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二分查找算法详解

jiezi

二分查找

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最基本的二分查找

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 注意：如果用(right + left) / 2 会出现数值过大溢出现象
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

边界问题

为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

  • 因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

    这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

    我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？

  • 当然，找到了目标值的时候可以终止！

    • if(nums[mid] == target)
    return mid;

    • 但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。

      • 那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

        while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见 这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

        while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

        • 当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

              //...
    while(left < right) {// ...}
    return nums[left] == target ? left : -1;

为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

  • 这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

    刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

    当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

此算法有什么缺陷？

  • 但是，这个算法存在局限性。

    比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

    这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

    我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

寻找左侧边界的二分搜索

int left_bound(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意 此时为开区间

    while (left < right) { // 注意  开区间则为 < 
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {right = mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid; // 注意}
    }
    return left;
}

边界问题

为什么 while 中是 < 而不是 <=?

  • 用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

    while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

    PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的 right 不是 nums.length - 1 吗，为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？

    因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

  • ​ 因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

    • 对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

      比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。

      再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

      综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

      • while (left < right) {//...}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

  • 这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

为什么该算法能够搜索左侧边界？

  • 关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

    •     if (nums[mid] == target)
        right = mid;
      • 可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

为什么返回 left 而不是 right？

  • 都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

  • 当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

    因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=

    • int left_bound(int[] nums, int target) {// 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }

    • 因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

      • if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

    • 由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

    • 因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

      • if (left >= nums.length || nums[left] != target)
    return -1;
return left;

    • 至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

      • int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}
    • 这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {left = mid + 1; // 注意} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid;}
    }
    return left - 1; // 注意
}

边界问题

为什么这个算法能够找到右侧边界？

  • 当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

    • if (nums[mid] == target) {left = mid + 1;

为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

  • 首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

    • if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 这样想: mid = left - 1
    • 因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

  • 类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

    • while (left < right) {// ...}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

  • int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

  • 当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：

三个逻辑的差异性

基本的二分查找

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

寻找左侧边界的二分查找

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

寻找右侧边界的二分查找

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

全部统一

int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    while(left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，锁定左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}


int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，锁定右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

整体步骤

1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。

3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。

4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可

文章来源

本文章基本摘自 https://labuladong.gitbook.io…

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