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前言
大家好,我是小彭。
明天分享到的是一种绝对冷门的数据结构 —— 并查集。尽管冷门,然而它背地体现的算法思维却十分精妙,在解决特定问题上能做到出奇制胜。那么,并查集是用来解决什么问题的呢?
学习路线图:
1. 意识并查集
除了并查集之外,不相交汇合(Disjoint Sets)、合并 - 查找汇合(Merge-find Set)、联结 - 查问数据结构(Union-find Data Structure)、联结 - 查问算法(Union-find algorithm),均示意雷同的数据结构或思维。
1.1 并查集用于解决什么问题?
并查集是一种用来高效地判断“动静连通性”的数据结构: 即给定一个无向图,要求判断某两个元素之间是否存在相连的门路(连通),这就是连通问题,也叫“朋友圈”问题。听起来有点懵,你先别着急哈,咱来一点一点地把这个常识体系建设起来。
先举个例子,给定一系列航班信息,问是否存在“北京”到“广州”的门路,这就是连通性问题。而如果是问“北京”到“广州”的最短门路,这就是门路问题。并查集是专一于解决连通性问题的数据结构,而不关怀元素之间的门路与间隔,所以最短门路等问题就超出了并查集的可能解决的范畴,不是它思考的问题。
连通问题与门路问题示意图
另一个关键点是,并查集也非常适合解决动态数据的连通性问题。 因为在实现旧数据的解决后,旧数据的连通关系是记录在并查集中的。即便后续动静减少新的数据,也不须要从新检索整个数据集,只须要将新数据提供的信息补充到并查集中,这带有空间换工夫的思维。
动静连通问题
了解了并查集的利用场景后,上面探讨并查集是如何解决连通性的问题。
1.2 并查集的逻辑构造
既然要解决连通性问题,那么在并查集的逻辑构造里,就必须用某种形式体现出两个元素或者一堆元素之间的连贯关系。那它是怎么体现的呢 —— 代表元法。
并查集应用“代表元法”来示意元素之间的连贯关系:将互相连通的元素组成一个子集,并从中选取一个元素作为代表元。而判断两个元素之间是否连通,就是判断它们的代表元是否雷同,代表元雷同则阐明处于雷同子集,代表元不同则阐明处于不同的子集。
例如,咱们将航班信息构建为并查集的数据结构后,就有“重庆”和“北京”两个子集。此时,问是否存在“北京”到“广州”的门路,就是看“北京”和“广州”的代表元是否雷同。可见它们的代表元是雷同的,因而它们是连通的。
并查集的逻辑构造和物理构造
了解了并查集的逻辑构造后,上面探讨如何用代码实现并查集。
1.3 并查集的物理构造
并查集的物理构造能够是数组,亦能够是链表,只有可能体现节点之间连贯关系即可。
- 链表实现: 为每个元素创立一个链表节点,每个节点持有指向父节点的指针,通过指针的的指向关系来构建汇合的连贯关系,而根节点(代表元)的父节点指针指向节点自身;
- 数组实现: 创立与元素个数雷同大小的数组,每个数组下标与每个元素一一对应,数组的值示意父节点的下标地位,而根节点(代表元)所处地位的值就是数组下标,示意指向自身。
数组实现绝对于链表实现更加常见,另外,在数组的根底上还衍生出散列表的实现,要害看元素个数是否固定。例如:
- 在 LeetCode · 990. 等式方程的可满足性 这道题中,节点是已知的 26 个字母,此时应用数组即可;
- 在 LeetCode · 684. 冗余连贯 这道题中,节点个数是未知的,此时应用散列表更适合。
提醒: 咱们这里将父节点指向节点自身定义为根节点,也有题解将父节点指向
null
或者-1
的节点定义为根节点。两种办法都能够,只有可能辨别出一般节点和根节点。然而指向节点自身的写法更简洁,不须要放心Union(x, x)
呈现死循环。
以下为基于数组和基于散列表的代码模板:
基于数组的并查集
// 数组实现适宜元素个数固定的场景
class UnionFind(n: Int) {
// 创立一个长度为 n 的数组,每个地位上的值初始化数组下标,示意初始化时有 n 个子集
private val parent = IntArray(n) {it}
...
