关于数学:latex-相比-markdown-更适合数学类笔记

前言在学习过程中记笔记的形式因人而异,就载体而言,有实体纸张和电子文档两类。我在整顿领域论方面笔记时,两种都有尝试,思考过程中的写写画画天然是纸张最好,在正式整顿上,电子文档相比厚厚的纸张,劣势不言自明。markdown 在个别的电子文档格局中体验是最好的,用途也最宽泛:写博客、软件文档、需要文档......笔者应用过的编辑器次要有: TypraObsidianVSCodeVim 及其变种 LunarVim这些编辑器很弱小,但有一个不好的点:容易让人陷入配置旋涡。笔者面对浩如烟海的配置抉择,会很好奇,巴不得每种配置都试一遍,明天感觉这个配置好,今天发现那个主题也不错,这对于写作自身来说是无害的,会让人分心,我想这也是极简文化衰亡的某种因素吧?!(如同偏离了主题)言归正传,笔者在记数学类笔记时,发现了 markdown 格局的诸多不便: 阐述格局反对差。数学中有定义、推论、定理、引理、证实等不同的阐述环境,这些阐述应用的字体,字号等都有差别(局部起因是从好看上思考)。在 markdown 中,我没找到不便的插件。业余图形表白缺失。数学阐述中,图形化表白的重要性不言自明。就拿替换图来说,markdown 很难间接做出这种图:3.不反对排版模版导入。学术论文、杂志、书籍都须要各式各样的排版,markdown 显然不反对。所以,我投入了 latex 的怀抱! Latex 编辑形式latex 文档编辑次要有云端和本地两种形式。云端举荐 overleaf 这个网站,不仅模版多多,还对接各种学术杂志,搞科研大杀器!毛病是只能导出为 pdf 格局,且编译工夫有限度,如果文本量过大,须要开会员缩短编译工夫。自己有 html 输入格局的需要,所以抉择了本地化。 Mac 装置 Latex装置没啥好说的,去 MacTex 官网下载软件即可。 VSCode 相干插件配置我装置了几个广泛应用的插件 LaTeX Workshop 代码补全性能latexindent 代码格式化这里须要对插件进行配置,我的配置如下: { // "latex.linter.enabled": false, "latex-workshop.latex.autoBuild.run": "never", "latex-workshop.showContextMenu": true, "latex-workshop.intellisense.package.enabled": true, "latex-workshop.message.error.show": false, "latex-workshop.message.warning.show": false, "latex-workshop.latex.tools": [ { "name": "xelatex", "command": "xelatex", "args": [ "-synctex=1", "-interaction=nonstopmode", "-file-line-error", "%DOCFILE%" ] }, { "name": "pdflatex", "command": "pdflatex", "args": [ "-synctex=1", "-interaction=nonstopmode", "-file-line-error", "%DOCFILE%" ] }, { "name": "latexmk", "command": "latexmk", "args": [ "-synctex=1", "-interaction=nonstopmode", "-file-line-error", "-pdf", "-outdir=%OUTDIR%", "%DOCFILE%" ] }, { "name": "bibtex", "command": "bibtex", "args": [ "%DOCFILE%" ] } ], "latex-workshop.latex.recipes": [ { "name": "XeLaTeX", "tools": [ "xelatex" ] }, { "name": "PDFLaTeX", "tools": [ "pdflatex" ] }, { "name": "BibTeX", "tools": [ "bibtex" ] }, { "name": "LaTeXmk", "tools": [ "latexmk" ] }, { "name": "xelatex -> bibtex -> xelatex*2", "tools": [ "xelatex", "bibtex", "xelatex", "xelatex" ] }, { "name": "pdflatex -> bibtex -> pdflatex*2", "tools": [ "pdflatex", "bibtex", "pdflatex", "pdflatex" ] }, ], "latex-workshop.latex.clean.fileTypes": [ "*.aux", "*.bbl", "*.blg", "*.idx", "*.ind", "*.lof", "*.lot", "*.out", "*.toc", "*.acn", "*.acr", "*.alg", "*.glg", "*.glo", "*.gls", "*.ist", "*.fls", "*.log", "*.fdb_latexmk" ], "latex-workshop.latex.autoClean.run": "onFailed", "latex-workshop.latex.recipe.default": "lastUsed", "latex-workshop.view.pdf.internal.synctex.keybinding": "double-click", "editor.unicodeHighlight.allowedLocales": { "zh-hans": true, "zh-hant": true }, "latex-workshop.latexindent.path": "/Library/TeX/texbin/latexindent",}这里须要留神的是,编译中文文档,要应用 xelatex 这个编译器。 ...

February 17, 2024 · 1 min · jiezi

关于数学:如何在-Matlab-中生成正态分布的整数矩阵

<article class=“article fmt article-content”><p>生成正态分布的整数矩阵在 Matlab 中能够通过几种办法实现。</p><h3>办法介绍</h3><p>在 Matlab 中,正态分布通常通过 <code>normrnd</code> 或 <code>randn</code> 函数生成,随后能够通过四舍五入或其余办法转换成整数。这里,咱们将重点介绍几种办法来生成满足特定正态分布参数的整数矩阵。</p><h4>应用 <code>randn</code> 函数</h4><p><code>randn</code> 函数生成均值为 0,标准差为 1 的正态分布随机数。要生成满足其余均值和标准差的正态分布,能够依照以下步骤操作:</p><ol><li>生成规范正态分布随机数。</li><li>将随机数缩放到冀望的标准差。</li><li>将随机数平移到冀望的均值。</li><li>对生成的浮点数进行四舍五入,以取得整数。</li></ol><h4>示例代码</h4><pre><code class=“matlab”>% 定义矩阵大小、均值和标准差nRows = 5; % 行数nCols = 4; % 列数mu = 10; % 均值sigma = 5; % 标准差% 生成正态分布的整数矩阵randMatrix = randn(nRows, nCols) * sigma + mu;intMatrix = round(randMatrix);</code></pre><p>在这段代码中,<code>randn(nRows, nCols)</code> 生成一个 <code>nRows</code> 行 <code>nCols</code> 列的规范正态分布矩阵,<code>* sigma</code> 调整标准差,<code>+ mu</code> 调整均值,最初 <code>round</code> 函数将浮点数四舍五入到最靠近的整数,失去所需的整数矩阵。</p><h4>应用 <code>normrnd</code> 函数</h4><p><code>normrnd</code> 函数容许间接指定均值和标准差来生成正态分布的随机数。这使得生成具备特定均值和标准差的正态分布矩阵更为间接。</p><h4>示例代码</h4><pre><code class=“matlab”>% 定义矩阵大小、均值和标准差nRows = 5;nCols = 4;mu = 10;sigma = 5;% 生成正态分布的整数矩阵randMatrix = normrnd(mu, sigma, nRows, nCols);intMatrix = round(randMatrix);</code></pre><p>这段代码利用 <code>normrnd</code> 函数间接生成了一个满足指定均值 <code>mu</code> 和标准差 <code>sigma</code> 的矩阵,而后应用 <code>round</code> 函数将其转换为整数矩阵。</p><h3>调整办法</h3><p>为了确保生成的整数矩阵尽可能贴近冀望的正态分布,能够思考以下几点:</p><ul><li><strong>评估四舍五入的影响</strong>:四舍五入可能会导致最终整数矩阵的统计个性与原始浮点数矩阵略有不同。可通过比拟四舍五入前后矩阵的均值和标准差来评估这种影响。</li><li><strong>代替四舍五入办法</strong>:除了四舍五入,还能够思考应用 <code>floor</code>、<code>ceil</code> 或 <code>fix</code> 函数来进行整数转换,这些办法在某些状况下可能更适宜特定的利用需要。</li><li><strong>后处理</strong>:在某些状况下,可能须要对生成的整数矩阵进行后处理,比方调整某些特定元素的值,以更好地满足利用需要或统计个性。</li></ul><h3>结语</h3><p>在 Matlab 中生成正态分布的整数矩阵波及到对浮点数矩阵的生成、调整和转换。通过 <code>randn</code> 或 <code>normrnd</code> 函数配合适当的数学操作,能够灵便地生成满足特定统计个性的整数矩阵。重要的是要了解各种办法的原理和差别,以便依据具体需要抉择最合适的办法。</p></article> ...

February 12, 2024 · 1 min · jiezi

关于数学:什么是正态分布

<article class=“article fmt article-content”><p>正态分布,又称为高斯分布,是概率论与统计学中最重要的散布之一。它在自然界、社会科学以及工程畛域中都有宽泛的利用。正态分布的形态呈钟型曲线,两侧尾部逐步衰减,呈对称性。在正态分布中,均值、中位数和众数是相等的,而且它们位于曲线的核心。</p><p>正态分布的概率密度函数能够示意为:</p><p><code>f(x) = (1 / ( * √(2))) * exp(-((x - )^2 / (2 * ^2)))</code></p><p>其中,<code></code> 是散布的均值,<code></code> 是标准差,<code></code> 是圆周率,<code>exp</code> 是天然指数函数。这个函数形容了随机变量落在某个区间内的概率。</p><p>一个典型的例子是人类的身高。假如某国的成年男性的身高近似正态分布,均值为175厘米,标准差为5厘米。这意味着大多数人的身高会靠近于均值,而离均值越远的身高呈现的概率越低。</p><p>当初,让咱们通过计算来理解一下这个散布。假如咱们想晓得身高在165厘米到185厘米之间的人的比例。咱们能够应用正态分布的性质来估算这个比例。首先,咱们计算出在这个区间内的标准化得分:</p><p>对于165厘米:</p><p><code>z = (165 - 175) / 5 = -2</code></p><p>对于185厘米:</p><p><code>z = (185 - 175) / 5 = 2</code></p><p>接下来,咱们查找规范正态分布表,找到标准化得分为-2和2的概率别离是0.0228和0.9772。而后,咱们计算在这个区间内的总概率:</p><p><code>P(165 < x < 185) = P(z < 2) - P(z < -2) = 0.9772 - 0.0228 ≈ 0.9544</code></p><p>因而,约有95.44%的成年男性身高在165厘米到185厘米之间。</p><p>除了身高,正态分布在金融、天气、生物学等畛域也有宽泛的利用。例如,股票价格的日收益率通常被假如为正态分布,气温的变动也能够用正态分布来模仿。正态分布的重要性不仅在于它的数学性质,还在于它可能形容自然界中许多景象的散布法则。</p></article>

February 12, 2024 · 1 min · jiezi

关于数学:21根灵感棒的组合分析

1、准备常识 如上图所示依据灵感棒的长短对灵感棒进行编号。 盒中共有3层,每层有3个仓位,一共有9个仓位。如果一个仓位满了,咱们称为满仓位;如果一个仓位不满(大概残余一个圆柱的直径),咱们称为半仓位。咱们称1、2和3号位为长棒,残余为短棒。9个仓位中至多有一根长棒。Remark: 半仓位+半仓位≠满仓位。半仓位并不是残余一半仓位的意思,而是大概残余一个圆柱的直径那个长的间隔。 2、次要内容固定搭配3根1号位有2种搭配。1号位+6号位=半仓位、1号位+7号位+8号位=满仓位。因为7号位只有一根,所以至多会有2根1号位别离和两根6号位组合,因而盒中至多会有两个半仓位。4根2号位有3种搭配。2号位+4号位=满仓位、2号位+5号位=半仓位、2号位+8号位×2=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。因为4号位只会和2号位搭配,所以至多有2根2号位别离和2根4号位搭配。4根3号位只有1种搭配。3号位+3号位=满仓位。4根3号位占据两个满仓位,那么3根1号位、4根2号位再加上占据两个满仓位的3号位刚好为9个仓位(3+4+2)。2根4号位只有1种搭配。2号位+4号位=满仓位。2根5号位有1种搭配或用于填充3个半仓位。2号位+5号位=半仓位。用于填充半仓位时有两种形式:竖着或横着,因为5号位的长度大概等于3个圆柱的直径,因而刚好能够竖在或横在盒子里。3根6号位有2种搭配。1号位+6号位=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。依据上诉剖析,肯定会有两根6号位别离和2根1号位组合,所以只剩下1根6号位可自在搭配。1根7号位有1种搭配或用于填充2个半仓位。1号位+7号位+8号位=满仓位。用于填充半仓位时有两种形式:竖着或横着,因为7号位的长度大概等于2个圆柱的直径,因而能够竖在或横在盒子里(不是刚好,因而会留下一个半仓位的空间)。2根8号位有3种搭配或用于填充3个半仓位。1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位、2号位+8号位×2=半仓位。用于填充半仓位时2根8号位必须是搭配着,且有两种形式:竖着或横着,因为2根8号位的长度大概等于3个圆柱的直径,因而刚好能够竖在或横在盒子里,所以如果8号位去填充仓位时,必须两根都用上。因而能够看作:8号位+8号位=5号位。组合分析根据上诉剖析,咱们能够整顿出一些没法自在搭配的组合: (1号位+6号位)×2=半仓位×2。有4根3号位共占据2个满仓位。(2号位+4号位)×2=满仓位×2。有2根2号位共占据2个满仓位。(3号位+3号位)×2=满仓位×2。有4根3号位共占据2个满仓位。则残余的灵感棒:1号位×1、2号位×2、5号位×2、6号位×1、7号位×1、8号位×2。残余的仓位:空仓位×3、半仓位×2。 接下来的问题就是如何应用残余的灵感棒填充残余的仓位了。因为可填充仓位的只有5号位、7号位和8号位,其中5号位和8号位可填充3个半仓位,7号位可填充2个半仓位。因为只残余3个空仓位,即便全副变为半仓位,半仓位的数量最多就5个,因为可填充2个半仓位的7号位只有1根,所以半仓位的数量不可能为4个。综上所述半仓位的数量只能为3个或5个。 状况1:半仓位为3个 残余的3个空仓位调配为:2个满仓位和1个半仓位,则残余的仓位安顿为:满仓位×2、半仓位×3。依据残余的1个半仓位的安顿状况可分为如下几种状况: 如果残余的1个半仓位由1号位提供,可搭配的组合为:1号位+6号位=半仓位,则残余的7号位没有可搭配的组合。不可行!如果残余的1个半仓位由2号位提供,可搭配的组合为:2号位+5号位=半仓位,残余的灵感棒:1号位×1、2号位×1、5号位×1、6号位×1、7号位×1、8号位×2。3个半仓位填充计划有2个, 1. 由1根5号位填充。残余的灵感棒:1号位×1、2号位×1、6号位×1、7号位×1、8号位×2。两个满仓位的搭配计划:1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。可行!2. 由2根8号位填充。残余的灵感棒:1号位×1、2号位×1、5号位×1、6号位×1、7号位×1。此时不满足半仓位为3个的条件。不可行!状况2:半仓位为5个 残余的3个空仓位调配为:3个半仓位,则残余的仓位安顿为:半仓位×5。此时1个1号位和2个2号位都提供半仓位,所以1号位的搭配就能够固定下来:1号位+6号位=半仓位。残余的灵感棒:2号位×2、5号位×2、7号位×1、8号位×2。2号位的半仓位提供状况可分为以下2种: 2号位+5号位=半仓位。残余的灵感棒:7号位×1、8号位×2。1个7号位和2个8号位刚好填充5个半仓位。可行!2号位+8号位×2=半仓位和2号位+5号位=半仓位。残余的灵感棒:5号位×1、7号位×1。1个5号位和1个7号位刚好填充5个半仓位。可行!3、总结综上所述搭配计划共有如下几种: (1号位+6号位)×2=半仓位×2、(2号位+4号位)×2=满仓位×2、(3号位+3号位)×2=满仓位×2、1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位、2号位+5号位=半仓位,残余3个半仓位由5号位填充。组合形式:\( C_6^1C_3^1C_6^2C_4^2C_2^1=3240 \)种。(1号位+6号位)×3=半仓位×2、(2号位+4号位)×2=满仓位×2、(3号位+3号位)×2=满仓位×2、(2号位+5号位)×3=半仓位×3,残余5个半仓位由1个7号位和2个8号位填充。组合形式:\( C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。(1号位+6号位)×3=半仓位×3、(2号位+4号位)×2=满仓位×2、(3号位+3号位)×2=满仓位×2、2号位+8号位×2=半仓位、2号位+5号位=半仓位,残余5个半仓位由1个5号位和1个7号位填充。组合形式:\( C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。总计共有6600种排列形式。

April 6, 2023 · 1 min · jiezi

关于数学:堆叠体体积求值的范围问题已知堆叠体三视图求该堆叠体体积的最大值和最小值

题目:求这个重叠体的体积最大值和最小值。 理论依据依然是应用俯视图标注法,即笔者这篇文章介绍的具体步骤: https://zhuanlan.zhihu.com/p/... 注:可能正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图(主视图,俯视图,左视图三个根本视图)为三视图,这是工程界一种对物体几何形态约定俗成的形象表达方式。 之所以有最大值和最小值,阐明俯视图有些地位的立方体个数无奈惟一确定。 从数字1 开始冲破: 右边:横着看过来都是1上面:竖着看过来都是1 (1) 第三列肯定可能确定,标 1, 如下图黄色所示。因为如果标2,就会与主视图里的 1 矛盾了,故只能标1. 浅绿色的3,代表从左往右看看到3的高度,阐明粉红色两个地位肯定有一个地位为3. 第一个粉红色地位能够确定为3,因为如果第二个粉红色地位为3,就会和主视图中第二列的2矛盾。 红色区域如果填3,就会和左视图第二列的2相矛盾。 所以最初可能确认的三个地位如黄色区域所示: 体积最大:空行不能轻易填,尽可能多,然而不能超过行和列的限度。 答案见下图红色: 体积最小:上图灰色是谬误的。因为和主视图和左视图矛盾了。 故能确定出绿色区域为2,其余区域填1即可做到体积最小。 解题步骤总结把可能惟一确定的先标注进去体积最大:让其余地位尽可能多,但不能违反其余两种视图的束缚体积最小:行列雷同数穿插地位一次性满足

