统计学

这一篇探讨统计学中，对于样本以及它的统计量的相干个性，重点是样本的均值和方差的相干问题。 统计量的期望值假如咱们有一个随机变量 \( X \)，合乎某种概率分布，整体的数学期望值和方差为： $$E(X) = \mu \\D(X) = \sigma^2$$ 然而整体的期望值和方差通常都是未知的，所以咱们采取抽样的形式，用样本的 统计量 来预计它们，这合乎咱们的直觉； 例如咱们有一个随机变量 \( X \) 的散布，咱们把它以一个图的模式展示： 它的整体期望值位于图中的红点，当然这个红点在哪里咱们实际上不晓得，但它是客观存在的，它的计算公式为： $$\mu = {1 \over N}\sum X_i$$ \( N \) 为原始数据的总量，通常 \( N \) 十分大（以至于无穷大），所以咱们不可能计算下面的式子，所以说咱们并不知道红点理论在哪里； 因而咱们用 采样 的办法，每次只取出无限的 \( n \) 个值作为样本，即图中的一个个圆圈；计算这批样本的均值，即为每个圆圈中的绿色点，它的计算公式为： $$\overline{X} = {1 \over n} \sum {X_i}$$ 当咱们进行无数次这样的采样试验（画圈），失去无数个绿点，那么这些绿点的平均值等于原始数据的期望值，也就是红点； 也就是说有如下结论：样本均值的期望值，等于原始散布的期望值，即： $$E(\overline{X}) = E(X) =\mu$$ 下面写了这么多，如同在说一件直观上很不言而喻的事件；然而这是数学，即便它仿佛是不言而喻的，咱们最好还是从数学上证实： $$\begin{align}E(\overline{X})&=E({1 \over n}\sum {X_i})\\& ={1 \over n}E(\sum {X_i})\\& ={1 \over n}[E(X_1)+...+E(X_n)]\\& ={1 \over n}(n\mu) =\mu\end{align}$$ ...