0. 概要

二进制系列文章曾经写到第五篇了，不出意外的话，这应该会是二进制系列的最初一篇。咱们先来列举一下前四篇：

• 谈谈二进制（一）
• 谈谈二进制（二）——四则运算
• 谈谈二进制（三）——位运算及其利用
• 谈谈二进制（四）——原码、补码、反码、移码

其中，在上一篇里，咱们意识了四种机器数，它们各司其职，但总的来说，有一个特点，就是在对计算机里的正负号做文章。明天介绍的定点数和浮点数，则是对小数点做文章。

上一篇文章的结尾，咱们说到，计算机中只能存储数字，因而须要用 0 和1来示意正负，同样的，计算机中的小数点，也要用非凡的模式来示意，共有两种，即本文所要讲的 定点数 和浮点数。

1. 定点数

所谓定点数，就是指 小数点的地位是固定的，约定小数点在某一个地位上，因而，机器在解决定点数时，并不存储它的小数点。应用定点数的机器，被称为定点机。当然了，古代计算机个别只有有运算部件，都会提供对定点数运算的反对。

尽管实践上，定点数的小数点的地位能够任意规定，但通常只会用定点数示意 纯小数 或整数 ，当示意纯小数时，小数约定在上一篇文章里重复提及的 符号位 和数值局部之间，同理，示意整数时，则在数值局部的前面。下图展现了定点小数和定点整数的构造：

为什么通常只用定点数示意纯小数或整数呢？因为下面咱们提到的，定点机在存储定点数时，并不存储小数点，因而咱们的数字在定点机中是一串看上去像整数的货色，如果咱们存入了非纯小数或整数，它们的计算结果就会很容易呈现问题，譬如 1.23 和12.3，在定点机中它们没有小数点，都是123，那么它们在做加、减、除后的后果都是不对的，即使是乘法，其后果也须要咱们本人再去算它的小数点位。

而纯小数或整数解决起来就不便多了，譬如整数，它的加、减、乘三种运算后果都是整数，而除法如果遇到除不尽的状况，个别也会取余解决。纯小数同理，但比整数略微麻烦一点，次要是加法和除法，会有好处的危险，此时一些定点机可能会间接抛出异样。

定点机因为它的个性，在硬件层面设计会更简略。

2. 浮点数

浮点数是大家比拟相熟的一个词汇，也就是咱们平时编程语言中的 float 和double。后面定点数因为自身性质的限度，难以解决简单的非纯小数和整数，此时就须要浮点数来解决了。

所谓浮点，与定点绝对，就是小数点是浮动的，不固定的，它的模式有点像咱们相熟的迷信计数法，譬如 12.34 这个数，能够写成上面几种模式：

$$12.34 = 1.234\times10^1 = 0.1234\times10^2 = 1234\times10^{-2}$$

前面这三种模式都能示意 12.34 这个数字，只管它们的小数点地位各不相同，但因为前面乘了不同的 10 的幂次方，因而最终后果统一。

浮点数的规范模式如下：

$$N = M \times B^E$$

其中，M为尾数，B为基数，E为阶码，这个式子和各个字母的含意曾经十分清晰了，间接对照下面 12.34 这个例子看就好。当然了，12.34这个例子举的是咱们最相熟的十进制，咱们计算机中应用的当然是二进制，而依据后面几篇（应该是第一篇）二进制系列文章咱们晓得，二进制各个位数之间相差 2 倍，因而，如果要用浮点式示意一个二进制数时，这里的基数 B 就是 2 了，譬如：

$$101.11 = 10.111\times2^1 = 1.0111\times2^2 = 10111\times2^{-2} = 0.10111\times2^3 = 0.010111\times2^4$$

十分好了解。有些中央会把阶码 E 也示意成二进制的模式，譬如 2 次幂应用 10 次幂来示意，这个大家依据理论状况分别即可，外围都是不变的。

通常来说，计算机为了进步数据精度和便于浮点数之间的比拟，规定浮点数的尾数 M 用纯小数示意，即下面二进制 101.11 的最初两种示意模式。同时，将尾数最高位为 1 的浮点数称为规格化数，对于 101.11 来说，倒数第二种模式 $0.10111\times2^3$ 就是它的规格化示意。