February 18, 2023 · 1 min · jiezi

关于数学:张益唐111页论文攻克朗道西格尔零点猜想

一、前言10月15日的一个下午,我正在拜读张益唐的《Bounded Gaps Between Primes》论文,后面正看的出神的时候,忽然传来了一个重磅的音讯,张益唐已证实朗道-西格尔零点猜测,过后各大自媒体新闻间接炸了,光是素数的有界间距证实了存在无穷组间距小于七千万的相邻素数对就足以流芳百世了,当初又间接攻克朗道-西格尔零点猜测,间接颠覆了我的认知,黎曼猜测被列为世界七大数学难题之一,一百多年前前后后有数的数学家在这条路线前仆后继。张益唐攻克朗道-西格尔零点猜测,这可能影响整个数学界将来数论的走向,为啥怎么说呢?因为朗道-西格尔零点猜测是狭义黎曼猜测的反例,要是这样,整个数学界间接炸了,因为很多公式都是基于黎曼猜测成立的条件下推导进去的公式。 上面老周就来说道说道朗道-西格尔零点猜测,以及朗道-西格尔零点猜测与黎曼猜测、狭义黎曼猜测的关系。 二、黎曼猜测咱们先来说下黎曼猜测 黎曼猜测(Riemann hypothesis,RH)由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又驰名的未解决的问题,有“猜测界皇冠”之称,多年来它吸引了许多杰出的数学家为之搜索枯肠。其猜测为:刚开始看会有一点点吃力,没事,咱们从最根底的开始,听我娓娓道来。 咱们先来说下咱们小学的时候所学的素数,这个应该没人不晓得吧?素数是只能被1和它本身整除的大于1的自然数。那为什么要先说素数呢?因为黎曼猜测与朗道-西格尔零点猜测都与素数的钻研无关。两千多年前,欧几里得用反证法证实了素数是有限多的。两千多年后的欧拉钻研的无穷序列求和: 数学公式编辑器不太好打进去,我这边间接手画了。 大学高数的时候,咱们学过这个无穷序列求和函数,被称为s的函数,起初被称为函数。 咱们晓得,s>1的时候,该级数是收敛的;s=1的时候,该级数是发散的调和级数。 欧拉间接利用调和级数发散的性质,证实了素数倒数和也是发散的,这就间接证实了"素数有限多个",因为无限的序列之和不可能发散,再利用级数与素数的关系推广成欧拉乘积公式。 而黎曼呢,是针对s进行了解析延拓,原来欧拉s只是正整数,当初黎曼对于s解析延拓到复立体内。 目前,借助计算机弱小的算力,曾经验证了超过了200亿个非平庸零点的实数局部都是1/2,也就是说都在1/2的这条线上。 三、狭义黎曼猜测说狭义黎曼猜测之前呢,咱们先来说下L函数,十九世纪的数学家为了钻研素数散布引入了黎曼猜测,而为了钻研等差数列上的素数散布,数学家 Dirichlet 引入了L函数。 X(n) 狄利克雷特色有下列性质: 存在正整数k,使得对于任意n都有X(n)=X(n+k)。对于任意m、n,X(m+n)=X(m)X(n)。X(1)=1黎曼函数是狄利克雷L函数的特例,所以狄利克雷L函数叫做狭义黎曼猜测。 四、朗道-西格尔零点朗道-西格尔零点被称为黎曼猜测的反例,西格尔和导师朗道对L函数进行了深刻的钻研,发现满足非凡性质时L函数可能出现异常零点,异样零点是说,这种零点不位于实部1/2直线上,而是在十分凑近1的中央,这种零点被称为朗道-西格尔零点。不过,它们证实了这样的零点最多只有一个。 如果朗道-西格尔零点真存在,那么狭义黎曼猜测就错了。 具体的证实如下:具体证实流程我就不一一截图进去了,感兴趣的小伙伴能够去我网盘里获取。 链接: https://pan.baidu.com/s/1-r-nbB02dmJOQfjUaNbPRw 提取码: 4xar 至于是否真正证实,论文预计要几个月审稿才会出最初的后果,让咱们刮目相待,一起见证历史吧!!!

November 8, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:举三反一一通百通的数学脑是怎样炼成的

“举三反一”的“一”其实是花样百出的题目背地所暗藏的基本概念和法则,以及正确的思维范式。把握基础知识和概念,理解正确的思考办法,咱们能力学会从题目中看出实质的货色。图灵新知站在伟人的肩上,传递新知科普好书。4篇原创内容公众号数学老师总说:“要学会触类旁通,做一道题要有做十道题的成果!”谁不想领有“一通百通”的好方法啊……可是,你会触类旁通吗?举起的“一”是什么?反进去的“三”又是什么呢?想学好数学,当然要见识肯定数量的题型。有人撸起袖子说:“好咧!我懂了,就是以量取胜呗!”然而,不少同学做完10道题也不得要领,等遇到第11道题时还是不会。所谓有效刷题,其实就是陷入了这种“举一反一”的怪圈,短暂上来,人八成是要累瘫的。“一题一解”切实太低效了,于是有人倡议大家搞“一题多解”:做一道题,反出三种思路——这就是触类旁通了吧?这的确是一种不错的学习办法……然而,有多少同学能做到呢?在碰到难题时,咱们能摸到一条路就不错了。而且,无论在精力还是在能力上,少数同学恐怕无奈长期进行触类旁通的钻研。——大家有没有想过,“一解多题”也是一种举一(办法)反三(题)呢?嗯,咱们兴许应该称之为“举三反一”。什么是“一通百通”?一通,其实是从根底登程,学习、了解最基本的概念和知识点;百通,就是能实现常识的迁徙、思路的多元化。“举三反一”的“一”其实是花样百出的题目背地所暗藏的基本概念和法则,以及正确的思维范式。把握基础知识和概念,理解正确的思考办法,咱们能力学会从题目中看出实质的货色。“一”的根基不牢,举步维艰“概念不清”的背地暗藏着很多起因。一些家长和老师只会怪罪孩子“没分心听讲”“没认真看书”,甚至会让孩子背诵概念一百遍……但问题也是没有解决。为什么呢?《“数学脑”探秘》这本书里讲述了一种常见的“概念不清”谬误。按情理,咱们学得越多,手里的数学工具越丰盛,面对问题时该当更有自信、更有方法才对啊,为什么有时却越学越大刀阔斧?越学越容易出错呢?其实,越学越多更容易犯下“停留性谬误”。知识点减少,尤其是呈现概念的扩张之后,同样的称说、同样的记号,其意义却不同了。不少同学经常跟不上步调,看到某个概念或记号,他们还认为是原来的意义,脑子还停留在原有状态。所以,这类问题可不是“背诵一百遍”就能解决得了的。事实上,这是数学学习中常有的景象,并不是大家忘性不好。咱们必须学会“更新”头脑里原有的了解。这“一通”须要大家调整心态,时刻揭示本人,要与时俱进地思考概念的实质。在数学学习中临时遇到困难,也要剖析出起因,只晓得焦急、埋怨,是解决不了问题的。“数学脑”不是天生的是锤炼进去的概念不清,根底不牢,就会越学越迷糊;而没有正确的思考法,要么只能凭运气乱打乱撞,要么就只能靠刷题,低效、疲乏地积攒题型和教训。《“数学脑”探秘》这本书的最大特点就是从思考法登程,先特意为读者点明“办法”,而后,反向介绍了一些典型例题:咱们须要“一通”的,不能只是一道题,而是一道题甚至几道题前面的实质。你在这本书里能看到很多老师上课提到过的办法:反证法、比较法、同一法、非凡值法、递推、迭代、化归、图形联合、因果关系、方程思维、整体思维、抽象思维、逻辑思维……或者,有些办法你学过却没学透,有些办法你甚至还没见过。这本书肯定会为你关上新的视角。让这些思考法将不再是一句空话。本书还联合数学学习自身的特点,向大家介绍了一些可操作的思维训练方法。“数学脑”不是天生的,是锤炼进去的。比方,你该如何在本人的大脑里建设起“反馈块”:一看到A,马上就能想到B。A和B能够是一道题、一个论断、一条定理、一种思路……在解决数学问题时,有些同学总能快速反应,关联知识点,发散思维。在旁人看来,他们就是“蠢才”啊。其实,这种能力有可能是被训练进去的。这种锤炼并不一定全靠刷题或死记硬背。实际上,这依附的是察看、剖析和总结:养成良好的思维习惯,有心去积攒一定量的反馈块,你也能调动这种反馈块。在打好根底之后,如果能将常识进行关联和迁徙,你对数学的认知也会进步一个档次。到时候,做出一两道题,只是天然的后果罢了。正如张景中院士在本书的举荐语中所写的:“数学科普书不可多得,但讲数学学法的书并不多,特地是会集并介绍很多优秀教师教训的书,更是百里挑一。讲如何解题的书也是铺天盖地,但教会大家从解题过程中领悟思维办法的书却很少。”《“数学脑”探秘》这本书就是心愿在中小学数学知识的根底上,为读者们关上一扇小窗,领略一些数学思维,理清一些概念,学会实用、常见的数学思考法,让大家在数学学习中,眼界更广大,思考更深刻。  举荐浏览陈永明 著

October 24, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:世纪难题相关问题被证明黎曼猜想的前后今生

