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我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。
其实，只要讲到数据结构与算法，就一定离不开时间、空间复杂度分析。复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。
大 O 复杂度表示法
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {sum = sum + i * j;}
}
}
我来具体解释一下这个公式。其中，
- T(n)表示代码执行的时间；
- n 表示数据规模的大小；
- f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。
- O 表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
这就是 大 O 时间复杂度表示法 。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示 代码执行时间随数据规模增长的变化趋势 ，所以，也叫作 渐进时间复杂度 （asymptotic time complexity），简称 时间复杂度。
时间复杂度分析
只关注循环次数最多的一段代码
大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {sum = sum + i * j;}
}
}
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。
加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {sum_1 = sum_1 + p;}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {sum_2 = sum_2 + q;}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {sum_3 = sum_3 + i * j;}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n^2)。也就是说：等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n^2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n^2)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是 嵌套循环，我举个例子给你解释一下。
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {sum = sum + i;}
return sum;
}我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n^2)。
几种常见的时间复杂度实例分析
O(1)
首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;我稍微总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是 Ο(1)。
O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。
i=1;
while (i <= n) {i = i * 2;}根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？
i=1;
while (i <= n) {i = i * 3;}根据我刚刚讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？
我们知道，对数之间是可以互相转换的，log(3)(n) 就等于 log(3)(2) log(2)(n)，所以 O(log(3)(n)) = = O(C log(2)(n))，其中 C=log(3)(2) 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
O(m+n)、O(m*n)
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {sum_1 = sum_1 + i;}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {sum_2 = sum_2 + j;}
return sum_1 + sum_2;
}从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。
空间复杂度分析
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {print out a[i]
}
}跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n^2)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。
小结
参考：https://time.geekbang.org/col…
本文作者：荒古
本文链接：https://haxianhe.com/2019/07/…：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？/
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