偏最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。用最简的办法求得一些相对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。很多其余的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘模式表白。
% 偏最小二乘法
clc % 清屏
clear all; % 删除 workplace 变量
close all; % 关掉显示图形窗口
format short
pz=[191 36 50 5 162 60
189 37 52 2 110 60
193 38 58 12 101 101
162 35 62 12 105 37
189 35 46 13 155 58
182 36 56 4 101 42
211 38 56 8 101 38
167 34 60 6 125 40
176 31 74 15 200 40
154 33 56 17 251 250
169 34 50 17 120 38
166 33 52 13 210 115
154 34 64 14 215 105
247 46 50 1 50 50
193 36 46 6 70 31
202 37 62 12 210 120
176 37 54 4 60 25
157 32 52 11 230 80
156 33 54 15 225 73
138 33 68 2 110 43];% 每一列为一个指标，每一行为一个样本
mu=mean(pz); % 求均值
sig=std(pz); % 求标准差
rr=corrcoef(pz); % 求相关系数矩阵
data=zscore(pz); % 数据标准化
n=3; % n 是自变量的个数
m=3; % m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);% 定义自变量为前 n 列，因变量为 n + 1 到 m 列
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);%e0 为自变量归一化值，f0 为因变量归一化值
num=size(e0,1);% 求样本点的个数
chg=eye(n); % w 到 w* 变换矩阵的初始化
for i=1:n
% 计算 w，w* 和 t 的得分向量，matrix=e0'*f0*f0'*e0;
[vec,val]=eig(matrix); % 求特征值和特征向量
val=diag(val); % 提出对角线元素，即特征值
[val,ind]=sort(val,'descend');% 降序排列，ind 为排序后原下标序号
w(:,i)=vec(:,ind(1)); % 提出最大特征值对应的特征向量
w_star(:,i)=chg*w(:,i); % 计算 w * 的取值
t(:,i)=e0*w(:,i); % 计算成分 ti 的得分
alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); % 计算 alpha_i
chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); % 计算 w 到 w * 的变换矩阵
e=e0-t(:,i)*alpha'; % 计算残差矩阵
e0=e;% 将残差矩阵带进下次循环
% 计算 ss(i) 的值
beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; % 求回归方程的系数
beta(end,:)=[]; % 删除回归剖析的常数项
cancha=f0-t(:,1:i)*beta; % 求残差矩阵
ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); % 求误差平方和
% 计算 p(i)
for j=1:num
t1=t(:,1:i);f1=f0;
she_t=t1(j,:);she_f=f1(j,:); % 把舍去的第 j 个样本点保存起来
t1(j,:)=[];f1(j,:)=[]; % 删除第 j 个观测值
beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; % 求回归剖析的系数
beta1(end,:)=[]; % 删除回归剖析的常数项
cancha=she_f-she_t*beta1; % 求残差向量
p_i(j)=sum(cancha.^2);
end
p(i)=sum(p_i);
if i>1
Q_h2(i)=1-p(i)/ss(i-1);
else
Q_h2(1)=1;
end
if Q_h2(i)<0.0975
fprintf('提出的成分个数 r =%d',i);
fprintf(' ');
fprintf('穿插的有效性 =%f',Q_h2(i));
r=i;
break
end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; % 求 Y 对于 t 的回归系数
beta_z(end,:)=[]; % 删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; % 求 Y 对于 X 的回归系数，且是针对规范数据的回归系数，每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);
mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); % 计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); % 计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
disp('回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项, 每一列为一个因变量与自变量们的回归方程')
sol=[ch0;xish] % 显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项, 每一列为一个因变量与自变量们的回归方程
% 此为还原为原始变量后的方程
%% 感觉用处不大，用到的时候再查问怎么应用
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
w1=w(:,1)
w2=w(:,2)
wx1=w_star(:,1)
wx2=w_star(:,2)
tx1=t(:,1)'tx2=t(:,2)'
disp('回归系数')
beta_z % 回归系数
disp('系数矩阵, 即未还原原始变量的系数, 每一列为一个因变量与自变量的回归方程')
xishu% 系数矩阵, 即未还原原始变量的系数, 每一列为一个因变量与自变量的回归方程
%% 用法：别离计算出第四列第五列第六列和前三列的线性回归关系，给出系数，系数以列的形式给出，%%sol 别离为常数项系数，x1 x2 x3 的系数
% 生成 mydata 数据，进行偏最小二乘测验
format short
load('mydata.mat')%mydata 为计算偏最小二乘保留的数据集，能够用于测验
%% 更直观的解释各个自变量的作用
figure
bar(xishu')% 别离画出三个自变量对三个因变量标准化后回归方程的系数的的长度图
axis tight
hold on
annotation('textbox',[0.26 0.14 0.086 0.07],'String',{'单杠'},'FitBoxToText','off');
annotation('textbox',[0.56 0.14 0.086 0.07],'String',{'蜿蜒'},'FitBoxToText','off');
annotation('textbox',[0.76 0.14 0.086 0.07],'String',{'跳高'},'FitBoxToText','off');% 在指定地位加正文
%% 拟合成果的确定
% 所有点都在对角线左近均匀分布，则成果较好
ch0=repmat(ch0,num,1);%repmat 起复制矩阵组合为新矩阵的作用
yhat=ch0+x0*xish; % 计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max]);
cancha=yhat-y0; % 计算残差
figure
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
title('单杠问题预测')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
title('蜿蜒问题预测')
subplot(2,1,2)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
title('跳高问题预测')
%% 绘制拟合效果图和权重比重图