黎曼假如就是数学界的“经度问题”。黎曼假如的解答能为人们摸索数字陆地中的神秘水域提供线索。它也仅仅是咱们摸索天然之数字的一个开始。网传数学家张益唐,曾经攻克了朗道-西格尔零点猜测(Landau-Siegel Zeros Conjecture)。而这则音讯,据说是张益唐在加入北京大学校友Zoom线上会议时亲口所述。如此爆料,堪称是在数学界轰动不已。微博博主“物理芝士数学酱”认为,如果张益唐所证实的是朗道-西格尔零点存在,那么黎曼猜测就能够死了:张益唐间接就是前后50年里最平凡的数学家,没有之一。并且依据这条爆料音讯来看,相干文章将会在11月初发到预印本网站,一百多页。想要了解被称为数学钻研的“珠峰”的世纪难题——黎曼猜测——的确是一件不容易的事,无妨先看看猜测背地的前世今生。起源丨量子位(金磊 Alex)一、黎曼猜测的提出1900 年 8 月的某个晚上,空气湿润闷热。在巴黎大学的一个拥挤的大厅里,第二届国内数学家大会正热火朝天地进行着。来自哥廷根大学的大卫·希尔伯特传授正在台上发表演讲。他是过后公认的最平凡的数学家之一,其演讲内容大胆、离奇。他要探讨的不是那些已被证实的问题,而是一些尚未解决的问题。这与人们长久以来所承受的传统观念南辕北辙。当他阐释对于数学将来的观点时,听众甚至能听出他声音中的局促不安。“咱们当中有谁不想揭开将来的面纱,摸索当今迷信的下一步倒退历程,以及在将来几百年的发展前景和神秘呢?”为了迎接新世纪的到来,希尔伯特给观众列出了23道难题。他置信这些问题将为 20世纪的人们在数学摸索之路上指明方向。随后的几十年间,人们见证了其中的多个问题得以解决,而发现问题答案的那群人组成了一个驰名的数学家团队,即“荣誉个人”。这个个人中包含库尔特·哥德尔、亨利·庞加莱,以及其余许多用思维扭转数学格局的人们。不过还有一个问题,也就是希尔伯特的第八问题,仿佛将会安好地度过这个世纪而无人折桂,这就是黎曼假如。在希尔伯特所设置的这些难题中,第八问题在他心中的位置非同一般。有一个德国神话和腓特烈一世无关,这位备受爱戴的德国国王死于第三次十字军东征期间。有风闻称他仍然活着,只是安睡于屈夫霍伊泽山脉,当德国人须要他的时候便会醒来。据说有人问过希尔伯特:“如果你能像腓特烈一世一样复活,那么 500 年后,你想要做什么?”他答道:“我会问‘有没有人证实了黎曼假如’。”在 20 世纪完结之际,面对希尔伯特难题中的顶尖挑战,大多数数学家还是大刀阔斧。然而,这可能不仅是本世纪无奈解决的问题,很可能即便 500 年后希尔伯特从沉睡中醒来,这个问题也不会有答案。他那场摸索未知领域的革命性演讲,在 20 世纪的第一次国内数学家大会上掀起了轩然大波。然而,对于那些打算加入 20 世纪的最初一次会议的数学家来说,还有一个惊喜期待着他们。二、黎曼猜测的首次破冰1997 年 4 月 7 日,数学家们的计算机屏幕上闪过一则不同寻常的新闻。国内数学家大会的官方网站发表,在明年将于柏林召开的会议上,大会将颁布一个重磅音讯:黎曼假如终于被证实了!黎曼假如是整个数学畛域的外围问题。浏览邮件的数学家们一想到行将揭开这一平凡数学神秘的神秘面纱,心田就激动不已。这一音讯来自恩里科·邦别里传授。没有人比德高望重的他更适宜公布这个音讯了。邦别里传授是黎曼假如的守护者之一,就任于驰名的普林斯顿低等研究院,爱因斯坦和哥德尔也曾在这里工作过。他谈话时轻声细语,然而数学家们总会认真凝听他要讲的每一个字。邦别里传授在意大利长大,家境优越,家族的葡萄酒庄造就了他鄙俗的生存品尝。他被共事亲切地称为“数学贵族”。年老时,他通常开着丑陋的跑车返回欧洲的会议现场,在会场上留下洒脱的身影。对于本人已经 6 次去意大利加入 24 小时拉力赛的传言,他也欣然接受。他在数学上的成就引人注目,在 20 世纪 70 年代当之无愧地收到了普林斯顿大学的邀请,尔后始终在那里任教。他将本人对赛车的激情转移到了绘画上,尤其是肖像画。数学可能吸引邦别里的起因在于,它是一门创造性的艺术。尤其是黎曼假如这种难题,激发了他挑战的欲望。15 岁那年第一次读到黎曼假如后,他便沉浸其中不可自拔。身为经济学家的父亲有一个书库,珍藏有大量的数学书。当浏览数学书时,他就被数字的性质吸引住了。他发现,黎曼假如是数论中最粗浅且最基本的问题。父亲承诺,如果能解决这个问题就为他买一辆法拉利,这令他激情大增。在他父亲看来,这是使他迷途知返的一种无奈之举。正如邦别里在邮件中所说的,他不再有机会博得法拉利了。他在邮件结尾写道:“上周三,阿兰·孔涅在普林斯顿低等研究院的讲座中提到,他对黎曼假如的钻研获得了冲破。”几年前,阿兰·孔涅将注意力转向了证实黎曼假如上,整个数学界为此欢欣鼓舞。孔涅是该学科的改革者之一。若邦别里是数学界的路易十六,那么孔涅就是罗伯斯庇尔。他魅力不凡,那火个别的格调与稳重板滞的数学家形象相去甚远。他能压服人们置信他的世界观,其演说也引人入胜。他的追随者都对他充斥了崇拜之情。他们都乐于退出孔涅的数学营垒,来保卫他们心中的英雄,并抵挡来自那些仍坚守传统立场的顽固派的反攻。孔涅供职于巴黎低等迷信研究所,相当于法国的普林斯顿低等研究院。他自 1979 年到那里之后,就创建了一种用于解析几何的新语言。他不怕该学科会变得极其抽象化。即便是那些素日里同高度概念化办法打交道的数学家,他们中的大多数也都拒绝接受孔涅提出的数学抽象化这一改革。然而,正如他向那些对这一实践持狐疑态度的人们所展现的那样,他所创建的新几何语言却为量子物理在事实世界寻得蛛丝马迹关上了大门。如果这引起了数学界的恐慌,那就顺其自然吧。孔涅大胆断言,他的新几何语言岂但能揭开量子物理世界的面纱,还能解释黎曼假如——这个对于数字的最大神秘。这令人们感到意外和震惊。他无惧打破常规,挣脱桎梏,敢于冒险,直捣数论外围,直面数学上最艰涩难懂的问题。自 20 世纪 90 年代中期孔涅进入该畛域后,坊间曾一度流传,如果有人能攻克这个家喻户晓的难题,那肯定非他莫属。然而发现这一简单拼图最初一块的那个人,仿佛并不是孔涅。邦别里接着讲到,观众中一位年老的物理学家“灵光一现”,发现利用他提出的“超对称费米 - 玻色零碎”能够破解黎曼假如之谜。数学家对这个时尚的混合名词知之甚少,不过邦别里解释说,这形容了“在对应靠近绝对零度时的物理世界,带有相同自旋的任意子和糊涂子 A 组合而成的零碎”。这听起来仍旧艰涩难懂,然而这毕竟是用于解决数学史上最难的问题的答案,就算再难也在人们的意料之中。据邦别里所说,通过六天披星戴月的工作,并借助一种叫作 MISPAR 的新计算机语言,年老的物理学家最终攻破了数学界的顶尖难题。邦别里在邮件结尾处写道:“哇!请给他最高的赞美吧!”黎曼假如最终由一位年老的物理学家来证实,这齐全出乎人们的预料。然而这一天的到来并没有给人们带来太大惊喜。过来的几十年里,人们曾经发现,许多数学问题其实与物理问题有着千头万绪的分割。人们曾经隐约感觉,作为数论的外围问题,黎曼假如兴许或多或少地波及粒子物理的问题,可能是以一种人们意想不到的形式。数学家们于是纷纷扭转本人的旅行打算,飞往普林斯顿来见证这一平凡时刻。1993 年 6 月,英国数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥大学演讲时,发表证实了费马大定理。这一音讯颁布后,全场沸腾。那令人激动万分的一幕,过后在场的人们仍历历在目。怀尔斯证实了费马是对的:方程 xn +yn =zn 在 n >2 时无解。当怀尔斯完结演讲放下粉笔的那一刻,在场的人们沸腾了。他们兴奋地开启香槟酒,庆贺这一时刻。记者们也纷纷拿起照相机,开始拍个不停。然而,数学家们晓得,相比于晓得费马方程无解,证实黎曼假如才真正关乎数学界的将来。正如邦别里在 15 岁那年发现的,证实黎曼假如旨在了解数学中最根本的对象——素数。三、悠扬的素数:二百年数学绝唱黎曼假如素数正是算术中的原子。素数就是不可分割的数字,无奈写成两个较小数字的乘积。数字 13 和 17 都是素数,不过 15 就不是,因为它可能写成 3和 5 的乘积。素数如同散落在整个广袤无垠宇宙中的珠宝,是能让数学家不惜花上几个世纪来摸索的数字。对数学家而言,2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, …,这些永恒的数字仿佛披上了神秘的外衣,它们独立于咱们的物理世界而存在。它们是大自然赐予数学家的礼物。素数对数学的重要性在于其结构所有其余数字的魔力。每个合数(非素数)都能够由几个素数相乘得出。这就如同在物理世界中,每个分子都能够由化学元素周期表中的原子形成,素数列表就是数学家心中的元素周期表。素数 2、3、5 是数学家在实验室里的氢、氦、锂。把握这些素数,数学家就能在盘根错节的数学摸索之路上乘风破浪、高低求索,开辟出一片新天地。只管素数简略而根底,但还是成为了让数学家手不释卷钻研的一个最为神秘的课题。素数给这个旨在发现法则和规定的学科带来了空前的挑战。浏览一组素数,你会发现,基本不可能预测下一个素数何时呈现。素数数列看起来无序而随机,对预测下一个素数也没有提供什么线索。素数数列是数学的心跳,但它是被弱小的咖啡因鸡尾酒所激发起来的脉搏跳动(见下图)。2 3 5 7 11 13 17 19 23 2931 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97小于 100 的素数:数学的无规律心电图你是否找到一个创立数列的公式,它有个神奇的法令,能通知你第100 个素数是什么?从古至今,这个问题便始终困扰着数学家们,成为其挥之不去的噩梦。只管两千多年过来了,素数仿佛还是对那些妄图将它们间接纳入公式的人们不屑一顾。一代代数学家们凝听着素数的鼓点,一开始他们听到两下敲击,接着是三下、五下、七下。随着鼓点持续敲击,节奏越来越没有外在逻辑,使人不得不置信这就是一片随机的白噪声。谋求规律性始终是数学这门学科的重中之重,而数学家在素数这里只能听到一片凌乱嘈杂之声。自然选择素数的形式仿佛毫无法则可循。数学家们则承受不了这一事实。如果不足数学法则,不足简洁之美,那就不值得钻研了。白噪声素来就无奈让人赏心悦目。法国数学家亨利·庞加莱在书中这样写道:“科学家并不是因为天然有用才去钻研它的,而是因为他们乐于钻研这个。驱使他们钻研的乐趣,就是天然之美。如果天然短少了美感,那就不值得钻研;如果天然不值得钻研,那么世间或者也不值得来一趟。”人们或者心愿,素数的脉搏在起初的凌乱之后能够逐步安稳下来。然而大失所望,随着计数的减少,事件仿佛变得越来越蹩脚。上面别离来看看小于和大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数。首先是小于10 000 000 的:9 999 901, 9 999 907, 9 999 929, 9 999 931, 9 999 937, 9 999 943,9 999 971, 9 999 973, 9 999 991大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数却比比皆是:10 000 019, 10 000 079很难设想什么样的公式能生出这种法则的数字来。实际上,相比于有序的数列法则,素数的队列更像是一种对数字的无序继承。如同晓得前 99 次抛硬币的后果,还是无奈让你失去第 100 次的后果一样,素数也是不可预测的。四、素数还是素数在数学界,素数被披上了一层最神秘莫测的外衣。其一,一个数字只有两种状况,要么是素数,要么不是素数。抛掷硬币也无奈决定一个数字是否被更小的数字整除。其二,没有人否定素数序列看起来就像一个随机抉择的数列。物理学家曾经认同了这一观点:量子的覆灭决定宇宙的命运,每次投掷随机抉择科学家所能找到的物质。数学上这么重要的数字,难道是由大自然掷骰子决定的?但如果承受这个事实,那就会让数学界陷入难堪的地步。随机和无序几乎是对数学家的咒骂。素数只管具备随机性,但相比其余任何数学文化遗产,它们更具持久性和普遍性。无论咱们有没有找到更高效的办法来辨识它们,素数就在那里。来自剑桥大学的数学家 G.H. 哈代在其著述《一个数学家的辩解》中写道:“317 是素数,不是因为咱们认为如此,或者咱们的感知形式是如此,而是因为它本就如此,因为数学世界就是如此构建的。”一些哲学家或者会反驳柏拉图的世界观,即置信有一个超过人类的相对而永恒的世界存在。然而在我看来,那正是使他们成为哲学家而非数学家的起因之所在。邦别里在邮件中特地提到的数学家阿兰·孔涅和神经生物学家让 - 皮埃尔·尚热,在 Conversations on Mind, Matter and Mathematics 一书中有一段火药味十足的精彩对话。数学家认为数学存在于意识之外,而神经学家果决地批驳了这种观点:“咱们为什么在地面看不到用金字书写的‘ =3.141 6’,或者在水晶球倒影处呈现的‘6.02×1023’呢?”孔涅则坚称:“独立于人类意识之外,存在着一个原生而永恒的数学世界。”在那个世界的核心,则存在着一组不变的素数。这给尚热一种深深的挫败感。孔涅还断言:“数学无疑是惟一的通用语言。”人们能够空想在另一个世界有不同的化学物质和生物。然而,不管在哪个星系,素数还是素数,始终如一。在卡尔·萨根的经典小说《接触》中,外星人通过素数和地球上的生命沟通。该书配角埃莉·阿洛维在搜查地外文化研究所任职,负责监听宇宙中的轻微声音。一天夜里,当射电望远镜对准织女星的波段时,他们突然在背景噪声中捕捉了一段奇怪的脉冲信号。埃莉马上从射频信号中辨认出了这个节奏。2 次脉冲之后是一个暂停,之后是 3 次、5 次、7 次、11 次,始终到 907 次,全部都是素数。之后又从新开始。这种宇宙之鼓演奏的乐章,是地球不能置若罔闻的。埃莉深信,只有智慧生命能力发明出这种节奏。“无奈设想一些辐射的等离子体,会发送像这样有法则的数字信号。应用素数正是为了引起咱们的留神。”她这样说道。外星文化发来的是过来十年间彩票中奖的数字吗?埃莉无奈从背景噪声中分辨进去。即便这一素数列表看起来像一串随机的彩票中奖号码,但因其普遍性和恒常性,外星人在播送中选取了这些数字。也正是这一结构特征,让埃莉意识到,这很可能是智慧生物收回的信号。应用素数交换并非科幻小说的专利。奥立弗·萨克斯在其著述《错把妻子当帽子》中记录了一个实在的故事。26 岁的双胞胎兄弟约翰和迈克尔,通过替换 6 位素数进行深度沟通。第一次发现他们在房间的角落里机密替换数字时,萨克斯这样写道:“乍一看,他们就像两个品酒专家,品味、赞美各自收藏的美酒。”一开始,萨克斯不懂这对双胞胎要干什么。然而破解了他们应用的明码后,他就记下一些 8 位素数,以便能出人意料地退出兄弟俩的下次谈话。当兄弟俩发现还有其余素数后,先是大吃一惊,接着陷入沉思,此后便悲痛欲绝。当萨克斯还在借助素数表查找素数时,这对双胞胎便开始生成素数了,但到底是怎么做到的,那就的确是个不堪设想的未解之谜了。是不是这些自闭症蠢才领有一些世代数学家缺失的微妙公式呢?这对双胞胎的故事是邦别里的最爱。听到这个故事时,我不得不诧异于且敬畏于他们疾速运行的大脑。但令我好奇的是,我的那些非数学家的敌人们,是否也会做出同样的反馈 ? 他们是否晓得,双胞胎兄弟领有的这种独特天才,是如许令人匪夷所思啊?他们是否晓得,数学家们殚精竭虑花了数个世纪,就是为了找到这样一种生成和测验素数的办法,而这种能力却是约翰和迈克尔与生俱来的?在所有人都困惑于这对双胞胎兄弟是如何做到这些时,他们的医生在他们 37 岁时将二人离开,理由是这对双胞胎沟通所应用的神秘明码会妨碍其倒退。如果这几位医生听到过大学数学系一般教室里的神秘对话,可能也会要求他们进行探讨吧。双胞胎兄弟很可能借助了基于费马小定理的办法来测验一个数是否为素数。这种测试方法相似于他们的另一个常常在电视节目中表演的技能:迅速判断出 1922 年 4 月 13 日是星期四。这两种办法都要执行时钟计算或者模运算这样的操作。即便他们没有一套对于素数的神奇公式,其能力也着实超乎常人。双胞胎被医生离开前曾经测验到了 28 位素数,远远超出了萨克斯的素数表的上限值。五、数学接力赛:实现黎曼的反动数个世纪以来,正如萨根书中的主人公监听宇宙中的素数鼓点,以及萨克斯偷听双胞胎交换素数一样,数学家们极力从素数的噪声中寻找法则。然而,他们的工作和指标总是背道而驰,所有仿佛都杯水车薪。起初,素数钻研终于在 19 世纪中叶获得了一项重大突破。伯恩哈德·黎曼开始用一种全新的视角对待这个问题。从新的角度登程,他逐步把握了素数呈现无序时所对应的某种法则。暗藏在素数外表的噪声之下的却是一种谐和之音,它不易觉察,却又出乎意料。只管向前迈进了一大步,新乐章之神秘却始终超出咱们听力之所及。黎曼,这个数学界的瓦格纳,是又一位壮士。他对本人所发现的这一神秘乐章进行了大胆的猜测。这一猜测也就是起初为人所熟知的“黎曼假如”。无论谁来证实黎曼对于这一神秘乐章实质所做的假如,都须要解释为何素数具备不言而喻的随机性。黎曼之所以能做出这一假如,得益于他注视素数所用的数学观察镜。踏入镜面世界的同时,爱丽丝进入了一个上下颠倒的世界。与之相比,在黎曼观察镜之外的奇怪数学世界,如同所有数学家所冀望的那样,无序的素数仿佛变得有法则可循。他猜想,无论人们注视到的观察镜之外的无垠世界有多远,都存在这一法则。他对镜子另一边所做的外在谐和的预测,就能解释为什么素数外表看起来是如此无序。这一变动来自黎曼的镜像世界,在那里混沌变为有序,这是个最令数学家们叹为观止的世界。黎曼留给数学界的难题,就是证实他凭直觉所感的法则客观存在。正如邦别里在 1997 年 4 月 7 日的邮件里所写的那样,这预示着一个新时代的到来。黎曼察觉到的货色并非空中楼阁。这位数学界的贵族,给数学家带来了期待已久的万能钥匙,无望解开素数为何无序之谜。借助这一平凡难题的解决,数学家迫切希望能揭开他们所知的所有其余数学问题的面纱。黎曼假如的证实将事关许多其余数学问题的解决。对于数学家来说,素数是如此重要,以至于任何在了解其本质方面所获得的冲破,都会产生无足轻重的影响。黎曼假如仿佛是一个难以回避的问题。当数学家沿着本人的数学方向后退时,仿佛所有的门路都不可避免地指向了同一处恢弘的景观,即黎曼假如。许多人将解决黎曼假如比喻成攀登珠穆朗玛峰。无人攀登的工夫越长,咱们就越想驯服它。最终攀登黎曼假如之峰的数学家,将会比埃德蒙·希拉里被人铭刻的工夫还要久。人们对于驯服珠峰的赞美,不在于峰顶的风景是如何令人叹为观止,而在于克服登顶过程中所遇到的种种挑战。从这个角度来看,证实黎曼假如和驯服世界上最高的山峰意义有别。黎曼之峰是咱们都想登顶的,因为咱们都晓得登顶之后展示在咱们背后的风光。许多数学家都曾两厢情愿地认为黎曼假如成立,并据此提出了成千上万个定理。而证实黎曼假如的人将无望胜利填补这些定理所存在的缺点。如此之多的后果依赖于黎曼难题,这也是数学家们称之为“假如”而非“猜测”的起因之所在。“假如”这个词有更粗浅的外延,是数学家用于构建实践的必要构想。相同,“猜测”仅仅代表着对数学家所认为的世界运行法则的一种预测。许多人不得不承受本人无奈攻克黎曼谜题这一事实,并只是将他的预测作为一种可用性假如。如果有人能够将这一假如变为定理,那么所有那些还未被证明的后果都将得以验证。为黎曼假如所吸引的数学家们,心愿有一天可能通过证实黎曼假如为真而声名远播。一些人并不仅仅将其作为一种可用性假如,他们看得更远。邦别里深信,素数会如黎曼假如所预测的那样有法则可循。这成为了人们谋求数学真谛的精神支柱。长久以来,人们都是凭直觉发现事物的运行法则。然而,如果黎曼假如被证伪,那么将彻底捣毁咱们这种信念。咱们对黎曼假如的正确性如此深信不疑,以至于要想扭转这一观点的话,须要彻底改变咱们的数学世界观。而那些基于黎曼假如为真所生成的定理都将灰飞烟灭。最重要的是,证实黎曼假如意味着数学家可能通过无力的根据,疾速确认 100 位素数,或者其余他们想要抉择的任意位素数。你可能会名正言顺地反诘:“这与我何干?”除非你是个数学家,否则黎曼假如证实与否,仿佛对你的生存不会产生太大影响。发现上百位的素数,这听起来就像数针尖上跳舞的天使有多少个一样无关紧要。只管少数人认为数学的意义在于设计飞机或者倒退电子技术,然而很少有人可能想到,摸索素数的深奥世界会给他们的生存带来多大影响。确实,即便到了 20 世纪 40 年代,哈代也持雷同观点:“世间存在一种叫作数论的不食人间烟火的迷信实践,高斯和多数数学家或者会为此兴奋不已吧。”六、计算机时代:从人脑到电脑然而,一个新的转折点呈现了。素数终于登上了残暴的商业世界的舞台核心。素数不再仅仅是数学界的明星。在 20 世纪 70 年代,三位科学家——罗纳德· L. 李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼——将素数的摸索从象牙塔中单纯的科研游戏,推广到了重要的商业应用领域。通过钻研皮埃尔·德·费马在 17 世纪提出的定理,这三位科学家发现一种办法,让人们在全世界的电商网站上购物时,能够利用素数来爱护信用卡号码的平安。这个概念首次问世于 20 世纪 70 年代,过后谁都没想到电子商务会变得像明天一样大受欢迎。现在若不借助素数的力量,网络交易就无奈进行。每当你在网上提交一份订单时,计算机就利用一些上百位的素数来提供平安保障。这种技术称作 RSA,得名于这三位发明者名字的首字母。到目前为止,曾经有超过百万个素数被用于爱护电子商务交易。每一笔网络交易都依赖于一些上百位的素数来保障交易平安进行。互联网的广泛应用,最终将导致咱们每个人都会有一个举世无双的素数身份。突然间,证实黎曼假如有了商业价值,因其可能会有助于理解素数在数字宇宙中的散布状况。RSA 的神奇之处在于,只管构建明码依赖于费马 300 多年前对于素数的发现,但要想破译明码却有赖于一个咱们尚未解决的问题。RSA 的安全性建设在咱们对素数的根本问题的无能为力之上。数学家对素数只知其一,于是构建了那些网络明码;他们却不知其二,以至于不能破解那些明码。对这个方程,咱们只知其一,不知其二。咱们对素数理解得越多,那些网络明码就越不平安。这些明码就是开启网络世界电子锁的钥匙。这就是 AT&T 和惠普之类的企业会不惜耗巨资用于解密素数和黎曼假如的起因。一旦有所发现,对破解这些素数明码将大有裨益。所有呈现在互联网上的公司也都心愿第一个晓得本人的明码是什么时候变得不平安的。这也就解释了数论和商业为何会同心协力。商业圈和平安机构正亲密关注着数学家的一举一动。因而,对邦别里的音讯感兴趣的不止是数学家。如果黎曼假如被证实,那么会导致在线交易的解体吗?美国国家安全局也派人到普林斯顿大学寻找答案。然而当数学家和安全局的人奔赴新泽西时,一些人在邦别里的邮件中嗅到些许可疑的气味。基本粒子被赋予了一些夸大的名字,如胶子、级联超子、粲介子、夸克,最初一个名字来自詹姆斯·乔伊斯的小说《芬尼根的守灵夜》。但“糊涂子”呢?显然不是!邦别里在摸索黎曼假如的神秘之路上有着不可代替的位置,然而那些理解他的人也懂得这是种黑色幽默。七、继续两千年的摸索费马大定理在一个愚人节玩笑中闭幕,此前安德鲁·怀尔斯在剑桥大学首次证实该定理时呈现了破绽。邦别里的邮件再一次在数学界掀起轩然大波。因为想要见证费马大定理被证实时的平凡时刻,数学家们接过了邦别里抛来的橄榄枝。他们争相转发邮件。随着邮件的疾速流传,他们遗记了还有愚人节这档子事儿了。加上这封邮件在许多不知愚人节为何物的国家传阅,使得这个恶作剧比邦别里料想得还要胜利。他最终不得不露面抵赖这封邮件只是个愚人节玩笑。随着 21 世纪的到来,对数学界这种最根本的数字,咱们依然所知甚少。只有素数笑到了最初。为什么数学家们会这么轻信邦别里呢?他们并不会轻易放弃本人的成绩。之前,数学家须要通过严格的测试,方可发表其成绩失去证实,测试之充沛远超其余学科。当怀尔斯发现自己第一次实现的费马大定理证实存在一个破绽时,就意识到,实现 99% 的拼图是不够的,拼出最初一块的人才是赢家,才会为人所铭刻。而最初一块,通常暗藏数年才会为人所识。对素数的探秘已继续了两千多年。对灵丹妙药的渴望,使数学家毫无防范地跳入了邦别里的陷阱。多年来,许多人一提起这个难题,就望而生畏。但随着 20 世纪渐近序幕,越来越多的数学家跃跃欲试,谈论着如何攻克这个令人瞩目的问题。费马大定理的证实曾经表明,重大难题也能够被攻克。这给满怀期待的人们吃下了一颗定心丸。怀尔斯对费马大定理的证实,使数学家受到人们的空前关注。这给了他们一种身为数学家的荣誉感,而这种荣誉感无疑使他们更违心置信邦别里。安德鲁·怀尔斯还被 Gap 公司邀请负责休闲裤的代言人。这听下来真不错,数学家也能够有魅力四射的时刻。数学家们绝大多数工夫都置身于一个世界——一个能给他们带来兴奋之情与满足之感的世界。然而,他们却鲜有机会将这种喜悦分享给这一世界之外的其他人。这是一个机会,一个向别人展现本人在孤单而漫长的征程中,高低求索所获得的成绩的好机会。对黎曼假如的证实在 20 世纪进入数学界的高潮期。希尔伯特间接向全世界的数学家发动挑战,心愿破解这一难题,由此揭开了这个世纪的尾声。在希尔伯特所列出的 23 道难题中,只有黎曼假如依然是新世纪的未解之谜。2000 年 5 月 24 日,为了留念希尔伯特 23 问题提出 100 周年,数学家和出版界人士在法兰西公学院汇聚一堂,凝听七个新难题的发表,以挑战新千年的数学界。这些难题出自世界上最优良的一小群数学家,包含安德鲁·怀尔斯和阿兰·孔涅。七大问题中除了希尔伯特列出的黎曼假如之外都是新问题。这些难题都附带迷人的丰富处分,以投合 21 世纪衍生的价值观。黎曼假如和其余六个难题的奖金,定为每道题 100 万美元。如果精力赞美不够的话,物质奖励也足以刺激到邦别里虚构的年老物理学家们。千禧年难题的主见是由波士顿的一个名叫兰顿· T. 克雷的商人提出的,他以在行情看涨的股票市场交易公共基金来谋利。从哈佛大学数学业余辍学的他,对这一学科的激情不减。他还想将这种激情分享给更多人。他意识到,金钱对数学家来说可能并没有什么激励作用:“正是对真谛的谋求,对数学之美,对数学之力量以及对数学之优雅的回应,激励着数学家们。”然而克雷也不简略,作为一个商人,他晓得如何用百万美元激励另一个安德鲁·怀尔斯退出到解答这旷世难题的竞争中来。确实,克雷数学研究所的网站在公布千禧年难题后的第二天,因拜访量过大而解体了。这七个千禧年难题,实质上和 20 世纪的 23 个难题大不相同。希尔伯特为 20 世纪的数学家安顿好了新的日程表。许多难题都是刚刚起步,甚至意味着会颠覆许多人对该学科的意识。希尔伯特所列的 23 个难题并没有像费马大定理一样,疏导数学家关注繁多的方向,而是激励他们从更概念化的层面来考虑问题。他也没有捡拾数学胜景中的单块石头,而是为数学家们提供了鸟瞰整个学科的视角,并激励他们从宏观角度思考数学。这种新的形式很大水平上归功于黎曼,早在 50 年前他就开始考虑数学改革,将其从一门由公式和方程形成的学科,变成一门遍布概念和形象实践的学科。新千年的七个难题,其抉择规范更加激进。它们是数学难题艺术展中的透纳作品。希尔伯特的问题则是现代派和前卫派单干的产物。新问题较为激进的局部起因在于,心愿解决者给出的答案可能得以充分证明,从而取得百万美元奖金。千禧年难题几十年来都为数学家们所熟知,黎曼假如更是历时百年。这些问题都很经典。克雷的 700 万美元并非首次为解决数学问题而发放的奖金。1997年,怀尔斯就因证实了费马大定理而摘取了保罗·沃尔夫斯凯尔在 1908年设立的奖项,取得 75 000 马克。怀尔斯早在 10 岁时就对沃尔夫斯凯尔奖的故事有了粗浅的印象。克雷置信,如果他也对黎曼假如如法炮制的话,那么这 100 万美元就会有所回报。近期,英国的费伯出版社和美国的布鲁姆斯伯里出版社为证实哥德巴赫猜想的人提供百万美元的奖金,借此宣传新书——阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《遇见哥德巴赫猜想》。为了失去这笔钱,你得弄清楚,为什么每个合数都能够写成两个素数的乘积。然而,出版社并不会给你过多工夫来破解此难题。只有在 2002 年 3 月 15 日前提供的答案才算数。这两家出版社还很莫名其妙地规定,仅限美英两国居民加入此次流动。克雷认为,数学家们很少因为本人的工作而受到奖赏和认可。例如,令人向往和谋求的诺贝尔奖没有设立数学奖,取而代之的是菲尔兹奖,被视作数学界的至高荣誉。诺贝尔奖偏向于授予那些在各自的畛域做出长期奉献的科学家们,而菲尔兹奖的评比仅限于 40 岁以下的数学家。这并非是受固有观点——数学家容易江郎才尽——的影响。约翰·菲尔兹,菲尔兹奖的创立者和奖金提供者,心愿借此奖项激励那些最富后劲的数学家去获得更平凡的成就。该奖项每四年在国内数学家大会上颁发一次。第一届菲尔兹奖是于 1936 年在奥斯陆颁发的。年龄是一道严格的门槛。只管安德鲁·怀尔斯在证实费马大定理上获得了突出成就,然而菲尔兹奖委员会还是无奈在 1998 年于柏林举办的国内数学家大会上授予他这一奖项。这是自他最初的证实被承受以来首次有机会被认可,惋惜他生于 1953 年。他们铸造了一个特地的奖牌,以留念怀尔斯为此所做的奉献,然而这和菲尔兹奖获得者这一卓越名称无奈等量齐观。获奖者囊括了咱们这场戏的许多重要角色:恩里科·邦别里、阿兰·孔涅、阿特勒·赛尔伯格、保罗·科恩、亚历山大·格罗腾迪克、艾伦·贝克、皮埃尔·德利涅。这些人简直摘取了五分之一的奖项。但数学家并非是为了金钱而追赶这些奖项的。与诺贝尔奖提供的巨额奖金相比,菲尔兹奖提供的奖金不过 15 000 加元。因而,克雷颁发的百万美元奖金足以和诺贝尔奖相匹敌。相比于菲尔兹奖,以及费伯出版社与布鲁姆斯伯里出版社颁发的哥德巴赫猜想百万美元大奖,博得这笔奖金不受年龄和国籍限度,也没有解题工夫限度,惟一变动的只有汇率。然而,促使数学家们破解千禧年难题的最大能源不是巨额奖金,而是数学带给人的那种不朽而令人神往的力量。攻克一个千禧年难题,你就能取得 100 万美元。然而,相比于把你的名字镌刻进摸索智慧与文化的历史长河中,这基本不值一提。黎曼假如、费马大定理、哥德巴赫猜想、希尔伯特空间、拉马努金 方程、欧几里得算法、哈代 - 利特尔伍德圆法,傅里叶级数、哥德尔数、西格尔零点、赛尔伯格轨迹公式、埃拉托斯特尼筛法、梅森素数、欧拉积、高斯积分等发现,使那些在摸索素数之路上做出了不朽奉献的数学家名垂千古。即便咱们有朝一日或者会遗记埃斯库罗斯 A、歌德和莎士比亚这样的名字,那些名字仍旧永垂不朽。正如哈代所言:“语言会沦亡,而数学思维却不朽。‘不朽’或者听起来扑朔迷离,但或者数学家最有发言权来解释该词的意义。”那些在摸索素数这一平凡征程中做出短暂而不懈努力的数学家们,不仅仅是数学里程碑上所铭刻的那些名字。素数的故事是一个个鲜活的人物的实在经验。法国大革命的历史人物和拿破仑的敌人们,纷纷向古代的魔术师和网络公司退让。来自印度的职员,脚踏实地执行工作的法国特务,还有逃离第二次世界大战(简称二战)战火的匈牙利裔犹太人,这三个人的命运都因摸索素数的神秘而交错在一起。所有这些人致力于提出独特观点的目标,就是心愿本人的名字能留存在数学的历史长河中。素数让世界各地的数学家们走到了一起,中国、法国、希腊、美国、挪威、澳大利亚、俄罗斯、印度和德国等国都诞生过卓越的数学家。他们都会在每四年举办一次的国内数学家大会上讲述本人的摸索故事。留名青史并非激励数学家的惟一能源。就像希尔伯特敢于摸索未知一样,黎曼假如的证实也将开启一段新旅程。当怀尔斯在发表克雷奖的媒体发布会上做演讲时,他强调问题的解决并不等于为此画上了句号:有一个簇新的数学世界期待着咱们去发现。设想一下 1600 年的欧洲人,他们晓得大西洋的对岸是一片新世界。对于那些曾在建设美国的过程中做出奉献的人们,应该给他们颁发什么奖项呢?不是飞机发明奖,不是计算机发明奖,不是芝加哥城市建设奖,也不是小麦收割机发明奖。尽管上述这些事物已成为美国人生存的一部分,但这些都是1600 年的欧洲人所无奈设想的。他们应该为解决经度问题的人颁发一个奖项。黎曼假如就是数学界的“经度问题”。黎曼假如的解答能为人们摸索数字陆地中的神秘水域提供线索。它也仅仅是咱们摸索天然之数字的一个开始。  举荐浏览作者:[英] 马库斯•杜•索托伊(Marcus du Sautoy)译者:柏华元牛津大学数学传授,英国皇家学会研究员马库斯•杜•索托伊科普力作 带你一起摸索黎曼假如,讲述数学家求知路上的苦与乐 ...

