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单位换算竟然这么简单快学学换算系数吧

无所不在的单位

从小学开始,我们就一直接触到计量单位。从最开始基础的 时分秒 ,到后来 速度的单位,我们似乎还在掌控之中。

但是到了中学,计量单位就开始变得多了起来。各种物理公式混杂在一起,让人 手忙脚乱

这里,我们来梳理一下常见的实用单位分析的方法,把我们从单位转换和公式中解救出来!

单位换算

小学版本

小学的时候的单位换算主要就是 乘法和除法并用 。比如说时间单位:
$$1\text{min} = 60\text{s}$$
我们要算 $\text{min}$ 和算 $\text{s}$ 的时候是不一样的。

▼▼▼

例 1: 转换为秒:$53\mathrm{min}$

解 1: $53\times 60 = 3180(\text{s})$

例 2: 转换为分钟:$3180\mathrm{s}$

解 2: $3180\div 60 = 53(\text{min})$

▲▲▲

但是这种方法还要再思考 到底要用乘法还是除法 ,非常的麻烦,还 容易出错

如果要算的步骤多了,特别容易把自己搞晕:

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例 3: 转换为天:$30\mathrm{s}$

解 3:

$30\div 60 = 0.5(\text{min})$

$0.5\div 60 \approx 0.00833(\text{h})$

$0.00833\div 24 \approx 0.000347(\text{day})$

▲▲▲

这简直太容易出错了!而且小数一步一步地算最后的 答案还不精确

换算系数(conversion factor)则能够完美地解决这一问题。

中学版本

换算系数

换算系数的优雅之处就在于,他利用了数学上“任何数乘以 1 都得原数 ”的性质,将要转换的两个单位写成了分数的形式。拿时间来说,我们左右两边同时除以左边的数:
$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{1\mathrm{min}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$
$$1 = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$
同理,左右同时除以右边的数:
$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{60\mathrm{s}}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = 1$$
所以我们就有了时间的换算系数:
$$\boxed{\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 1}$$
其实就是把等式左右两边堆成一个 等于 1 的分数

换算系数的使用

在转换单位的时候,记住这三点:

  1. 计算全程带单位
  2. 把单位当成未知数运算
  3. 选择能够约分的转换系数:分别在分子分母对角线的单位可以约分

还是同样的题,思考时间大大减少:

▼▼▼

例 4: 转换为秒:$53\mathrm{min}$

解 4:

$$
\begin{aligned}
53\mathrm{min} &= \frac{53\mathrm{min}}{1} \times 1 \\\\
&= \frac{53\mathrm{min}}{1} \times \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} \\\\
&= 53 \times 60 \mathrm{s} \\\\
&= 3180 \mathrm{s}
\end{aligned}
$$

熟练之后,一行就能搞定了:
$$53\text{min} \times \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 3180\text{s}$$

▲▲▲

在分子和分母上的 $\text{min}$ 成功被约掉了!

这看起来更复杂了,但事实上只是把 有用的信息 写出来了,在更加复杂的场景中给每个 数字赋予了意义。我们实践一下更复杂的题目:

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例 5: 转换为天:$30\mathrm{s}$

解 5:

$$
\frac{30\mathrm{s}}{1} \times
\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} \times
\frac{1\mathrm{h}}{60\mathrm{min}} \times
\frac{1\mathrm{day}}{24\mathrm{h}} \approx
0.000347\text{day}
$$

▲▲▲

一行就得答案 不用管乘除法 ,而且 只用输一次计算器

还有更难的复合单位,也不在话下:

▼▼▼

例 6: 转换为 $\text{m/s}$:$1\text{km/h}$

解 6: 一步一步来,先转换长度单位,让 $\text{km}$ 在对角线:

$$
\frac{1\text{km}}{1\text{h}} \times
\frac{1000\text{m}}{1\text{km}}…
$$

再转换时间单位,让 $\text{h}$ 和 $\text{min}$ 在对角线:

$$
…\times
\frac{1\text{h}}{60\text{min}} \times
\frac{1\text{min}}{60\text{s}}
$$

我们得到:

$$
\frac{1\text{km}}{1\text{h}} \times
\frac{1000\text{m}}{1\text{km}} \times
\frac{1\text{h}}{60\text{min}} \times
\frac{1\text{min}}{60\text{s}} \approx
0.28\text{m/s}
$$

▲▲▲

遇到奇奇怪怪的题也不会一时语塞了:

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例 7: 已知 $2\alpha = 3\beta,15\beta = 7\gamma$,求 $37\alpha = ?\gamma$

解 7:

$$
\frac{37\alpha}{1} \times
\frac{3\beta}{2\alpha} \times
\frac{7\gamma}{15\beta} =
25.9\gamma
$$

▲▲▲

再也不用担心用错乘除法了!

总结一下:转换系数

已知一个单位转换 $a=b$,我们就可以把它写成转换系数
$$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{b}{a} = 1}$$
再根据已知条件,遵守以下原则,就可以顺利转换单位了!

  1. 计算全程带单位
  2. 把单位当成未知数运算
  3. 选择能够约分的转换系数:分别在分子分母对角线的单位可以约分

妈妈再也不用担心我的单位转换啦!

附录

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图文 | 林腾睿 UW’23

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