二叉树深度优先遍历

这两天在做二叉树相关的算法题，做一点学习笔记。（连二叉树都不会？确实不熟练，平时工作也没有要去写二叉树相关的算法或者数据结构的场景。因为自己菜，所以更加要努力学！）

定义

先看下维基百科的解释：在计算机科学中，二叉树（英语：Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于 2 的节点）的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

由于二叉树本身定义的特点，具有高度的局部重复性，所以在深度优先遍历二叉树时，通常采用递归的方式去实现，这样实现出来的代码非常简洁漂亮，也比较容易看懂。

深度优先遍历

一般我们深度优先遍历二叉树有三种最常见的顺序遍历：前序、中序、后序。

前序的遍历顺序为：访问根结点 -> 遍历左子树 -> 遍历右子树

中序的遍历顺序为：遍历左子树 -> 访问根结点 -> 遍历右子树

后序的遍历顺序为：遍历左子树 -> 遍历右子树 -> 访问根结点

注意这里的左右是整个子树，而不是一个结点，因为我们需要遍历整棵树，所以每次遍历都是按照这个顺序去执行，直到叶子结点。

举个例子，假如有如下二叉树：

前序遍历得到的序列就是 A – B – C – D – E

中序遍历得到的序列就是 B – A – D – C – E

后序遍历得到的序列就是 B – D – E – C – A

思路我们就用前序遍历来讲（非常不建议去人肉递归，至少我的脑子吃不消三层。。。）：

第一层递归：

先访问根结点，所以输出根结点 A，然后遍历左子树（L1），再遍历右子树（R1）；

第二层递归：

对于 L1，先访问根结点，所以输出此时的根结点 B，然后发现 B 的左右子树为空，结束递归；

对于 R1，先访问根结点，所以输出此时的根结点 C，然后遍历左子树（L2），再遍历右子树（R2）；

第三层递归：

对于 L2，先访问根结点，所以输出此时的根结点 D，然后发现 D 的左右子树为空，结束递归；

对于 R2，先访问根结点，所以输出此时的根结点 E，然后发现 E 的左右子树为空，结束递归；

前中后序特征

根据前中后序的定义，其实我们不难发现有如下特征：

• 前序的第一个一定是 root 节点，后序的最后一个一定是 root 节点

• 每种排序的左子树和右子树分布都是有规律的

• 对于每一个子树都遵循上面两个规律的树

这些特征也就是定义中对顺序的表现。

各种推导

这边列举一下对于二叉树的遍历最基本的几个算法题：

• 给定二叉树得出其前 / 中 / 后序遍历的序列；

• 根据前序和中序推导后序（或者推导整颗二叉树）；

• 根据后序和中序推导前序（或者推导整颗二叉树）；

对于二叉树的遍历，前面也讲过，通常采用递归来做，对于递归，有模版可以直接套用：

public void recur(int level, int param) {
    
    // terminator
    if (level > MAX_LEVEL) {
        // process result
         return;   
    }
    
    // process current logic
    process(level, param);
    
    // drill down
    recur(level+1, newParam);
    
    // restore current status
}

这个是我这两天看极客时间的算法训练营中超哥（覃超）讲到的比较实用的小技巧（这个模版对于新手特别好），遵循上面的三步骤（如果有局部变量需要释放或者额外处理则第四步去做）能比较有条理的写出递归代码。

这里拿根据前序和中序推导后序来举例：

先初始化两个序列：

int[] preSequence = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
int[] inSequence = {2, 3, 1, 6, 7, 8, 5, 9, 4};

通过上面说到的几个特征，我们已经可以找到最小重复子问题了，每次递归

根据前序的 第一个结点值 去匹配中序中该结点值所在的索引 i，这样我们就能得到索引 i 的前后两部份分别对应左右子树，接着分别去遍历这两个左右子树，然后输出当前前序的第一个结点值，也就是根结点。

根据自顶向下的程序设计方法，我们可以先写出如下初始递归调用：

List<Integer> result = new ArrayList<>();
preAndInToPost(0, 0, preSequence.length, preSequence, inSequence, result);

第一个参数表示前序序列的第一个元素索引；

第二个参数表示中序序列的第一个元素索引；

第三个参数表示序列长度；

第四个参数表示前序序列；

第五个参数表示后序序列；

第六个参数用于保存结果；

先来考虑终止条件是什么，也就是什么时候结束递归，当我们的根结点为空的时候终止，对应这里就是序列长度为零的时候。

if (length == 0) {return;}

接着考虑处理逻辑，也就是找到索引 i：

int i = 0;
while (inSequence[inIndex + i] != preSequence[preIndex]) {i++;}

然后开始向下递归：

preAndInToPost(preIndex + 1, inIndex, i, preSequence, inSequence, result);
preAndInToPost(preIndex + i + 1, inIndex + i + 1, length - i - 1, preSequence, inSequence, result);
result.add(preSequence[preIndex]);

因为推导的是后序序列，所以顺序如上，添加根结点的操作是在最后的。前三个参数如何得出来的呢，我们走一下第一次遍历就可以得出来。

前序序列的第一个结点 1 在中序序列中的索引为 2，此时

左子树的中序系列起始索引为总序列的第 1 个索引，长度为 2；

左子树的前序序列起始索引为总序列的第 2 个索引，长度为 2；

右子树的中序系列起始索引为总序列的第 3 个索引，长度为 length – 3；

右子树的前序序列起始索引为总序列的第 3 个索引，长度为 length – 3；

完整代码如下：

/**
 * 根据前序和中序推导后序
 *
 * @param preIndex    前序索引
 * @param inIndex     中序索引
 * @param length      序列长度
 * @param preSequence 前序序列
 * @param inSequence  中序序列
 * @param result      结果序列
 */
private void preAndInToPost(int preIndex, int inIndex, int length, int[] preSequence, int[] inSequence, List<Integer> result) {if (length == 0) {return;}

    int i = 0;
    while (inSequence[inIndex + i] != preSequence[preIndex]) {i++;}

    preAndInToPost(preIndex + 1, inIndex, i, preSequence, inSequence, result);
    preAndInToPost(preIndex + i + 1, inIndex + i + 1, length - i - 1, preSequence, inSequence, result);
    result.add(preSequence[preIndex]);
}

参考链接

• 维基百科 – 二叉树