October 24, 2022 · 2 min · jiezi

关于数学:如何阅读数学上海顶尖中学学生的阅读笔记

数学浏览是从数学文本中获取意义的、踊跃的认知心理过程,须要对文字、符号与图形进行正确编码和转译,并且可能对文本进行综合了解。 数学科普读物不同于数学教材,除了科学性之外,还具备趣味性,对孩子们来说可读性很高。 “我数学问题很个别,能读懂数学科普书吗?”“读数学科普书,是不是也要算题啊?”“读科普书有啥用啊?还不如找本练习册,刷刷题吧?”一见公式就头疼,公式越多头越疼,数学科普书有啥可看的啊?” 不久前,图灵新知编辑部收到了上海市世界外国语中学七年级和八年级同学们在寒假期间浏览《写给青少年的数学故事(上)代数奇思》和《写给青少年的数学故事(下)几何妙想》两书的读书笔记。惊喜之余,咱们感觉非常值得把这些读书笔记与大家分享一下。咱们并没有激励小读者们都来写笔记——任何自觉的模拟都是“卷”的开始! 如果你把浏览当成一次次的“打卡”工作,或者科学某些“不靠谱”的疾速浏览法,那么,浏览能带给你的高兴恐怕都要丢失了——更别说,让浏览成为一种高效、充斥乐趣的学习办法。当然,很多同学或家长的确想从浏览数学科普书中失去一些“实惠”——有这样的想法很失常。读课外书本是一种单纯的趣味,在高兴之上,咱们再来看看能从一本书中、一次浏览过程中失去什么。浏览的“实惠”,不仅在于读,也在于思;不在于读得量大,而在于读得粗浅。在得到许可后,咱们在这里向大家展现同学们的读书笔记,来看看“有心”的读书人是如何浏览数学科普书的。心愿大家能通过浏览,成为一生学习者。 浩瀚学海摸索数学神秘奇思妙想感触数学魅力——读《代数奇思》与《几何妙想》有感 世外中学八年级学生王宸妍: “首次浏览《代数奇思》与《几何妙想》是我校数学老师举荐咱们于寒暑假品读其中丰盛活泼的数学故事。渴望对数学摸索的我先后打开这两本书时,时常不由自主地从作者行云流水的叙述中被那些周密思维的演绎,环环相扣的代数与几何常识相结合的故事所沉醉。 当我在无理数的陆地漫游,穿越时空理解“的马拉松”时,曾震撼于先辈数学家们通过试验阶段、几何法阶段,再到现在的云计算阶段,对的值一直刷新。它让我领会到数学及迷信程度一直进步需靠一代代科研工作者矢志不渝、醉生梦死地潜心钻研,使数学实用于古代高科技的倒退。 在浏览《代数奇思》与《几何妙想》的过程中,我时不时拿出纸和笔在草稿纸上画图演算。当我按图索骥、认真琢磨《杂谈0.618》中的斐波那契数列时,循着黄金分割到五角星中无关线段的黄金比例的倒退脉络,我还摸索到五角星中所有的10个三角形都是黄金三角形。 当咱们把底角为72度的黄金三角形一直平分底角,可失去有限的黄金三角形。微妙的黄金分割还存在于黄金矩形,依据斐波那契数列可画出给咱们带来奇异视觉震撼的黄金螺旋线,它甚至在建筑设计、摄影构图、大自然中都可使用到! 正如哲学家培根所说:“数学是关上迷信大门的钥匙。”于浩瀚学海摸索数学时,我也会联想到其它的文科常识;在一个个奇思妙想的数学故事中,我不仅发现了令人惊叹的数学之美,理解了定理的取证,还领悟到实践与论断背地的故事是一代代数学家和数学爱好者的智慧结晶! 世外中学八年级学生徐伽颖 “两本书的自序在一开始都写到了“用大家读得懂的形式展示新的数学研究成果”,这也是本书作者的目标,所以读完这两本书并不感觉很无趣,倒是让我久久沉迷在其中。无论是对未解之谜的探讨,还是对古代钻研的介绍,不禁使我空想我是以一个青少年数学家的身份去加入作者的“数学微妙之旅”。我最喜爱的是作者对这些数学故事的叙述,总是以一个短暂然而又牢牢抓住你眼球的小故事来结尾,逐步引入要讲的主题,之后也不乏有一些计算过程,但这时,这些计算对你来说曾经不仅仅是无趣的加减乘除,而是退出这场“微妙之旅”的过程,读完之后也会对这个问题有新的问题与思考。读完这两本书,我对其中的故事也进行了探索。 《代数奇思》更多是用故事来讲述数学,所以在之后我对“数学未解之谜”这一主题有了更多探索,发现了背地数学家们写就的一个个“故事”;相同,《几何妙想》则是用数学来讲述故事,粗略翻一下,映入眼帘的就是数不尽的图画,从二维到三维都目不暇接。 我这次钻研的就是“Ⅱ 的由来”,我从小学就对这一个数字的由来而好奇,去收集材料后发现了今人的智慧,也学到了一些数学名词。这本书的大抵内容也就是“数学家们对代数、几何的奇思妙想”,读完并不难,难的是你读完之后的奇思妙想,是否能够像数学家们不停得提出来一个又一个问题,又是否能够像他们一样迎刃而解呢? 读书报告图片摘选 张思凡老师的浏览流动总结浏览是人类社会生存的一项重要流动,是人类吸取常识的次要伎俩和意识世界的重要途径。数学学习同样离不开浏览,浏览是数学学习的一项基本技能。 数学浏览是从数学文本中获取意义的、踊跃的认知心理过程,须要对文字、符号与图形进行正确编码和转译,并且可能对文本进行综合了解。数学科普读物不同于数学教材,除了科学性之外,还具备趣味性,对孩子们来说可读性很高。 《写给青少年的数学故事》分为《代数奇思》和《几何妙想》高低两册,书中的数学故事或展示数学知识的发现过程,或展示数学知识的利用形式,孩子们在浏览时,思考书中所提出的数学问题,理解数学概念的造成过程,重走数学家摸索数学知识的门路,领会数学的外在逻辑和思维办法。 通过浏览理解数学在生活中的已知利用,畅想数学在将来生存中的利用形式,加强对于数学学习的信念感,激发数学学习的趣味。借助语文浏览报告的形式,也有学生对所读数学科普读物进行摘录和延长思考。 实现读书报告的过程中,学生对书中提到的数学知识产生微小的趣味,在制作读书报告的过程中,又被动查阅大量的材料,理解演变倒退过程,并随同独立思考演算等,耳濡目染中关上数学眼界、进步数学浏览品尝、倒退数学外围素养。 新书预报作者:陈永明书号:978-7-115-59675-8页数:320出版:图灵|人民邮电出版社定价:69.80元