}
基于散列表的并查集
// 散列表实现适宜元素个数不固定的场景
class UnionFind() {
// 创立一个空散列表,private val parent = HashMap<Int, Int>()
// 查问操作
fun find(x: Int): Int {// 1. parent[x] 为 null 示意首次查问,先退出散列表中并指向本身
if (null == parent[x]) {parent[x] = x
return x
}
// 下文阐明查问操作细节...
}
}
2. 并查集的基本概念
2.1 合并操作与查问操作
“并查集,并查集”,顾名思义并查集就是由“并”和“查”这两个最根本的操作组成的:
- Find 查问操作: 沿着只用链条找到根节点(代表元)。如果两个元素的根节点雷同,则阐明两个元素是否属于同一个子集,否则属于不同本人;
- Union 合并操作: 将两个元素的根节点合并,也示意将两个子集合并为一个子集。
例如,以下是一个基于数组的并查集实现,其中应用 Find(x)
查问元素的根节点应用 Union(x, y)
合并两个元素的根节点:
基于数组的并查集
class UnionFind(n: Int) {
// 创立一个长度为 n 的数组,每个地位上的值初始化数组下标,示意初始化时有 n 个子集
val parent = IntArray(n) {it}
// 查问操作(遍历写法)fun find(x: Int): Int {
var key = x
while (key != parent[key]) {key = parent[key]
}
return key
}
// 合并操作
fun union(x: Int, y: Int) {
// 1. 别离找出两个元素的根节点
val rootX = find(x)
val rootY = find(y)
// 2. 任意抉择其中一个根节点成为另一个根节点的子树
parent[rootY] = rootX
}
// 判断连通性
fun isConnected(x: Int, y: Int): Boolean {
// 判断根节点是否雷同
return find(x) == find(y)
}
// 查问操作(递归写法)fun find(x: Int): Int {
var key = x
if (key != parent[key]) {return find(parent[key])
}
return key
}
}
合并与查问示意图
2.2 连通重量
并查集的连通重量,示意的是整个并查集中独立的子集个数,也就是森林中树的个数。要计算并查集的连通重量,其实就是在合并操作中保护连通重量的计数,在合并子集后将计数减一。
class UnionFind(n: Int) {private val parent = IntArray(n) {it}
// 连通重量计数,初始值为元素个数 n
var count = n
// 合并操作
fun union(x: Int, y: Int) {val rootX = find(x)
val rootY = find(y)
if(rootX == rootY){
// 未产生合并,则不须要减一
return
}
// 合并后,连通重量减一
parent[rootY] = rootX
count --
}
...
}
连通重量示意图
3. 典型例题 · 等式方程的可满足性
了解以上概念后,就曾经具备解决连通问题的必要常识了。咱们看一道 LeetCode 上的典型例题:LeetCode · 990.
LeetCode 例题
咱们能够把每个变量看作一个节点,而等式示意两个节点相连,不等式则示意两个节点不相连。那么,咱们能够分 2 步:
- 1、先遍历所有等式,将等式中的两个变量合并到同一个子集中,最终结构一个并查集;
- 2、再遍历所有不等式,判断不等式中的两个变量是否处于同一个子集。是则阐明有抵触,即等式方程不成立。
题解示例如下:
题解
// 未优化版本
class Solution {fun equationsPossible(equations: Array<String>): Boolean {
// 26 个小写字母的并查集
val unionFind = UnionFind(26)
// 合并所有等式
for (equation in equations.filter { it[1] == '=' }) {unionFind.union(equation.first(), equation.second())
}
// 查看不等式是否与连通性抵触
for (equation in equations.filter { it[1] == '!' }) {if (unionFind.isConnected(equation.first(), equation.second())) {return false}
}
return true
}
private fun String.first(): Int {return this[0].toInt() - 97}
private fun String.second(): Int {return this[3].toInt() - 97}
private class UnionFind() {// 代码略}
}
4. 并查集的优化
后面说到并查集逻辑上是一种基于森林的数据结构。既然与树无关,咱们天然能想到它的复杂度就与树的高度无关。在极其条件下(依照非凡的合并程序),有可能呈现树的高度恰好等于元素个数 n 的状况,此时,单次 Find
查问操作的工夫复杂度就进化到 $O(n)$。
那有没有优化的方法呢?
