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二分查找
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最基本的二分查找
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 注意：如果用(right + left) / 2 会出现数值过大溢出现象
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}边界问题
为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？
- 因为初始化
right的赋值是nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是nums.length。这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间
[left, right]，后者相当于左闭右开区间[left, right)，因为索引大小为nums.length是越界的。我们这个算法中使用的是前者
[left, right]两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。
什么时候应该停止搜索呢？
-
当然，找到了目标值的时候可以终止！
-
if(nums[mid] == target) return mid; -
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。
-
那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见 这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。while(left < right)的终止条件是left == right，写成区间的形式就是[left, right]，或者带个具体的数字进去[2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间[2, 2]被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。-
当然，如果你非要用
while(left < right)也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：//... while(left < right) {// ...} return nums[left] == target ? left : -1;
-
-
-
为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
- 这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即
[left, right]。那么当我们发现索引mid不是要找的target时，下一步应该去搜索哪里呢？当然是去搜索
[left, mid-1]或者[mid+1, right]对不对？因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
此算法有什么缺陷？
- 但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组
nums = [1,2,2,2,3]，target为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到target的左侧边界，即索引 1，或者我想得到target的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
寻找左侧边界的二分搜索
int left_bound(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意 此时为开区间
while (left < right) { // 注意 开区间则为 <
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {right = mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid; // 注意}
}
return left;
}边界问题
为什么 while 中是 < 而不是 <=?
- 用相同的方法分析，因为
right = nums.length而不是nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是[left, right)左闭右开。while(left < right)终止的条件是left == right，此时搜索区间[left, left)为空，所以可以正确终止。PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的
right不是nums.length - 1吗，为啥这里非要写成nums.length使得「搜索区间」变成左闭右开呢？因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。
为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
-
因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
-
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：
nums中小于 2 的元素有 1 个。比如对于有序数组
nums = [2,3,5,7],target = 1，算法会返回 0，含义是：nums中小于 1 的元素有 0 个。再比如说
nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums中小于 8 的元素有 4 个。综上可以看出，函数的返回值（即
left变量的值）取值区间是闭区间[0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：-
while (left < right) {//...} // target 比所有数都大 if (left == nums.length) return -1; // 类似之前算法的处理方式 return nums[left] == target ? left : -1;
-
为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
- 这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是
[left, right)左闭右开，所以当nums[mid]被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉mid分割成两个区间，即[left, mid)或[mid + 1, right)。
为什么该算法能够搜索左侧边界？
-
关键在于对于
nums[mid] == target这种情况的处理：-
if (nums[mid] == target) right = mid;- 可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界
right，在区间[left, mid)中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
- 可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界
-
为什么返回 left 而不是 right？
- 都是一样的，因为 while 终止的条件是
left == right。
能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。
-
当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：
因为你非要让搜索区间两端都闭，所以
right应该初始化为nums.length - 1，while 的终止条件应该是left == right + 1，也就是其中应该用<=-
int left_bound(int[] nums, int target) {// 搜索区间为 [left, right] int left = 0, right = nums.length - 1; while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // if else ... } -
因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以
left和right的更新逻辑如下：-
if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right] left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1] right = mid - 1; } else if (nums[mid] == target) { // 收缩右侧边界 right = mid - 1; }
-
-
由于 while 的退出条件是
left == right + 1，所以当target比nums中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界： -
因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：
-
if (left >= nums.length || nums[left] != target) return -1; return left;
-
-
至此，整个算法就写完了，完整代码如下：
-
int left_bound(int[] nums, int target) { int left = 0, right = nums.length - 1; // 搜索区间为 [left, right] while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right] left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1] right = mid - 1; } else if (nums[mid] == target) { // 收缩右侧边界 right = mid - 1; } } // 检查出界情况 if (left >= nums.length || nums[left] != target) return -1; return left; }
-
- 这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是
left变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。
-
寻找右侧边界的二分查找
int right_bound(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {left = mid + 1; // 注意} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid;}
}
return left - 1; // 注意
}边界问题
为什么这个算法能够找到右侧边界？
-
当
nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。-
if (nums[mid] == target) {left = mid + 1;
-
为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
-
首先，while 循环的终止条件是
left == right，所以left和right是一样的，你非要体现右侧的特点，返回right - 1好了。至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：-
if (nums[mid] == target) { left = mid + 1; // 这样想: mid = left - 1 - 因为我们对
left的更新必须是left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left]一定不等于target了，而nums[left-1]可能是target。至于为什么left的更新必须是left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
-
为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
-
类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是
left == right，就是说left的取值范围是[0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：-
while (left < right) {// ...} if (left == 0) return -1; return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
-
是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。
-
int right_bound(int[] nums, int target) { int left = 0, right = nums.length - 1; while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) { // 这里改成收缩左侧边界即可 left = mid + 1; } } // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图 if (right < 0 || nums[right] != target) return -1; return right; } -
当
target比所有元素都小时，right会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：
三个逻辑的差异性
基本的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回寻找左侧边界的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界寻找右侧边界的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一全部统一
int binary_search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if(nums[mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
}
}
// 直接返回
return -1;
}
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最后要检查 left 越界的情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最后要检查 right 越界的情况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}整体步骤
1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。
2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可
文章来源
本文章基本摘自 https://labuladong.gitbook.io…