October 14, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:菲尔兹奖得主小平邦彦数学是什么

菲尔兹奖得主小平邦彦的心中的数学,可能和很多人所想的数学不同。他强调对数学的一种感觉——数感,一种对数学造成的感知,并且其敏锐性和听觉类似,而与聪慧无关。他还认为数学也是试验迷信,是一种思维上的试验。这些独到的视角将有助于咱们了解、学习数学。 撰文丨小平邦彦翻译丨尤斌斌小平邦彦(Kunihiko Kodaira,1915-1997) 数学是什么,这说不清道不明。不过,每一个对数学感兴趣的人多多少少都有各自的见解。在本文中,我会坦率地讲述数学家眼中的数学印象,比方像我这样专门钻研数学的数学家是如何对待数学的,以便为读者提供参考。人们通常认为数学是一门由紧密逻辑所构建的学识,即使不是与逻辑完全一致,也大致相同。 实际上,数学与逻辑并没有多大关系。当然,数学必须遵循逻辑。不过,逻辑对于数学的作用相似于语法对于文学。书写合乎语法的文章与用语法编织语言、创作小说是截然不同的。同样,按照逻辑进行推论与应用逻辑构筑数学实践也并非同一层面上的事件。 任何人都能了解个别逻辑,如果将数学归为逻辑,那么任何人都能了解数学。然而家喻户晓,无奈了解数学的初中生或高中生大有人在,语言能力优异、数学能力有余的学生非常常见。因而我认为,数学在实质上与逻辑不同。 数感咱们试着思考数学之外的自然科学,比如说物理学。物理学钻研的是天然景象中的物理现象,同理可得,数学钻研的是天然景象中的数学景象。那么,了解数学相当于“察看”数学景象。这里所说的“察看”不是指“用眼观看”,而是通过肯定感觉所造成的感知。 尽管很难用语言去形容这种感觉,不过这是一种显著不同于逻辑推理能力的纯正的感觉,在我看来这种感知简直靠近于视觉。或者咱们能够称之为直觉,不过为了凸显其纯正性,在接下来的表述中,我将其称为“数感”。直觉一词含有“霎时领悟假相”的意思,所以不太适合。 数感的敏锐性相似于听觉的敏锐性,也就是说基本上与是否聪慧无关(实质上无关,但不意味着没有统计关联)。不过数学的了解须要凭借数感,正如乐感不好的人无奈了解音乐,数感不好的人同样无奈了解数学(给不善于数学的孩子当家教时,就能明确这种感觉。对你来说曾经不言而喻的问题,在不善于数学的孩子看来却怎么也无奈了解,因而你会苦于不知如何解释)。 在证实定理时,数学家并没有觉察本人的数感施展了作用,因而会认为是依照周密的逻辑进行了证实。其实,只有用形式逻辑符号去解析证实,数学家就会发现事实并非如此。因为这样最终只会失去一串简短的逻辑符号,实际上齐全不可能证实定理(当然我的重点并不在于指摘证实过程的逻辑不够紧密,而是在于指出数感能帮忙咱们省略逻辑推理这个过程,间接疏导咱们走向后方)。近来常常听到人们在探讨数学感觉,能够说数学感觉的根底正是数感。所有数学家天生都具备敏锐的数感,只是本人没有觉察而已。 数学同样以天然景象为钻研对象兴许有人认为将天然景象的一部分作为数学的钻研对象太过莽撞。然而,正如数学家在证实新的定理时,通常不会说“创造”了定理,而是表白为“发现”了定理。 由此可见,数学景象与物理现象一样,都是自然界中的固有之物。我也证实过几个新定理,但我从来不感觉那些定理是本人想进去的。这些定理始终都存在,只不过碰巧被我发现了而已。常常会有人指出,数学对于理论物理学有着不堪设想的微妙作用。甚至会让人产生一种观点,认为所有物理现象都须要依靠数学法令而存在。 而且,大部分状况下,在物理学实践被发现之前,数学家们早就筹备好了该实践所需的数学知识。黎曼空间对于爱因斯坦狭义相对论的作用就是最好的例子。为什么数学对物理学的作用如此之大?当然,只有解释说数学是物理学的语言,这个话题就到此为止了。 比方,狭义相对论中黎曼空间的作用确实能够说是一种语言,然而数学对于量子力学的作用却堪称是一种神秘的魔法,无奈单纯将其视为一种语言。关上量子力学的教材,首先是对于光干预、电子散射等试验的阐明,接着是用波函数(即希尔伯特空间中的矢量)来形容光子、电子等粒子的状态,最初推出态叠加原理。 态叠加原理是量子力学中的基本原理,它表白了如果状态A是状态B与状态C的叠加,那么A的波函数是B的波函数与C的波函数的线性组合。什么是粒子的状态?例如,粒子加速器中电子的状态由粒子加速器决定,所以粒子的状态能够了解成粒子所在的环境。在量子力学中,极简单的环境也只由一个波函数(矢量)来形容,因而首先需对环境进行简化和数学化。 如何了解状态A是状态B与状态C的叠加? 如果是教材中的光干预等状况,那么就比拟容易了解。不过,在通常状况下说环境A是环境B与环境C的叠加,这就不容易了解了。不确定性原理,例如不可能同时测量一个粒子的地位和它的速度,是通过测量试验对粒子的烦扰来加以阐明的,最终表明一个粒子无奈同时存在于测量地位的安装和测量速度的安装中。 换言之,即粒子不可能同时存在两种环境。那么如何了解这两种环境的叠加呢?只能说切实是难以了解。另外,波函数的线性组合运算如同数学中的高级运算一样简略。而态叠加原理则主张通过简略的数学运算来示意各种简单奇怪状态的叠加。也就是说,数学运算摆布了作为量子力学对象的物理现象。这种数学运算与物理现象的关系,并非是通过解析叠加的物理意义而将其用数学公式体现进去,而是将“波函数的线性组合能够形容状态的叠加”视为公理,而后根据数学运算来确定叠加的意义。正如费曼(R.P.Feynman)所言,除了数学之外,没有其余办法能阐明态叠加原理了。咱们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法,因而我认为物理现象的背地存在着固有的数学景象。 数学是试验迷信我认为,数学家钻研数学景象的意义与物理学家钻研天然景象雷同。兴许有人认为,物理学家须要进行各种试验,而数学家仅仅在思考而已。不过,这种状况下的“思考”含有“思考试验”的意思,与考试中对题目的“思考”性质全然不同。考试题目个别是将固定范畴内的已知内容组合在一起,一小时之内必定可能解开,所以相当于提供了清晰的思考对象和思考办法。 然而,试验是考察未知的天然景象,因而无奈预测后果,甚至无奈失去后果。这种试验的模式 同样存在于数学中,探索未知数学景象的思考试验,其思考对象和思考办法都具备未知性。这也是数学钻研过程中最大的艰难。最简略易懂的思考试验当属从具体事实中演绎猜测。例如咱们尝试思考一下,偶数起码能示意成几个素数之和。偶数2自身是素数,暂且另当别论。 除此之外,正如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53……所示,偶数个别能示意成两个素数之和。根据上述论断,咱们能够从中推出“任何一个大于2的偶数都能够示意成两个素数的和”(这个命题就是驰名的哥德巴赫猜想,至今未被证明)。 如果考察多个事实可能猜测出定理的模式,那么之后只有思考如何证实该定理即可,也就是说钻研的最后难关曾经冲破。当然,数学中仅仅依附积攒几个事实是无奈证实定理的,定理的证实必须另外进行思考。高等数论的许多定理就是先由试验后果引发猜测,而后才失去证实。 而且,从19世纪末到20世纪初,恩里格斯(F. Enriques)、卡斯特尔诺沃(G. Castelnuovo)等意大利代数几何学家取得的惊人成绩中,根据试验失去成绩的不在少数。托德(J. A. Todd)在其1930年左右发表的论文中曾明确断言:“代数几何是试验迷信。”直到最近(编者注:本文发表于1969年5月),上述几位数学家的定理才全副得以紧密证实。不过值得注意的是,只管他们过后给出的定理证实不够齐全,然而定理自身却是正确的。 发现新定理当初数学的钻研对象个别都十分形象,实例也非常形象,让人难以了解。所以依附具体事实演绎来猜测定理的形式,在大多数状况下曾经难以实用。目前的状况下,对于发现新定理的思考试验形式,我自己也是不得而知。如果将精力都破费在考虑新的思考形式上,恐怕难有所得。实际上很多时候无论如何思考都得不到相应的后果。 这样看的话,是否能够说数学钻研是一份极其艰难的工作呢?不过这倒也未必。有时候感觉本人什么也没做,那些该当思考的事件却很天然地出现在眼前,钻研工作也得以顺利推动。 夏目漱石在《梦十夜》中对运庆(编者注:日本镰仓时代的高僧,雕刻技能非常精湛)雕刻金刚手菩萨像的形容,充沛体现了这种感触。 这部分内容援用如下: 运庆在金刚手菩萨的粗眉上端一寸处横向凿刻,手中的凿刀忽而竖立,转而自上而下凿去。凿刀被敲入坚挺的木头中,厚厚的木屑应声飞落,再认真一看,金刚手菩萨怒意盈盈的鼻翼轮廓已清晰出现。运庆的运刀形式自由自在,雕刻过程中丝毫没有任何踌躇。“他的手法真如行云流水,凿刀所到之处,竟然都天然地雕刻出了心田所想的眉毛、鼻子样子。”我感叹至极,不禁喃喃自语道。后果,刚才那位年老女子回应道:“什么呀,那可不是凿刻出的眉毛、鼻子,而是眉毛、鼻子原本就埋藏在木头中,他只是用锤子、凿子将其出现进去。就像从泥土中挖出石头一样,当然不会呈现偏差。”在这种时刻,我经常感到世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到一些学生在犹豫未来是否从事数学方面的工作,我就会想倡议他们“肯定要选数学,因为再没有比数学更容易的学科了”。漱石的故事后续如下:这时,我豁然开朗,原来这就是雕刻艺术。这样的话,如同谁都能够做这个。想到这里,我忽然也有了想要雕刻一座金刚手菩萨像的念头,于是回到家中,从后院里沉积的木柴当选了一块木头,开始入手雕刻。然而大失所望,虽凿刻好久,木头中却依然寻不到金刚手菩萨的踪影。我忽然觉悟,明治期间的木头里基本就不会藏有金刚手菩萨。 数学也一样,一般的木头里没有埋藏着定理。不过,仅仅从表面察看,并看不出外面到底埋着什么,所以只好尝试雕刻看看。 数学中的雕刻就是繁琐的计算与查阅文献,绝不是什么简略的事件,而且在大多数状况下,都会竹篮打水一场空。因而数学钻研十分耗时,而且我感觉运气也是一个影响钻研成败的重要因素。 定理与利用现今的数学,通过具体事实的演绎来猜测定理极其艰难,不仅如此,定理与具体事实的关系也在发生变化。在大学低年级的数学中,定理之所以是定理,是因为其可利用于许多事实中,没有利用的定理则多没有意义。好的定理能够说就是利用宽泛的定理。 从这个意义上来说,函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。然而在最近的数学中,简直很少看到领有宽泛应用性的定理。岂止如此,许多定理简直毫无应用性可言。 正如某君不客气地评估:“古代数学只有两种,有定理却没有利用实例的数学与只有利用实例却没有定理的数学。”从古代数学的立场登程,“不论有没有利用,好的定理就是好的定理”,不过我却总感觉没有利用的定理多少还是有点儿美中不足。 数学的惟一了解办法即便不做钻研,只是浏览无关数学的书和论文,也十分费时。如果只读定理局部而跳过证实过程的话,仿佛很快就能读完两三本书。 然而实际上,跳过证实的浏览形式如记忆犹新,留下的印象十分浅,后果多会一无所得。想要了解数学书,只能一步一步遵循证实过程。数学的证实不是单纯的论证,还具备思考试验的象征。所谓了解证实,也不是确认论证中是否有谬误,而是本人尝试重现思考试验的过程。换言之,了解也能够说是本身的体验。 不堪设想的是,除此之外数学没有其余的了解办法。物理学的话,即使是最新的基本粒子实践,只有浏览通俗读物,只管读者与专家的了解办法不同,多少还是能大抵了解或者至多本人感觉如同了解了。这就是外行人的了解办法,它与专家的了解办法不同。 然而数学不存在外行人的了解办法,所以没人能够写出对于数学最近成绩的通俗读物。 本文经受权节选自《惰者集:数感与数学》(人民邮电出版社·图灵新知,2022年2月版)第一章“数学印象”,有删减。 作者简介小平邦彦(Kunihiko Kodaira,1915-1997),日本数学家,先后在美国普林斯顿低等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授,在和谐积分实践、代数几何学和复解析几何学等诸多畛域做出了奉献;1954年获菲尔兹奖,1957年被日本政府授予文化勋章,1984年获沃尔夫奖;著有《微积分入门》《复分析》《复流形实践》《几何世界的邀请》等。  举荐浏览作者:[日]小平邦彦译者:尤斌斌 菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主,日本数学大家 小平邦彦 数学随笔文集解析“数感”与数学思维 反思数学教育中的功过得失 重塑独立思考能力与数学趣味

October 11, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:新书上市|听说你翻开数学书就眼睛疼

《数学女孩》系列把由浅入深的数学思考暗藏在日常的高中生存之中,通过轻松的对话和探讨,给庄重干燥的数学推导披上了一层青春小说的外衣,让翻开书、读上来、想分明、记下来的过程也更加轻松愉快,帮忙读者真正地把握数学知识、了解数学定理,将数学思维更好地使用到数学考试中去。 为什么数学总是学不进去?打开数学书是不是世界上最苦楚的事件之一?好不容易打开数学书,看完的货色马上就忘了?拿到手的数学书或者是讲解题集基本看都不想看,稀稀拉拉的定理列举更是一个字也读不进去?在无数次用“数学就这是这个样子”为借口刺激本人之后,你有没有想过,可能是工具出了问题?有这样一套数学书,在国外卖出 57 万册,中文版也卖出了 12 万册,被人称为“绝赞的数学科普书”,更有读者直呼“被骗”后依然手不释卷,看完第一册就开始疯狂催更!北京大学海内流传核心为数学迷信学院制作的“北大学科数学篇”宣传片都给他特写,说他可能展现数学的浪漫。什么数学书能让北大数科必定,让读者超级上头?结城浩 1963 出世,当初寓居在东京地区,是一个马上就要六十岁的程序员“大叔”,他的作品“数学女孩”系列,就是一套让人爱不释手的数学书。结城浩本人画的icon线程鬼娃娃作为其在社交媒体上的头像 “数学女孩”系列的内容是围绕配角“我”——一个喜爱数学的男高中生开展的,“我”的同学米尔嘉、学妹泰朵拉、泰朵拉的同班同学理莎还有我的表妹尤里,咱们常常在一起探讨数学问题。一般的人物关系形容之下,读者们曾经能够感触到这本书的独特之处了。区别于一般数学书惯例的逻辑,“数学女孩”系列并不是由作者作为老师来向读者输入常识,而是在书中角色的发问、探讨和争执中,推动数学定理的推导。表妹尤里是在“我”的带动下喜爱上数学,她和学妹泰朵拉表演提出问题的角色,而数学能力出众的才女米尔嘉和我负责解答问题的角色,会在对话中疏导尤里和泰朵拉进行思考,计算机达人理莎则会给所有人从程序执行的角度给出思路。浏览《数学女孩》时,不同数学程度的读者都能带入其中,追随尤里一起提出疑难,或者是和米尔嘉一起解释泰朵拉无奈了解的内容。尤里和泰朵拉的疑难就像是PRG游戏里的一个个剧情点,触发剧情后由“我”和米尔嘉来解决疑难,在一次次的解决疑难中理清思路,了解基础知识的内容和底层公式的由来,最初通过整合所有的常识来解决一个重大的数学难题。法国数学家、天体力学家庞加莱亨利·庞加莱 在《迷信与假如》中说,“因为咱们既不能这样查究至无穷,则凡演绎的迷信,特地是几何学,必建设在几条不可证实的公理上才行。故凡几何学的专书的公式开始就陈说这些公理”。即便是这样,如果拿出一本打开就写着“此处是公理,你要置信他”的几何学书,恐怕少数读者会立刻将这本书合上吧!在系列最新作《数学女孩6;庞加莱猜测》中,“我”对尤里提出了柯尼斯堡七桥问题的解读办法,泰朵拉在给便当盒系带子时提出了对莫比乌斯环的疑难,配角团又在课间探讨的时候提起了四维空间骰子,进而引出对非欧几何内容的思考,随后大家一起学习了微分方程和高斯绝妙定理等常识后,独特解决了“终极boss”庞加莱猜测。 就数学知识而言,本书和《迷信与假如》中所说的一样,论述了必须作为前提的几个公理之后推导出了最终的“庞加莱猜测”。但在内容上,作为配角的“我”也始终在面临升学的压力和对将来的迷茫,正是在和搭档们的对话和探讨、对数学问题的思考中,“我”终于动摇了本人的信念,最终动摇地前行。在应试的数学学习中,学生们往往更器重记住定理和公式、刷题、进步熟练度,而漠视了思考的重要性。然而正如孔子所说:“学而不思则惘”,如果疏忽了对于定理推导过程的思考和了解,那么就无奈自若地使用。《数学女孩》系列把由浅入深的数学思考暗藏在日常的高中生存之中,通过轻松的对话和探讨,给庄重干燥的数学推导披上了一层青春小说的外衣,让翻开书、读上来、想分明、记下来的过程也更加轻松愉快,帮忙读者真正地把握数学知识、了解数学定理,将数学思维更好地使用到数学考试中去。 心愿《数学女孩》能为读者们关上新世界的大门,不再畏惧打开数学书,也不再畏惧数学推导自身!PS:给从第一册追更至最新册的读者一个剧透,本卷感情线有重要停顿! 头图:freepik.com  举荐浏览作者:[日]结城浩译者:陈朕疆 《数学女孩》系列第六弹! 日本数学会强力举荐 绝赞的数学科普书 原版全系列累计发行冲破57万册!