4.1 父节点重要吗?
在介绍具体的优化办法前,我先提出来一个问题:在曾经选定汇合的代表元后,一个元素的父节点是谁还重要吗?答案是不重要。
因为无论父节点是谁,最终都是去找根节点的。至于两头是通过哪些节点达到根节点的,这个并不重要。举个例子,以下 3 个并查集是齐全等价的,但显著第 3 个并查集中树的高度更低,查问的工夫复杂度更好。
父节点并不重要
了解了这个点之后,再了解并查集的优化策略就容易了。在并查集里,有 2 种避免链表化的优化策略 —— 门路压缩 & 按秩合并。
4.2 门路压缩(Path Compression)
门路压缩指在查问的过程中,逐步调整父节点的指向,使其指向更高层的节点,使得很多深层的阶段逐步放到更凑近根节点的地位。 依据调整的激进水平又分为 2 种:
- 隔代压缩: 调整父节点的指向,使其指向父节点的父节点;
- 齐全压缩: 调整父节点的指向,使其间接指向根节点。
门路压缩示意图
门路压缩示例程序
// 遍历写法
fun find(x: Int): Int {
var key = x
while (key != parent[key]) {parent[key] = parent[parent[key]]
key = parent[key]
}
return key
}
// 递归写法
fun find(x: Int): Int {
var key = x
if (key != parent[key]) {parent[key] = find(parent[key])
return parent[key]
}
return key
}
4.3 按秩合并(Union by Rank)
在 第 2.1 节 提到合并操作时,咱们采取的合并操作是绝对随便的。咱们在合并时会任意抉择其中一个根节点成为另一个根节点的子树,这就有可能让一棵较大子树成为较小子树的子树,使得树的高度减少。
而按秩合并就是要突破这种随意性,在合并的过程中让较小的子树成为较大子树的子树,防止合并当前树的高度减少。 为了示意树的高度,须要保护应用 rank 数组,记录根节点对应的高度。
按秩合并示意图
按秩合并示例程序
private class UnionFind(n: Int) {
// 父节点
private val parent = IntArray(n) {it}
// 节点的高度
private val rank = IntArray(n) {1}
// 连通重量
var count = n
private set
// 查问(门路压缩)fun find(x: Int): Int {
var key = x
while (key != parent[key]) {parent[key] = parent[parent[key]]
key = parent[key]
}
return key
}
// 合并(按秩合并)fun union(key1: Int, key2: Int) {val root1 = find(key1)
val root2 = find(key2)
if (root1 == root2) {return}
if (rank[root1] > rank[root2]) {
// root1 的高度更大,让 root2 成为子树,树的高度不变
parent[root2] = root1
} else if (rank[root2] > rank[root1]) {
// root2 的高度更大,让 root1 成为子树,树的高度不变
parent[root1] = root2
} else {
// 高度雷同,谁当子树都一样
parent[root1] = root2
// root2 的高度加一
rank[root2]++
// 或
// parent[root2] = root1
// rank[root1] ++
}
count--
}
}
4.4 优化后的工夫复杂度剖析
在同时应用门路压缩和按秩合并两种优化策略时,单次合并操作或查问操作的工夫复杂度简直是常量,整体的工夫复杂度简直是线性的。
以对 N 个元素进行 N – 1 次合并和 M 次查问的操作序列为例,单次操作的工夫复杂度是 $O(a(N))$,而整体的工夫复杂度是 $O(M·a(N))$。其中 $a(x)$ 是逆阿克曼函数,是一个增长十分十分慢的函数,只有应用那些十分大的“天文数字”作为变量 $x$,否则 $a(x)$ 的取值都不会超过 4,基本上能够当作常数。
然而,逆阿克曼函数毕竟不是常数,因而咱们不能说并查集的工夫复杂度是线性的,但也简直是线性的。对于并查集工夫复杂度的论证过程,具体能够看参考资料中的两本算法书籍,我是看不懂的。
5. 典型例题 · 岛屿数量(二维)
后面咱们讲的是一维的连通性问题,那么在二维世界里的连通性问题,并查集还仍旧好用吗?咱们看 LeetCode 上的另一道典型例题:LeetCode · 200.