2.1 计算机中的浮点数

下面介绍的是浮点数的根本定义，但这是给人类看的，计算机中必定有其非凡的存储模式，咱们间接来看古代计算机的通用国际标准 IEEE 754，咱们当初在用的计算机基本上都是基于这个规范来存储浮点数的，包含咱们相熟的 短浮点数（float）、长浮点数（double），它们俩的示意办法雷同，区别仅仅是阶码 E 和位数 M 的位数不同：

上图就是浮点数 IEEE 754 的规范模式了，咱们一一来看：

• 第一个地位是数符，就是表整个数字正负的符号，即 0 和1；
• 接着是阶码 E，这里的阶码也有正负，并且不必真值来示意，通常会用阶码的真值加上一个偏移量，作为理论存储的偏移值。如在短浮点数float 中，这个偏移量为 127，即 $2^7-1=1111111_{(2)}$。这样做的目标和上一篇文章中咱们讲到的移码相似，次要是为了比拟时更不便。加上偏移量之后，使得本来带符号的阶码E 变成了一个无符号数，或者间接了解为去除了符号位对阶码大小的影响，等会儿的例子中咱们再来看它的具体示意；
• 最初是尾数，这个局部为了进步精度，规定将原数尾数转化为 1.xxxx 的模式，以 1 为默认最高位，而后贮存的时候并不贮存最高位1，视其为暗藏的，只存储小数点前面的局部，这样能够使尾数示意的精度达到最高，即存储位数最多，比理论位数多一位。

在讲例子之前，咱们再来看一下 短浮点数（float）和 长浮点数（double）在 IEEE 754 中各个局部的位数：

这就是咱们在初学编程语言时，教科书上通知咱们的 float 是32位，精度没有 64 位的 double 高的起因了。尾数代表了精度，而阶码代表了示意范畴。

而后咱们来看一个例子，以 float 为例，咱们取一个十进制数 13.625，它对应的二进制是1101.101，咱们来看一下它依照IEEE 754 规范转换成 float 的过程和后果。

首先，将原数写成标准规定的格局，以 1 为最高整数位：$1101.101 = 1.101101\times2^3$。

而后把整数位 1 舍弃（暗藏），失去一个纯小数尾数 101101。因为float 的尾数全长为 23 位，同时这个尾数是纯小数，因而在以后尾数的前面用 0 补全，失去真正的尾数 1011 0100 0000 0000 0000 000 共23位。

接下来是阶码 3，先转成二进制11，这是它的真值，再用真值加上 $2^7-1$，即0111 1111 + 0000 0011 = 1000 0010，失去的就是一个8 位阶码理论存储值。下面咱们说过，这里与偏移量相加，是为了便于比拟，而相加后的后果能够看做是一个无符号的二进制数，因而它最高位的 1 并不指代它的正负。如果咱们用一个正数的阶码与偏移量相加，就会失去一个最高位 0 的后果，这样就能间接比拟出阶码的大小了。

失去阶码和尾数后，只须要在最高位上增加数符就好了。因为原数是负数，因而数符 S 为0，最终失去的 IEEE 754 规范的 float 浮点数为：

double太长就不写了，原理是一样的，大家如果有趣味能够本人试着算一算。

3. 总结

作为二进制系列的最初一篇，这可能是整个系列里最短的一篇了，次要是思考到定点数和浮点数，这两个货色个别仅理解概念，理论利用的机会非常少，也就浮点数咱们可能会在写代码时思考溢出等问题的时候才会用到它，也因而我把本就不长的篇幅中的大部分都给了浮点数。

二进制系列算是完结了，自己满腹经纶，几篇写下来文字量也不少，若文章中有什么脱漏或谬误，欢送大家指出，非常感谢！