September 24, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:数学家的这些迷惑行为最后都成了神操作

数学不仅仅是数字、图形和符号的游戏,也不仅仅是其余文科的钻研辅助。数学就像这个世界的暗藏提纲,数学家就是那些可能看到世界反面的人。 有句鸡汤名言说得好,你的气质里藏着你读的书。到了学界,应该再加上半句,你气质里还藏着你做过的学识。文学评论家彬彬有礼,经济学家目光炯炯,地质学家风尘仆仆,但最可恶的是数学家,他们大智若愚。历史上很多数学家都有过“蛊惑行为”。在世人眼中,他们像长不大的顽童,沉溺在奇怪的游戏中。然而,看似莫名其妙的数学游戏往往藏着更深的智慧、更妙的用处。 明天,咱们就来看一看这些数学家的故事。 01 数沙子的阿基米德如果有人问你全世界有多少粒沙子,你会怎么答复?少数人大略会反诘:“你很闲吗?”很多人可能没想到,数学家阿基米德就认真思考过这个问题,甚至写了一本专著,就叫《数沙器》——他估算了如果把沙子一粒挨一粒地排列起来,笼罩一颗罂粟种子须要沙粒的数量;接下来,他又估算了须要有多少罂粟种子能力摆满一根手指宽度,以及一个体育场的一边大略须要用多少手指能力排满……通过这种计量形式,阿基米德建设了一种指数体系和一种记号零碎,把它们联合在一起后,就能分类示意那些极其微小的数了。 阿基米德生存在公元前 200 多年,过后阿拉伯数字还没有呈现,人们也没有明确指数的概念。通过这番思考,他为几百年后的数学思维打下了草稿。兴许你依然想问,数沙子这类问题自身到底有没有意义呢?其实是有的。在科技发达的古代,宇宙学家也在估算宇宙间微粒的数量,看似奇葩的问题恰好能够帮忙咱们理解这个世界,理解万物演变,也理解咱们本人在天穹间的地位。当咱们议论人类摸索宇宙的历程时,也无妨记住更早之前,阿基米德这份单纯的专一。 02 和胸围较劲的凯特勒已经有一位学者收集了数千项和人体无关的测量后果,其中包含 5738 名苏格兰士兵的胸围。如果这位仁兄的业余和医疗保健不沾边,恐怕会有人感觉这事儿可疑。他收集这些数据的理由听起来也不够正经:他想晓得这些随机的数字到底是不是真的没法则。这个人就是为统计学和概率论架起桥梁的比利时数学家凯特勒。通过一番收集和剖析,最初的后果让凯特勒本人也吓了一跳,从胸围到身高,人类天然体征的数据都合乎正态分布。 在此之前,人们始终认为那只是一条误差曲线,并没有别的意义。在此之后,人们按照凯特勒的思路,对自然界中许多各不相同的对象进行了测量和钻研,发现了一个又一个惊喜。能够说,凯特勒的发现扭转了人们对待世界的形式。从前万物就是万物,是一个一个的个体,起初人们晓得可测量的对象都藏着柔美的数学法则。 而这所有,都来源于凯特勒一个看似钻了牛角尖的想法——“偶尔,这是一个神秘,同时被滥用的词。咱们经常把‘偶尔’当作一个借口来覆盖本人的无知,它成了管制个别人思维中那片形象领地的幽灵,咱们曾经习惯把它当作齐全独立的实际对待。……给本人足够的工夫来抓住自然规律,偶尔这个词就会隐没不见了!” 03 开启“异世界”的罗巴切夫斯基和黎曼几何钻研的是图形,图形总在平坦的立体上或者匀称的空间里——这切实是太天经地义了。从欧几里得的时代开始,几千年的工夫里,没有人对此提出不同意见。如果图形所处的立体并不平呢?如果空间扭曲了呢?这些问题听下来毫无意义。 为什么要设想这种奇奇怪怪的状况呢?除了传说中的异世界,你要上哪里去找那种立体和空间?可是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基的几何世界却建设在马鞍状的弯曲表面上,于是三角形的内角和不再等于 180°,通过线外一点的平行线也不再只有一条。背景蜿蜒扭动,所有都和欧几里得规整坦荡的世界不同。罗巴切夫斯基失去了黎曼的了解和反对。 黎曼说:“(以往的)几何事后假如了空间的概念,并假设了构建空间的基本原理。……那些事后假如之间的关系还不为人所知。咱们看不出它们之间的任何分割是否是必然的,或者在多大程度上是必然的,甚至不能预先确定,它们之间是否可能存在分割。”黎曼还有更宽阔的思路:“既然有马鞍上的几何,为什么不能有椭圆上的几何?”放下了欧氏几何的解放,数学能够关上不止一扇异世界的大门……但这些到底有什么用?对于这个问题,人们仿佛始终没有找到称心的答复。罗巴切夫斯基和黎曼生存在 19 世纪。 在 20 世纪,物理学倒退进入新的纪元,非欧几何意外地派上了大用场。相对论、引力波、宇宙维度假说……人们重新认识了宇宙。那个更大、更高深的世界并不像人们认为的那样平坦、平均、空阔,所谓的“异世界”其实正是咱们生存的这个世界,非欧几何正是人们进一步理解世界的最好助手。这样的“峰回路转”连罗巴切夫斯基和黎曼也无奈意料。 04 纽结和泰特人们治理不清的事叫一团乱麻,管心理不适叫疙疙瘩瘩,个别人见了交织纠缠的线团都会皱眉。除了猫,还有谁会对这样那样的结感兴趣呢?有的数学家却像猫一样,就对纽结感兴趣。他们看着这些凌乱的线团思考:“一个纽结能够变成另一个吗?纽结到底有多少种?” 在 19 世纪,苏格兰数学家泰特开展了一项繁琐而简单的工作:依照纽结蕴含穿插的个数给它们分类列表。泰特的这张表始终列到了蕴含十个穿插的交织纽结。这项听起来莫名其妙的工作名义上是为了配合物理学家钻研“以太打结”原子模型。但这个模型没过多久就被物理学家摈弃了。泰特并没有受到很大的影响,他仍然沉迷其中,也照常发表了本人的成绩。针对纽结的钻研依附数学家的趣味连续了上来。这也是一个数学家自己也想不到结尾的故事。 到了 20 世纪,生物学家发现了 DNA 分子的双螺旋构造,这正是一个简单的纽结。数学家能够依据纽结实践估算解开 DNA 的复杂度,配合生物学家钻研相干的生物反馈。没过多久,弦实践诞生,物理学家也从纽结实践已有的成绩中找到了钻研新课题的绝佳工具。当前,纽结实践是否可能带给人们更多惊喜?咱们也无从得悉。 05 这些是数学家的故事更是人类摸索世界的故事数学是自然科学的语言,是人类深刻意识世间万物的根底,它仿佛理当是实用的。但数学家的摸索精力不肯定总为功利的工作服务。平凡的数学家对看似奇怪却值得深刻的课题有一种独特的捕获能力,其中蕴含了纯正的好奇心、智者的判断力,还有难以言说的直觉。人们已经认为,数学的世界里有一些丑陋而无用的小路,不值得理睬。事实上所有这些小路都会在一个意想不到的时刻通向更广大的将来。这样的故事在历史上还有很多,这就是数学最迷人的中央。数学不仅仅是数字、图形和符号的游戏,也不仅仅是其余文科的钻研辅助。数学就像这个世界的暗藏提纲,数学家就是那些可能看到世界反面的人。他们身上还产生了哪些令人意想不到的故事?来这本书里找找看吧! ☟《最初的数学问题》[美] 马里奥·利维奥 著黄征 译 豆瓣评分 8.6,滞销世界的数学哲学史经典著作。 本书讲述了数学概念的演化过程,旁征博引地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的实质,揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的奥妙关系,探讨了困惑几代思想家的重大问题,讲述了数学、哲学和物理学大师们的生存经验与思维,是一本妙不可言而又非常经典的数学思想史著述。 头图:freepik.com

September 18, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:神奇的走马灯数-142857

当初的小朋友,能看到走马灯实物的机会恐怕不多了。 走马灯是我国传统节日装璜玩具之一,常见于元宵中秋等传统节日。灯内点上蜡烛,焚烧产生的热力造成气流,带动轮轴转动。烛光将灯壁安排的剪纸图案投射进去,造成影像一直旋转挪动的成果。 现代的走马灯,灯壁各面习惯绘制现代武将骑马作战的图案,动静转动时视觉效果好像几位武将你追我赶一样,故得名为走马灯。 咱们假如有一盏具备 6 个面的走马灯,六个面顺次标注上 1 4 2 8 5 7 六个数,这六个数形成了所谓的走马灯数。网上有一种说法,这个数字最早见于一座埃及金字塔外部。 这个数有一些神奇的法则,本文记录如下。 首先它是一个质数,142857 = 3 × 3 × 3 × 11 × 13 × 37 将这个数别离与 1 ~6 相乘,所得乘积,依然由 1 4 2 8 5 7 六位数字组成。 142857 × 1 = 142857142857 × 2 = 285714142857 × 3 = 428571142857 × 4 = 571428142857 × 5 = 714285142857 × 6 = 857142 并且乘积满足这样的法则,最高位的数字,就是以乘数为索引值,在 [1,4,2,8,5,7] 这个整数数组进行排序后的新数组 [1,2,4,5,7,8] 里摘取的对应元素,假如数组索引以 1 结尾。 ...

September 11, 2022 · 2 min · jiezi

关于数学:关于坐标轴的旋转及绕某一点旋转后坐标值求解

之所以记录一下这个,是因为在coding时,发现在针对坐标轴旋转时利用到此知识点,又让我温习了高中常识,吐了,为了不便下次应用,记录一下美好时刻... 坐标轴的旋转不扭转坐标原点的地位和单位长度,只扭转坐标轴方向的坐标系的变换,叫做坐标轴的旋转 设点M在原坐标系中的坐标为(x,y),对应向量的模为r,幅角为.将坐标轴绕坐标原点,依照逆时针方向旋转角造成新坐标系,点M在新坐标系中的坐标为(如图2-4),则 由此失去坐标轴的旋转的坐标变换公式 原文链接如果有侵权,马上删除

September 10, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:数学建模十三问

“人们只看到他们想看到的货色”,心理学中将这种景象称为知觉选择性。知觉选择性,是指个体依据本人的须要与趣味,有目的地把某些刺激信息或刺激的某些方面作为知觉对象,而把其余事物作为背景,进行组织和加工的过程。——题记 2017 年以来,有幸和多个国家和地区的老师和学生探讨中学阶段尤其是高中阶段数学建模的资源、指标、倒退和瓶颈,在探讨中作为一线老师也深切的感触到中国大陆地区的老师和校长们对于中学数学建模教育的一些纳闷。这些纳闷是正当的,甚至是必要的,凸显出以后基础教育尤其是数学教育(包含公立和私立)倒退中的重大问题。 倒退中的问题肯定要在倒退中解决,所以不是急着发一些文件、说一些理念、立几面旗号就能解决的。然而一些根本问题还是须要有一些探讨。本文的作用不在于解答,也不在于发问,而在于出现——将很多人始终埋在心里没有问、不愿问、不肯问和不敢问的问题放在纸面上,造成一个探讨的根底——本文针对这些问题的所有意见,均是一个受过业余数学训练的一线教育工作者和改革实践者的切身了解,不是解答更不是领导,最多能够算作抛砖引玉。 问题 1:没感觉到数学在事实中有什么用?意见 1: 首先咱们定义一下什么叫“有用”。当然,学生考试能靠数学考个高分考上一个好大学,确实是“有用”,然而数学作为一个随同人类文明成长起来的一级学科,它的创建初衷和倒退方向必定不应该只是“考试有用”,而是面对社会生产生存的有用——具体的说,就是在各项社会事务中的优化、决策和设计中的“有用”。面对这样的“有用”的定义,数学有用吗?这个问题如果是电视台记者拿着话筒问所有数学教师,失去的答案必定都是“有用”。然而具体“怎么有用”,又有一部分人说不上来。这是为什么呢?是因为连同一线老师在内的很多人没有见过真的必要的数学利用。数学不是“数木棍有多少根”,不是“称重量筛选坏的桃子”,不是“预测今天午饭我要吃什么”,这些问题就算能用数学去解决,也没有必要用数学去解决,数学的重要性不是体现在这些问题的解决上。有很多事实问题是非数学不可察不可解的问题,比方“图片去雾霾”、“证实生物链的必要性”、“传染病的发展趋势”、“小区交通路线的设计”、“专家意见的和谐”等等。这些问题用高中课标内的数学都能够取得很好的解决,然而在教学中咱们都会抉择忽视,因为高考还没有考——这是前面的另一个事实的问题。想要让老师和学生感觉到数学真正的处用,至多须要做三件事:开发一定量的利用高中课标常识解决事实问题的案例和练习,而且要求是只能借助数学能力解决的问题;从教材、习题和考试中去掉人为编纂、假如不合理或者没有必要用数学就能很好解决的假问题(例如“小明匀速爬山多长时间到山顶”这样的问题);开设凋谢的网络平台,让学生和老师有机会将本人提出或解决的问题分享进来,建设“发问 → 解决 → 分享”的学术生态。 问题 2:数学建模是不是解应用题?意见 2: 各位都在超市见过那种包好的半成品菜,外面有洗好切好的食材和精准到毫克的黄金比例调料,只须要回到家用锅炒一下即可展现出标准化流程和后现代打算工业的风味。这种菜其实很好,不便了都市里繁忙的人们,也便于初学者学习做菜。然而如果有人问你:如果只会解决这些半成品不便菜,算不算会做菜?我想个别人的答复必定是否定的。因为“会做菜”是一个复合定义,包含:会挑菜、懂搭配、善刀工、能调味、精口感等一系列次级技能。这样能力以“会做菜”的身份为客人或家人做一桌上得了台面的佳肴。学习数学也是一样,仅仅会做那些曾经把数学构造都提取进去、没有任何不良构造、只有惟一标准化解答的应用题,不能算是学会了用数学解决问题。如果非要比拟的话,数学建模 ≈ 出应用题+做应用题+测验后果是否符合实际+订正题目+针对新问题失去更合乎事实的解答+周而复始以上过程。有人可能会抬杠:我如果仅仅是为了饥寒,不做酒席也不要上台面,是不是会解决半成品包装菜就能够了?那么当你买回来的菜依照说明书做出了一股奇怪的难以言表的滋味时,你是该质疑菜的品质而后去维权呢?还是该示意“这道菜可能其实就应该是这个滋味吧我反正也不晓得应该是什么滋味的算了”呢?就算一个人未来不从事数学利用事业,然而依照信息时代的倒退他的职业也多少会和数学或数学周边产品搭边,那时候受过肯定的数学建模教育,起码能够做到不那么容易上当受骗。图 1 超市货柜上的半成品不便菜. 问题 3:数学建模是不是在瞎扯淡?意见 3:我曾听过有老师说“数学建模就是瞎扯淡”。我感觉有肯定情理,因为如下三类数学建模就是在瞎扯淡。第一类:当初的社会上,为了职称的降职,发论文、做我的项目都要求实证钻研,有些钻研人员没有实证钻研,然而还心愿能把论文写出实证钻研的滋味,于是就拼凑数据、做假数据,甚至先有论断后剖析数据,拿数学建模硬为本人本不可靠的“钻研论断”凑“迷信范”。这就是在完完全全的瞎扯淡。第二类:有些教育机构,尤其是市面上最近几年倒退迅猛的以各种所谓的先进教育理念武装本人其实就是为了盈利的某某学校、某某学院们,他们声称本人研发了大量的 STEM 课程,并且在外面为了体现 M(Mathematics)的应用,就让孩子们用火柴棍搭桥数火柴的个数。这种挂羊头买狗肉的课程就是在完完全全的瞎扯淡。第三类:有些一线老师,公立和私立的都有,为了班级或学校的宣传,安顿学生用数学去解决一些事实问题。这原本是十分好的事件。然而学生一旦失去了一个后果,就被大肆宣传,被誉为小小科学家、小小明星,却没有人从业余的角度给孩子“泼泼冷水”、通知孩子他该如何测验后果和事实还有哪些差距、还能够从哪里改良、如何更加无效地应用学过的数学知识,导致孩子做了一个浅显的后果就戛然而止,做我的项目前程度是什么样,之后还是什么样,还莫名其妙地被扣上了一顶“雏鹰”的帽子,还认为搞学术就是这样糊弄一下就能够了。这种因为目标不纯将坏事大功告成反倒干坏了的数学建模,不仅是在瞎扯淡,而且贻害无穷!图 2 寰球最“经典”的“STEM 教学案例”木棍搭桥. 问题 4:数学建模对于学习数学有多大帮忙?意见 4: 数学建模是学习数学的最好伴侣。这里举一个具体的例子来阐明:大家都学习过函数,这是高中最根本的概念。然而为什么数学家当初要定义函数?同时,对于初等数学来说,不定义函数,只用代数式的计算就能够实现绝大多数的问题(尤其是高考题这种考试题),为何咱们还要在高中学习函数呢?在函数之前,数学中是没有构造来形容因果律的:A 是 B 的起因,B 是 C 的起因,咱们能说 A 是 C 的起因吗?不能!因为 A 的后果可能不仅仅是 B,而是 B1、B2、B3,而其中 B1 的后果中有 C、D、E、F,所以咱们能够说 A 是 B 的起因、B 是 C 的起因,然而却不能说 A 是 C 的起因,因为很有可能 A 是否产生,C 都会产生,A 也很可能只是 C 产生的一个主要因素。然而没有因果律就无奈进行因果构造的推演,所以函数和映射的概念应运而生。回顾:函数要求不能一对多,然而能够多对一,也就意味着数学上用函数承载因果构造时,能够思考“多个起因能够造成同一个后果”的事件而不可思考“一个起因造成多个后果”的事件。然而这样无奈形容主观世界啊!因为的确有“一个起因会造成多个后果”这种事件。于是概率论就呈现了,尤其是 20 世纪初概率论的严格化,将“一个起因造成多个后果”,实质上变为了“从低维到高维的带有坐标权重的向量值映射”。所以当初,你还感觉概率论和函数论是两个货色吗?回到数学建模,数学建模中充斥了对于常识根源和原理的形成性开掘。在数学建模的过程中,学生不得不思考和领会“这个概念为什么这样定义”、“这个概念和那个概念有什么分割”、“为什么是这样定义的而非那样定义的”等关乎数学素养的关键问题。很惋惜,同样的机会,在中学阶段,通过其它渠道不可能达成。 问题 5:数学建模是不是就是搞课外活动?意见 5: 数学建模能够是课外活动的模式,也能够是课内教学的模式,要害看目标是什么?如果是为了让学生综合应用这个学期学过的数学知识,独立地解决本人身边的事实问题,那么用一个数学建模我的项目去替换掉局部传统假期作业,作为一个假期流动,就是一个十分正当和牢靠的进口。如果是为了让学生利用最近这个单元的常识来解决某些问题的子问题,那么就非常适合作为课上的一道小题目让学生尝试。这个题目能够编排为传统练习题目标模式,也能够作为课堂流动的主题。这时候的数学建模就不是为了“学以致用”,而是为了“用以至学”,利用这个题目能够将最近所学的常识和之前学过的常识进行坚固、联系和重组。 ...