LeetCode 例题
这个问题间接上 DFS 广度搜寻天然是能够的:遍历二维数组,每找到 1
后应用 DFS 遍历将所有相连的 1
打消为 0
,直到整块相连的岛屿都打消掉,记录岛屿数 +1。最初,输入岛屿数。
用并查集的来解的话,要害技巧就是建设长度为 M * N 的并查集:遍历二维数组,每找到 1
后,将它与左边和下边的 1
合并起来,最终输入并查集中连通重量的个数,就是岛屿树。
并查集解法
class Solution {fun numIslands(grid: Array<CharArray>): Int {
// 地位
fun position(row: Int, column: Int) = row * grid[0].size + column
// 并查集
val unionFind = UnionFind(grid)
// 偏移量数组(向右和向下)val directions = arrayOf(intArrayOf(0, 1), intArrayOf(1, 0))
// 边界查看
fun checkBound(row: Int, column: Int): Boolean {return (row in grid.indices) and (column in grid[0].indices)
}
for (row in grid.indices) {for (column in grid[0].indices) {if ('1' == grid[row][column]) {
// 生产(防止后续的遍历中反复搜寻)grid[row][column] = '0'
for (direction in directions) {val newRow = row + direction[0]
val newColumn = column + direction[1]
if (checkBound(newRow, newColumn) && '1' == grid[newRow][newColumn]) {unionFind.union(position(newRow, newColumn), position(row, column))
}
}
}
}
}
return unionFind.count
}
private class UnionFind(grid: Array<CharArray>) {
// 父节点
private val parent = IntArray(grid.size * grid[0].size) {it}
// 节点高度
private val rank = IntArray(grid.size * grid[0].size) {1}
// 连通重量(取格子 1 的总数)var count = grid.let {
var countOf1 = 0
for (row in grid.indices) {for (column in grid[0].indices) {if ('1' == grid[row][column]) countOf1++
}
}
countOf1
}
private set
// 合并(按秩合并)fun union(key1: Int, key2: Int) {val root1 = find(key1)
val root2 = find(key2)
if (root1 == root2) {
// 未产生合并,则不须要减一
return
}
if (rank[root1] > rank[root2]) {parent[root2] = root1
} else if (rank[root2] > rank[root1]) {parent[root1] = root2
} else {parent[root1] = root2
rank[root2]++
}
// 合并后,连通重量减一
count--
}
// 查问(应用门路压缩)fun find(x: Int): Int {
var key = x
while (key != parent[key]) {parent[key] = parent[parent[key]]
key = parent[key]
}
return key
}
}
}
6. 总结
到这里,并查集的内容就讲完了。文章结尾也提到了,并查集并不算面试中的高频题目,然而它的设计思维的确十分妙。不晓得你有没有这种经验,在看到一种十分美好的解题 / 设计思维后,会不盲目地赞不绝口,直呼外行,并查集就是这种。
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参考资料
- 数据结构与算法剖析 · Java 语言形容(第 8 章 · 不互相交加类)—— [美] Mark Allen Weiss 著
- 算法导论(第 21 章 · 用于不相交汇合的数据结构)—— [美] Thomas H. Cormen 等 著
- 专题 · 并查集 —— LeetCode 出品
- 题目 · 等式方程的可满足性 —— LeetCode 出品