分可得：
$$
\mathrm{arc}\sin \frac{2k^2r-2h^2}{r\sqrt{4k^4+\frac{8Eh^2}{m}}}=\theta +\frac{3}{2}\pi -\theta _0(10)
$$
$$
r=\frac{h^2/k^2}{1+\sqrt{1+2h^2E/k^4m}\left[\cos \left( \theta -\theta _0 \right) \right]}(11)
$$
已知极坐标系的规范圆锥曲线方程为：
$$
r=\frac{p}{1+e\cos \theta}(12)
$$
令 $p=\frac{h^2}{k^2}$，$e=\sqrt{1+\frac{2E}{m}\left(\frac{h}{k^2} \right) ^2}$，所以能够将式 $(11)$ 改写成 $(12)$ 式的模式.
由式 $(12)$ 可知，因为 $\frac{2}{m}\left(\frac{h}{k^2} \right) ^2$
的值恒为正，所以总能量 决定了卫星轨道的形态.
上面咱们分类探讨：
$E<0$，则 $e<1$, 轨道为椭圆；
$E=0$，则 $e=1$, 轨道为抛物线；
$E>0$，则 $e>1$, 轨道为双曲线.
数值模仿
1、圆轨道
2、椭圆轨道
3、抛物线轨道
3、双曲线轨道
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