September 8, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:超越所有人的成就牛顿的光芒也无法掩盖的天才数学巨人

德国哲学家数学家 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646-1716) 就某些现实意义来说,咱们的微积分是莱布尼茨的微积分。 艾萨克 • 牛顿堪称所有时代最平凡的数学家之一。他的成就有数,而其中超过所有人的成就是创始了微积分。他与同时代人莱布尼茨一起分享这一荣誉。 事实上, 是莱布尼茨给出了这门学科的明确记法甚至是名字。然而,因牛顿率先创始了微积分而把他置于数学大师名单之首的学者们却经常漠视莱布尼茨,只管他也创始了微积分。在某种程度上,莱布尼茨仿佛被忘记了。这不仅不偏心也很可怜,因为在很多方面,莱布尼茨的故事和牛顿的一样, 也十分引人注目。 01十年学法1646年戈特弗里德 • 威廉 • 莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)出生于莱比锡。还是个孩子的时候,他就显示出宽泛的浏览趣味,而且他仿佛领有以惊人的速度学习任何货色的能力。莱布尼茨兴许是一位令人难忘的学者,他在十五岁那年进入大学。三年后他失去了学士和硕士学位, 不久之后失去了阿尔特多夫大学的法学博士学位,大有“一览众山小”的声势。与此同时在剑桥大学,牛顿正在披星戴月地钻研他那不凡的流数。而莱布尼茨只管实现了很多学科的学习,然而此时他对数学还是知之甚少。 几十年后他回顾说:“1672年, 当我达到巴黎时,我自学了几何,我确实对此学科晓得的很少,对这门学科,我没有耐性去看那一长串的证实。”甚至欧几里得对他来说都是个很神秘的人物,过后他碰巧看到了笛卡儿的《几何》,他发现它太难了。没有人可能想到仅在几年内,莱布尼茨的诸多发现会使他跻身数学伟人之列。法律占据了莱布尼茨接下来十年的大好时光。他受雇为美因茨选帝侯的参谋,并以这一身份承当内政使命,于1672年3月返回巴黎。 事实证明, 这一工作是他人生中重要的经验。这位年老的外交官醉心于他在那里感觉到的美术、文学和迷信的生机。他爱上了巴黎以及这一时期巴黎所展现出的所有,爱上了“太阳王”的都城。 02惠更斯的数学评估与平凡数学伟人的沉睡在法国首都寓居的泛滥知识分子当中,对莱布尼茨影响最大的是荷兰科学家克里斯蒂安 • 惠更斯(Christiaan Huygens, 1629—1695)。在这一重要期间,惠更斯充当着良师益友的角色,他想要评估一下这位年老敌人的数学敏感性,于是向莱布尼茨收回挑战,要求他求解上面的无穷级数的和(第n个分数的分母是前n个正整数之和。) 莱布尼茨仅凭着本身的聪慧而不是过来已有的训练在试验几次后把这个级数重写成而后,把括号中的每一个分数示意成两个分数,他把上式左边变成方括号中第一项之后的所有项都消掉了。用这样的办法,他正确地计算失去 这位数学老手已通过了惠更斯的测试。对于这个问题在莱布尼茨的生涯中所起的作用,历史学家约瑟夫 • 霍夫曼发表了评论,他说:“那个例子如果再略微难一点(莱布尼茨解不进去),那毫无疑问将浇灭他对数学的激情。”若是如此,胜利就不会光顾他。 莱布尼茨不仅解决了一个问题。因被无穷级数所吸引,他思考了很多其余例子。起初他说,对这样一些和的钻研,显然是他发现微积分的要害。这已成为莱布尼茨数学的标记,他就是要寻求一个根本准则,该准则可能把诸多相似问题组成的一大类问题对立起来。在很大水平上,他的蠢才赋予了他这样的能力,可能发现连贯仿佛不相干的非凡例子的个别法令。实现这样的剖析须要敏锐的智慧,而莱布尼茨当然领有这样的智慧。 他的工作的第二个特点是器重好的数学记法。他推广一套收集了很多符号和法令的“人类思维字母”,如果可能照其行事,它兴许会确保人们在数学乃至日常生活中做出正确的推理。只管这一雄伟打算素来没有变成事实,但被视为古代符号逻辑的前身。只管莱布尼茨没有胜利地符号化人类的思维,然而他引入的微积分记法却始终沿用至今。 在巴黎,他的智力旅行一直减速。他惯于博览群书,而且他的内政工作也对此带来影响,然而他还是很快进入数学的前沿阵地。到了1673年春天,他正式开始本人的钻研。莱布尼茨回顾说:“此时我曾经为本人独立后退做好了筹备,因为我读(数学)简直如同别人读浪漫故事一样。”戈特弗里德 • 威廉 • 莱布尼茨(拉法耶特学院图书馆惠允)当初,有些发现被认为是出于好奇心。例如,他解决了一个富裕挑战性的问题,找到了和为齐全平方且其平方和为齐全平方的平方的三个数(这类神秘问题在他那个时代很风行)。莱布尼茨发现的数是64、152和409,它们的和是这是一个齐全平方,而它们的平方和是这是一个平方的平方。他是如何发现这些数的并不重要,咱们要强调的是:他不是通过猜想失去的。[6]莱布尼茨还发现了上面这个乖僻的公式这个公式不仅令世界上某些大数学家感到困惑(某种意义上也包含莱布尼茨本人),而且还帮忙遍及了虚数。 03咱们的微积分是莱布尼茨的微积分这所有只是莱布尼茨数学生涯平凡篇章的序曲。随着在他巴黎寓所的工作的停顿,他不断深入钻研,到了1675年的秋天, 他曾经领有这个“新办法”,也就是咱们当初所说的微积分。这段时光对他来说是欢快的,而对数学来说是十分重要的。当古代观光客在巴黎的街道上漫步时,他们总是会想到诞生于这座平凡城市的美术、音乐和文学作品,维克托 • 雨果或图卢兹-洛特雷克这样的人物如同新生了。 然而,很少有人会意识到在三个多世纪前,同样的林荫道也见证了微积分的诞生。如果巴黎造就了平凡的艺术,它同样也造就平凡大的数学。很少有人意识到这一点,这也表明了莱布尼茨被重大忘记了。他的内政使命从1672年开始继续到1676年秋天,这年秋天他回到他的祖国德国。正是在德国,他于1684年发表了微分学的第一篇论文。 两年后,第二篇论文介绍了这门学科的另一个分支——积分学。事实上,过后的微积分思维还有很多逻辑有余。因而,它只能反映晚期不成熟的积分思维。当起初的数学家充沛把握了这一思维后,他们遇到了令人难以了解的实践阻碍,而这些阻碍直到19世纪的近代才得以解决。然而,戈特弗里德 • 威廉 • 莱布尼茨有资格分享属于他的光荣。造化弄人,莱布尼茨生存在牛顿的时代,如果说牛顿这颗亮堂的星星使莱布尼茨在公众记忆中的形象黯然失色, 那么也能够说,牛顿这颗明星将使所有星星都失色。 然而,数学界还是给莱布尼茨以充沛的必定。与牛顿一样,他发现了微分和积分的平凡思维,并且意识到微积分根本定理是二者之间的桥梁;与牛顿不同的是,他与世界分享了这些成绩。因而,莱布尼茨启发了其他人,特地是伯努利兄弟,通过他们集体的钻研和互相交换,他们构思了明天咱们所晓得的这门学科。就某些现实意义来说,咱们的微积分是莱布尼茨的微积分。 该说的都说了,该做的都做了,在数学历史上这样一个重要时刻,重要的事实是这两位平凡的蠢才——牛顿和他的同辈莱布尼茨——同时施展着作用,而不是一个人独领风骚。 深受读者青睐的十年经典,千呼万唤的好书再版重出看完顿感舒爽,让数学课堂上的常识变得更好懂、更通透无需动用纸笔,纵览数学世界不可不谈的平凡定理、难题和争执好奇心大满足,纵览数学的外围常识和历史八卦

September 2, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:Kev的数学建模模型学习1线性规划模型

1. 情景代入大学毕业后,你继承了家里的工厂,成为了一名厂长。你的工厂能够生产A、B、C三种产品,生产三种产品会用到a、b、c三种原材料。你的工厂通过长期生产曾经摸索出生产每种产品所耗费的原料和单位产品的利润;你通过调取仓库库存,理解了可利用的各种原料的库存(如下表)。当初你须要制订一个生产打算,使你的工厂的总利润最大。 原料 \ 产品ABC库存a34260b21240c13280单位产品利润243 2. 模型介绍【定义】线性规划模型是在一系列等式或不等式约束条件下,是某个或多个指标函数达到最值的数学模型。 别怕,我也看不懂 ^o^,但咱们能够大略剖析一下:像每种原料的库存,就应该是属于一种约束条件,因为当你的工厂用完了某种原材料,那么它将不能再生产任何须要该原材料的产品,即便其余原材料还有残余,此时你的工厂的生产就受到了束缚;其次咱们制订生产打算的指标是要取得最大的利润,所以利润就该当属于指标函数,因为咱们在这个过程中是想取得利润函数的极大值。最初咱们的生产打算就是要确定生产多少产品A、多少产品B、多少产品C以取得最大利润,像这样的一系列生产数量,称为你对这个问题的决策。 3. 模型的个别模式决策变量:通常是所钻研的问题要求解的未知量。在你的工厂中,它示意了工厂将生产多少产品A、多少产品B、多少产品C。$$X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$$ 指标函数:通常是所钻研的问题要求达到最大(最小)的那个指标的数学表达式,它是决策变量的函数, 记为$f(x)$。在你的工厂中,它就是你的利润函数。约束条件:通常是所钻研问题的决策向量$X$的限度条件,$X$容许取值的范畴记为$D$,称为可行域,有$X \in D$。$D$通常由一组对于决策变量$X$的等式$h_i(X) = 0$,和不等式$g_j(X) \geq 0$或$g_i(X) \leq 0$来界定。其中$h_i$称为等式束缚,$g_i$称为不等式束缚。线性规划模型次要就包含以上3个局部,其个别模式能够示意为: $$max(min) \; z = f(X) $$ $$s.t. \left\{ \begin{aligned} h_i(X) &= 0, \quad (i = 1, 2, \cdots, p) \\ g_j(X) &\leq 0, \quad (j = p+1, p+2, \cdots, n) \\ \end{aligned} \right.$$ 其中$max(min)$示意对指标函数求最大值或最小值,$s.j. $示意受约束于$(subject \ to)$。由数学布局模型的个别模式,可行域可表白为: $$ D = \{X|h_i(X) = 0; \; g_j(X) \leq 0\}$$ ...

July 28, 2022 · 2 min · jiezi

关于数学:MATLAB-R2022a数学科学计算分析工具winmac

MATLAB R2022a是一款功能强大的数学科学计算剖析工具!MATLAB能够进行矩阵运算,绘制函数和数据,实现算法,创立用户界面,连贯其余编程语言的程序等,次要利用于工程计算,管制设计,信号处理与通信,图像处理,信号检测,金融建模设计与剖析等畛域。MATLAB的根本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学,工程中罕用的模式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言实现雷同的事件简捷得多,并且MATLAB也排汇了像枫树等软件的长处,使MATLAB成为一个弱小的数学软件。在新的版本中也退出了对C,FORTRAN,C ++,JAVA的反对。软件下载:Mac:https://www.macz.com/mac/8554...WIn:https://soft.macxf.com/soft/2...

July 11, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:解剖最深奥的Defi协议-curve-V2

接着上一片的curve V1的钻研(https://segmentfault.com/a/11...),始终把curve V2的整顿利落到了当初。真的好难好难~~背景在Uniswap v3中,流动性提供者可能定义他们违心交易的价格来定义区间流动性。这很弱小,因为它容许AMM在人们可能想要交易的价格范畴内领有更多可用资金。以前,大宗交易可能会使AMM与市场重大脱节,以至于交易者可能会缩小交易量。Uniswap v3办法须要LP十分踊跃的治理。 curve v2提议将大致相同的零碎自动化。 基本上,它依据Curve上的交易确定一个外部价格挂钩,并将流动性集中在这个挂钩上。钉子能够挪动,但只有在挪动不会导致流动性提供者产生太大的损失时才会这样做。 简介CurveV2采纳的根本理念与UniswapV3十分类似--围绕 "均衡点"汇集流动性。两者都不依附内部预测器来达到 "均衡点",而是依附传统的AMM零碎外部的交易博弈,直到零碎平衡,curve v2和uniswap v3一样,都非常重视任何内部危险。尽管不依赖于内部因素,但这两种模式,特地是Curve V2,为通向广泛替换路线上的一系列挑战提供了十分优越的解决方案,如极低的无常损失、集中流动性、进步资本效率、低滑点、动静费用等。这当然是因为其 "反常 "的数学模型。 该数学模型最外围的局部是其发明了一种全新的曲线模式。从上图的视觉效果来看,两条虚线是恒定的产品曲线(xy=k和curve v1),蓝线是驰名的curve V1稳固的硬币兑换曲线,而曲线V2结构的黄色曲线有两个基本特征-- (1) 它处于xy=1和curve V1曲线之间。 (2) curv1的尾部特色具备显著的xy=1曲线拟合。 所以,curve V2能够解决什么问题?(a) 它继承了curve V1在 "平衡点 "左近区域的超低滑动性和汇集流动性方面的劣势。 (b) 通过在xy=1曲线和curve v1之间,以及在曲线的两头和尾部进行拟合,它取得了xy=1曲线对流动性变动快速反应的劣势,防止了池子里的流动性耗尽,对市场的疾速变动作出了灵便的反馈。 公式推导在我上一篇Curve V1的数学模型(https://segmentfault.com/a/11...)中,拟合后的曲线的表达式是如下所示。 $$ An^n\sum{x_i} + D = ADn^n + \frac{D^{n+1}}{n^n\prod{x_i}} $$ Curve V2的数学模型和Curve V1相似: $$K D^{N-1} \sum x_{i}+\prod x_{i}=K D^{N}+\left(\frac{D}{N}\right)^{N}$$ 其中,和curve V1一样,Curve V2也有一个杠杠率$K$。这个\(K\)是用来和曲线xy=1拟合的。 $$K_{0}=\frac{\prod x_{i} N^{N}}{D^{N}}, \quad K=A K_{0} \frac{\gamma^{2}}{\left(\gamma+1-K_{0}\right)^{2}}$$ 下面这个看起来比拟难了解。看下图可能就不难理解了。\( K_{stableswap} \) 是curve v1的常量,咱们能够看到curve V2中\( k_{0} \) 是\( K_{stableswap} \)当A=1的时候的非凡状况。所以, \( K_{curveSwap} = K_{StableSwap} \frac{\gamma^{2}}{\left(\gamma+1-K_{0}\right)^{2}} \)。艰深的解释就是,CurveSwap 就是 stableswap 算法中 w / decaying A。 ...

