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读书笔记概率论与数理统计中

作者:LogM

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文章中的数学公式若无法正确显示,请参见:正确显示数学公式的小技巧

本文为概率论与数理统计的笔记。


8. 第八周

  • 8.1 期望

    • 离散型:$E(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} x_k p_k$
    • 连续型:$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$
    • 若 $Y = g(X)$,则:

      • 离散型:$E(Y) = E(g(X)) = \sum_{k=1}^{+\infty} g(x_k)p_k$
      • 连续型:$E(Y) = E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x_k)p_k$
    • 若 $Z = h(X,Y)$,则

      • 二元离散型:$E(Z) = E(h(X,Y)) = \sum_{k=1}^{+\infty} h(x_i,y_j)p(x_i,y_j)$
      • 二元连续型:$E(Z) = E(h(X,Y)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} h(x,y)f(x,y)dxdy$
    • 性质:

      • $E(cX) = cE(X)$,$c$ 为常数
      • $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
      • $E(XY) = E(X)E(Y)$,当 $X$ 与 $Y$ 相互独立
  • 8.2 方差

    • 方差:$D(X) = Var(X) = E\{[X-E(X)]^2\}$
    • 标准差(均方差):$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
    • 离散型:$D(X) = \sum_{i=1}^{+\infty} [x_i – E(X)]^2 p_i$
    • 连续型:$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x-E(x)]^2 f(x)dx$
    • 性质:

      • $D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2$
      • $D(cX) = c^2D(X)$,$c$ 为常数
      • $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
      • $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$,当 $X$ 与 $Y$ 相互独立

9. 第九周

  • 9.1 协方差

    • $Cov(X,Y) = E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} = E(XY)-E(X)E(Y)$
    • 正相关:$Cov(X,Y)>0$;负相关:$Cov(X,Y)<0$;不相关:$Cov(X,Y)=0$
    • 性质:

      • $Cov(X,X) = D(X)$
      • $Cov(aX,bY) = ab \cdot Cov(X,Y)$
      • $Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)$
  • 9.2 相关系数

    • $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} \in [-1,1]$,没有量纲 $
    • $X$ 与 $Y$ 独立,则它们肯定不相关;但不相关不一定是相互独立
    • 不相关指的是线性关系上不相关;相互独立指的是一般关系上的独立

    • 正态分布是特例,两个正态分布的不相关就代表它们相互独立
  • 9.3 矩

    • $k$ 阶原点矩:$E(X^k)$
    • $k$ 阶中心矩:$E\{[X-E(X)]^k\}$
    • $k+l$ 阶混合原点矩:$E(X^k Y^l)$
    • $k+l$ 阶混合中心矩:$E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}$
  • 9.4 协方差矩阵
  • 9.5 $n$ 元正态随机变量

    • 性质:

      • 它的每一个分量,每一个子向量都服从正态分布
      • 充要条件:各分量任意线性组合后仍服从正态分布
      • 经过线性变换后依然满足正态分布

10. 第十周

  • 10.1 切比雪夫不等式
  • 10.2 大数定律
  • 10.3 中心极限定理

    • 由大量的相互独立的随机变量综合而成的分布近似服从正态分布

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