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堆排序就是这么容易

jiezi

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前言

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有任何问题都可以来谈谈！

堆排序在常用排序算法中属于比较难理解的，本篇就以最简单的方式讲解。如果还有什么疑问，

1. 什么是堆？

  • 弄清楚 <font color=#159957> 堆排序 </font> 以前，我们先要知道什么是<font color=#159957> 堆 </font>？

堆是具有以下性质的 完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

下图：

简单用公式描述一下就是：

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

问题二：什么是<font color=#159957> 完全二叉树 </font>？

百度百科:

一棵深度为 k 的有 n 个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为 i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

2. 堆排序

百度百科:

堆排序（英语：Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

堆排序是利用 <font color=#159957> 堆 </font> 这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种 <font color=#159957> 选择排序 </font>，它的最坏，最好，平均 <font color=#159957> 时间复杂度 </font> 均为 O(nlogn)，它也是 <font color=#159957> 不稳定排序 </font>。

3. 原理

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余 n - 1 个元素重新构造成一个堆，这样会得到 n 个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

<font color=#159957>步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。</font>

a. 假设给定无序序列结构如下



b. 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的 6 结点），从左至右，从下至上进行调整。



c. 找到第二个非叶节点 4，由于[4,9,8] 中 9 元素最大，4 和 9 交换。



d. 这时，交换导致了子根 [4,5,6] 结构混乱，继续调整，[4,5,6]中 6 最大，交换 4 和 6。



此时，就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

<font color=#159957>步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。</font>

a. 将堆顶元素 9 和末尾元素 4 进行交。



b. 重新调整结构，使其继续满足堆定义。



c. 再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8。



后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。





- 再简单总结下堆排序的基本思路：

<font color=#159957>a. 将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;</font>

<font color=#159957>b. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素 ” 沉 ” 到数组末端;</font>

<font color=#159957>c. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整 + 交换步骤，直到整个序列有序。</font>

4. 代码

代码是基于 Java语言。

package cn.javapub;

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {public int[] sort(int[] sourceArray) throws Exception {
        // 对 arr 进行拷贝，不改变参数内容
        int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length);

        int len = arr.length;

        // 构建大顶堆
        buildMaxHeap(arr, len);

        // 调整堆结构 + 交换堆顶元素与末尾元素
        for (int i = len - 1; i > 0; i--) {swap(arr, 0, i);// 将堆顶元素与末尾元素进行交换
            len--;
            heapify(arr, 0, len);// 重新对堆进行调整
        }
        return arr;
    }

    private void buildMaxHeap(int[] arr, int len) {for (int i = (int) Math.floor(len / 2); i >= 0; i--) {
            // 从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
            heapify(arr, i, len);
        }
    }

    // 调整大顶堆
    private void heapify(int[] arr, int i, int len) {
        int left = 2 * i + 1;
        int right = 2 * i + 2;
        int largest = i;

        if (left < len && arr[left] > arr[largest]) {largest = left;}

        if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {largest = right;}

        if (largest != i) {swap(arr, i, largest);
            heapify(arr, largest, len);
        }
    }
    
    // 交换元素
    private void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {int[] arr = {5, 1, 4, 2, 3};
        HeapSort heapSort = new HeapSort();
        int[] sort = heapSort.sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(sort));
    }

}

返回结果：

[1, 2, 3, 3, 5]

5. 最后

​ 堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆 + 交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为 O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换 n - 1 次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)…1]逐步递减，近似为 nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是 O(nlogn)级。

6. 扩展阅读

<font color=#159957> 光说不练假把式 </font>，看看下面题目。

题目： 1 亿 数据中找出 k 大的数据（内存不够的情境，磁盘足够大）

  • 方法一：在内存中新建一个 k 的 <font color=#159957> 小顶锥 </font>，如果插入的元素比锥顶大，则把锥顶的元素扔掉，然后重新调整使其变成小顶锥，重复该过程，最后剩下的 k 个元素就是最大的。

同理，当找出 k 个最小数字的话，意味着剩下的这 k 个数组元素为最小的，这就要确保每次排序要把大的都扔掉，因此要新建大顶堆。

  • 方法二：采用分治法，划分为若干个小文件（通常利用 hash（x）%M，m 是划分的大小，来进行划分），每个文件依次找出前 k 大个，然后放在一起再找出 k 大个。每次文件找出 k 大个，可以利用快速排序，每次 快速排序 分为两部分（一边是小的，一边是大的），如果大的部分长度大于 k，接着利用快速排序，直到大的部分小于 k（假设为 n）（说明这些肯定是这么多数中最大的），然后对剩下的部分进行快排，找出前（k-n）个最大的，然后在对剩下的进行快排，最后会发现递归到最后，只需要找到最大的那个数就行了。这种思想是分治思想，一直分下去。
  • 方法三：hash，采用 hash 主要是先去重，然后再利用分治或者是堆排序进行查找。

这个题目受限于内存不够情况，当足够大内存和多核情况，我们可以划分成一个个小任务单独执行，最后一个线程再合并。

（1）单机 + 单核 + 足够大内存

    如果需要查找 10 亿个查询次（每个占 8B）中出现频率最高的 10 个，考虑到每个查询词占 8B，则 10 亿个查询次所需的内存大约是 10^9 * 8B=8GB 内存。如果有这么大内存，直接在内存中对查询次进行排序，顺序遍历找出 10 个出现频率最大的即可。这种方法简单快速，使用。然后，也可以先用 HashMap 求出每个词出现的频率，然后求出频率最大的 10 个词。

（2）单机 + 多核 + 足够大内存

这时可以直接在内存总使用 Hash 方法将数据划分成 n 个 partition，每个 partition 交给一个线程处理，线程的处理逻辑同（1）类似，最后一个线程将结果归并。该方法存在一个瓶颈会明显影响效率，即数据倾斜。每个线程的处理速度可能不同，快的线程需要等待慢的线程，最终的处理速度取决于慢的线程。而针对此问题，解决的方法是，将数据划分成 c×n 个 partition（c>1），每个线程处理完当前 partition 后主动取下一个 partition 继续处理，知道所有数据处理完毕，最后由一个线程进行归并。

（3）单机 + 单核 + 受限内存

    这种情况下，需要将原数据文件切割成一个一个小文件，如次啊用 hash(x)%M，将原文件中的数据切割成 M 小文件，如果小文件仍大于内存大小，继续采用 Hash 的方法对数据文件进行分割，知道每个小文件小于内存大小，这样每个文件可放到内存中处理。采用（1）的方法依次处理每个小文件。

（4）多机 + 受限内存

    这种情况，为了合理利用多台机器的资源，可将数据分发到多台机器上，每台机器采用（3）中的策略解决本地的数据。可采用 hash+socket 方法进行数据分发。

对于这类问题，更好解决方案是使用 MapReduce 处理任务。

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