April 24, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:大数定律

接上一篇 切比雪夫不等式,本篇探讨统计学上一个十分重要的实践,即大数定律,它是概率论的根本实践。 大数定律的直观表白十分合乎咱们的直觉,例如一个一般硬币如果扔足够屡次,那么正反面的次数将会有限靠近于 50%;或者一个被做了弊的硬币,扔出侧面的实践概率是 0.7,那么当咱们扔足够屡次时,正反面的次数将有限靠近于 70% 和 30%。 这种从无数次反复试验迫近概率理论值的过程,就是大数定律所形容的事件:即当试验次数 \(N\) 足够大时,事实频率(frequency)将会有限靠近于实践概率(probability)。 作为一个失常思维的人看来这仿佛是天经地义的,然而这是数学,这样一个看上去不言而喻的论断却并不是公理,咱们须要严格的实践证实。 辛钦大数定理大数定律是几个定理的总称,咱们这里探讨的是它的根底版本,也是所有其它后续定理的引理,即辛钦大数定理。 思考一个随机变量 \(X\),合乎某种概率分布,它的期望值为 \(E(X) = \mu\),方差为 \(\sigma^2\);通常咱们并不确切晓得 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的实在值,只能用采样的形式来预计它们。每次采样一个 \(X\) 的值,失去一连串的采样值: $$X_1, X_2, X_3 ... X_n$$ 它们是相互独立的,且都合乎原始 \(X\) 的散布。 辛钦大数定理论述的是:当 \(n\) 足够大时,这 \(n\) 个采样数据的的平均值 \(\overline X\) 将会有限靠近于期望值 \(\mu\)。 然而这是一种直观表白,咱们如何用谨严的数学语言来定义 “有限靠近于期望值” 这件事件?这须要用到微积分中极限的相干概念。 对于任意 \(\epsilon>0\),有: $$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P(|\overline X - \mu| < \epsilon) = 1$$ 也就是说当 \(n\) 趋向于 \(+\infty\) 时,\(\overline X\) 在概率分布上存在一个极限 \(\mu\),这被称为 \(\overline X\) 依概率收敛于 \(\mu\)。 有了严格的数学定义,咱们再来思考如何证实这个看上去如同很显然的论断。 证实因为 \(X\) 的期望值为 \(E(X) = \mu\),方差为 \(\sigma^2\),当初咱们来思考 \(\overline X\) 的期望值和方差。实际上咱们有如下结论: ...

April 5, 2022 · 2 min · jiezi

关于数学:切比雪夫不等式

本篇探讨统计学中一个十分重要的不等式,切比雪夫(Chebyshev)不等式。 切比雪夫不等式通常是在钻研随机变量的期望值和方差的时候会提到的一个论断,它看上去仿佛很简单,但其实有着十分直观的解释和作用,同时它也是前面要探讨的大数定律的根底引理,真的是十分十分重要。 马尔可夫不等式在探讨切比雪夫不等式之前,首先须要了解它的根底版本,即马尔可夫(Markov)不等式,它相对而言更简略,有着更直观的解释。 马尔可夫不等式的模式是,思考随机变量\( X \geq 0 \) ,它的期望值为 \( E(X) \),那么对于任意 \( a>0 \) 有如下不等式成立: $$P(X \geq a) \leq {E(x) \over a}$$ 也就是说对于任意负数 \( a \),\( X\geq a \) 的概率被束缚在了某个下限; 这是为什么?初看感觉很神奇,然而它的证实非常简单。咱们这里只思考离散随机变量(连续性的随机变量也是一样的): $$\begin{align}E(X) &= \sum{X_iP(X_i)}\\&\geq \sum_{X \geq a}{X_iP(X_i)}\\&\geq \sum_{X \geq a}{aP(X_i)} = a\sum_{X \geq a}P(X_i) = aP(X\geq a)\end{align}$$ 因而: $$\begin{align}& a \cdot P(X\geq a)\leq E(X)\\& P(X \geq a) \leq {E(x) \over a}\end{align}$$ 不要被下面一连串的式子吓到,如果你看懂了,能够尝试从更直观的角度去了解它,马尔可夫不等式到底在说一件什么事件? 对于任意一个值 \( a > 0 \),\( X \) 在散布上有比 \( a \) 小的局部,也有大于等于 \( a \) 的局部: ...

April 5, 2022 · 2 min · jiezi

关于数学:2023年考研人数预测

背景2022年”考研“相干词汇频繁登上微博热搜,从往年考研比今年多70万的457万报考人数,到考研国家进去各业余国家线均上涨10分,至可能约有300万无奈上榜。考研真是一年更比一年卷。而其中的起因可能为疫情下经济的低迷,教培行业的整顿,以及把更好的生存的冀望寄托于考研之上。本篇文章不关注为何热衷于考研,次要用收集到的数据,对2023年考研人数做一个简略的预测。 数据2019年本科录取人数约为435万数据起源:https://new.qq.com/omn/201908...2022年考研人数457万数据起源:https://yz.chsi.com.cn/kyzx/k...2022年对于未过考研国家线人数是否持续参加考研,微博投票约有15万人参加投票,其中约有5万人抉择放弃考研,6.3万人抉择持续,3.5万人仍在思考。数据起源:新浪微博(仍在更新)2021年全国共招收研究生117.65万人。其中,招收博士生12.58万人,硕士生105.07万人。数据起源:http://www.moe.gov.cn/fbh/liv...2019年考研应届生报考比例约为51.77%数据起源:https://yz.chsi.com.cn/yzzt/f...qq考研群投票数据,264人参加投票(仅作参考)。 其中放弃人数67人,未上指标院校再考人数160人,思考中37人。院校群放弃持续思考中共计东华大学59014东南大学28481692上海科技大学1840159中国科技大学917733南京大学7461366共计6716037264假如往年研究生招生人数与去年雷同,并假如去除推免人数有105万考试录取名额。微博投票能反映考研群体的抉择。报考院校qq群投票数据作为参考。2023年本科毕业人数435万人,其中60%会加入研究生考试。将思考中的人数,依照比例分为持续和放弃两类。推理2022年将有457-105=352万人未能被院校录取。依据微博投票,"二战":"放弃"=6.3: 5.0约为6:5。可知“思考中”约有3.5*6/11=1.9万人持续参加考研,残余1.6万人抉择放弃。可知抉择重考的人数占落榜总人数约为(1.6+6.3)/15=0.53。 约有325*0.53=172万往届生参加2023年研考。 约有435*60%=261万应届生参加2023年研考。对于qq群投票,其中再参加考试比例约为0.70。 总结2023年研考人数约为:应届生+往届生=261+172=433万人

March 13, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:Curve-V1数学模型

curve,uniswap是Defi Developer的必学协定。在亮神的领导下我把白皮书和源码都过了一遍,但私底下还是要把最重要的局部整顿一下。背景Curve V1要解决的问题就是稳固兑换问题。Uniswap V2的AMM公式xy=k的滑点太高了。Curve V1其实心愿能够没有滑点1:1兑换。然而这个显著不太事实。如下图,红色虚线的 Constant Price是 x + y = const。紫色虚线就是 uniswap的AMM公式,xy=const。咱们能够看到,红色线的兑换的价格滑点比紫色的小得多。所以,curve心愿构建一个蓝色的曲线,“尽可能贴合”红色虚线。这就是curve的最外围的思维。 公式推导假如在有n个组合的交易池中进行交易,思考极其无滑点状况即永远1:1兑换,即存在守恒量 $$ \sum{x_i} = D $$ 其中xi为第i个代币数量,所有代币数量和为常量。不便起见假如xi = D/n,思考uniswap中存在滑点的常量积公式为$$\prod{x_i} = (\frac{D}{n})^n$$ 公式1是一种思考极其无滑点的状况,能够了解为无穷杠杠;公式2是一种思考了滑点的状况,等价于0杠杠。咱们要去思考在两种极其的状况下取均衡。所以,设置了杠杠率X,让公式1和公式2进行线性加权。将以上两个极其状况进行线性组合成为适宜稳固币的报价函数,组合系数选取为$$\chi{D^{n-1}}$$以满足量纲要求。最终失去$$\chi{D^{n-1}}\sum{x_i} + \prod{x_i} = \chi{D^n} + (\frac{D}{n})^n$$ 同时,如果上式始终成立,公式会依赖参数杠杠率X进行交易。 然而,参数X不反对远离现实价格 1.0 的价格。(下面的公式只反对当价格为$1的流动性反对)为了保障在任意价格都能提供流动性,这里取组合系数为变量,适当减少了交易数量对价格的影响。curve工程师们对参数X进行了函数定义: $$ \chi = \frac{A\prod{x_i}}{{(D/n)}^n} $$ 这里A为常数。由公式可知当每个代币数量均相等时$$\chi=A$$为常数,当不相等时$$\chi$$变小产生更多滑点,公式趋势amm模式。最终失去 $$ An^n\sum{x_i} + D = ADn^n + \frac{D^{n+1}}{n^n\prod{x_i}} $$ 把下面的公式移我的项目就能够失去AMM的最终求根公式: $$ y^{2}+\left(\frac{D}{A n^{n}}+\sum_{j \neq \text { out }} x_{j}^{\prime}-D\right) y-\frac{D^{n+1}}{A n^{2 n} \prod_{j \neq \text { out }} x_{j}^{\prime}}=0 $$ ...

March 12, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:图解AI数学基础-微积分与最优化

作者:韩信子@ShowMeAI教程地址:http://www.showmeai.tech/tutorials/83本文地址:http://www.showmeai.tech/article-detail/165申明:版权所有,转载请分割平台与作者并注明出处 1.最优化实践(Optimality Theory)咱们在做事过程中,会心愿以最小的代价获得最大的收益。在解决一些工程问题时,人们常会遇到多种因素交错在一起与决策指标相互影响的状况;咱们会应用最优化数学实践来应答这一挑战,而大家理解的线性规划也是最早的最优化办法之一。 李航博士的《统计学习办法》将机器学习总结为:机器学习 = 模型 + 策略 + 算法。而公式中的算法指的就是优化算法。大家在算法求职面试过程中,在我的项目模型成果调优过程中,都常常会遇到优化算法,它是学习AI必备的数学知识。 2.最优化问题的数学形容最优化的根本数学模型如下公式所示: $$\begin{array}{ll}\min & f(\mathbf{x}) \\\text { s.t. } & h_{i}(\mathbf{x})=0 \\& g_{j}(\mathbf{x}) \leqslant 0\end{array}$$ 它有三个基本要素,即: 设计变量:\( \bold{x} \)是一个实数域范畴内的\( n \)维向量,被称为决策变量或问题的解;指标函数:\( f(x) \)为指标函数;约束条件:\( h_{i} \left( x \right) =0 \)称为等式束缚,\( g_{j} \left( x \right) \leq 0 \)为不等式束缚,\( i,j=0,1,2,\dots \)3.凸集与凸集拆散定理1)凸集(Convex Set)实数域\( R \)上(或复数\( C \)上)的向量空间中,如果汇合\( S \)中任两点的连线上的点都在\( S \)内,则称汇合\( S \)为凸集。 设汇合\( S\subset R^{n} \),若对于任意两点\( x, y \in S \),及实数\( \lambda(0 \leq \lambda \leq 1) \)都有:\( \lambda x+(1-\lambda) y \in S \)则称汇合\( \mathrm{S} \)为凸集。 ...

February 25, 2022 · 3 min · jiezi

关于数学:图解AI数学基础-信息论

作者:韩信子@ShowMeAI教程地址:http://www.showmeai.tech/tutorials/83本文地址:http://www.showmeai.tech/article-detail/164申明:版权所有,转载请分割平台与作者并注明出处 信息论是使用概率论与数理统计的办法钻研信息、信息熵、通信零碎、数据传输、密码学、数据压缩等问题的利用数学学科。信息论中蕴含的常识和概念在机器学习中也有利用,典型的例子是其核心思想『熵』的利用。 例如,决策树模型ID3、C4.5中是利用信息增益来确定划分特色而逐渐成长和构建决策树的;其中,信息增益就是基于信息论中的熵。 1.熵(Entropy)熵是1854年由克劳休斯提出的一个用来度量体系凌乱水平的单位,并论述了热力学第二定律熵增原理:在孤立零碎中,体系与环境没有能量替换,体系总是自发的向凌乱度增大的方向变动,使整个零碎的熵值越来越大。 熵越大,表征的随机变量的不确定度越大,其含有的信息量越多。随机变量\( X \)可能的取值为 $$\left\{ x_{1},x_{2} ,\dots ,x_{n} \right\} $$ 其概率分布为\( P\left( X=x_{i} \right) =p_{i} \),\( i = 1, 2, \dots, n \),则随机变量\( X \)的熵定义为\( H(X) \): $$H\left( X \right) =-\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) logP\left( x_{i} \right) } =\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) \frac{1}{logP\left( x_{i} \right) } }$$ 2.联结熵(Joint Entropy ) 联结熵,就是度量一个联结散布的随机零碎的不确定度。散布为\( P(x,y) \)的一对随机变量\( (X,Y) \),其联结熵定义为: $$H\left( X,Y \right) =-\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{P\left( x_{i} ,y_{j} \right)} logP\left( x_{i},y_{j} \right) } =E\left[ \log\frac{1}{p(x,y)} \right]$$ ...

February 25, 2022 · 2 min · jiezi

关于数学:图解AI数学基础-概率与统计

作者:韩信子@ShowMeAI教程地址:http://www.showmeai.tech/tutorials/83本文地址:http://www.showmeai.tech/article-detail/163申明:版权所有,转载请分割平台与作者并注明出处 1.概率论及在AI中的应用概率(Probability),反映随机事件呈现的可能性大小。事件\( A \)呈现的概率,用\( P(A) \)示意。 概率论(Probability Theory),是钻研随机景象数量法则的数学分支,度量事物的不确定性。 机器学习大部分时候解决的都是不确定量或随机量。因而,绝对计算机科学的其余许多分支而言,机器学习会更多地应用概率论。很多典型的机器学习算法模型也是基于概率的,比方奢侈贝叶斯(Naive Bayesian)等。 在人工智能畛域,概率论有宽泛的利用: 能够借助于概率办法设计算法(概率型模型,如奢侈贝叶斯算法)。能够基于概率与统计进行预测剖析(如神经网络中的softmax)。2.随机变量(Random Variable)简略地说,随机变量是指随机事件的数量体现,是能够『随机』地取不同值的『变量』。通常,用大写字母来示意随机变量自身,而用带数字下标的小写字母来示意随机变量可能取到的值。 例如,\( X \)为随机变量,\( x_{1} \)、\( x_{2} \)、\( x_{i} \)是随机变量\( X \)可能的取值。 随机变量能够分为『离散型随机变量』和『连续型随机变量』: 离散型随机变量(discrete random variable):即在肯定区间内变量取值为无限个(或可数个)。例如,某地区某年的出世人口数。连续型随机变量(continuous random variable):即在肯定区间内变量取值为有限个(或数值无奈一一列举进去)。例如,某地区男性衰弱成人的体重值。3.随机向量(Random Vector) 将几个随机变量按程序放在一起,组成向量的模式,就是随机向量。 在样本空间全副都一样的状况下,一个\( n \)维的随机向量是 $$ x \overrightarrow{(\xi)}=\left(\begin{array}{c}x_{1}(\xi) \\x_{2}(\xi) \\\cdots \\x_{n}(\xi)\end{array}\right)$$ 其中,\( \xi \)就是样本空间中的样本点。随机变量是1维随机向量的非凡状况。 4.概率分布(Probability Distribution)狭义上,概率分布用于表述随机变量取值的概率法则。或者说,给定某随机变量的取值范畴,概率分布示意该随机事件呈现的可能性。 广义地,概率分布指随机变量地概率分布函数,也称累积散布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)。 离散型随机变量的概率分布: 应用散布列形容离散型随机变量的概率分布,即给出离散型随机变量的全副取值及每个值的概率。常见的离散型随机变量的散布有:单点散布、0-1散布、几何散布、二项分布、泊松散布等。连续型随机变量的概率分布: 如果随机变量\( X \)的散布函数为\( F(x) \),存在非负函数\( f (x) \)使对于任意实数\( x \)有\( F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t \),则称\( X \)为连续型随机变量 ,其中函数\( f(x) \)称为\( X \)的概率密度函数。 ...

February 25, 2022 · 4 min · jiezi

关于数学:图解AI数学基础-线性代数与矩阵论

作者:韩信子@ShowMeAI 教程地址:http://www.showmeai.tech/tutorials/83 本文地址:http://www.showmeai.tech/article-detail/162 申明:版权所有,转载请分割平台与作者并注明出处 1.标量(Scalar)一个标量就是一个独自的数。只具备数值大小,没有方向(局部有正负之分),运算遵循个别的代数法令。 个别用小写的变量名称示意。品质\( m \)、速率\( v \)、工夫\( t \)、电阻\( \rho \) 等物理量,都是数据标量。2.向量(Vector)向量指具备大小和方向的量,状态上看就是一列数。 通常赋予向量粗体小写的名称;手写体则在字母上加一个向右的箭头。向量中的元素是有序排列的,通过索引能够确定每个元素。以下两种形式,能够明确示意向量中的元素时(留神用方括号)。能够把向量看作空间中的有向线段,向量的每个组成元素,对应向量在不同的坐标轴上的投影长度。AI中的利用:在机器学习中,单条数据样本的表征都是以向量化的模式来实现的。向量化的形式能够帮忙AI算法在迭代与计算过程中,以更高效的形式实现。 3.矩阵(Matrix)矩阵是二维数组,其中的每一个元素被两个索引确定。矩阵在机器学习中至关重要,无处不在。 通常会赋予矩阵粗体大写的变量名称。AI中的利用:样本以矩阵状态示意:\( m \)条数据/样本,\( n \)个特色的数据集,就是一个\( m \times n \)的矩阵。 4.张量(Tensor)几何代数中定义的张量,是基于向量和矩阵的推广。 标量,能够视为零阶张量向量,能够视为一阶张量矩阵,能够视为二阶张量 图片以矩阵状态示意:将一张彩色图片示意成一个\( H \times W \times C \)的三阶张量,其中\( H \)是高,\( W \)是宽,\( C \)通常取3,示意黑白图3个色彩通道。在这个例子的根底上,将这一定义持续扩大,即:用四阶张量(样本,高度,宽度,通道)示意一个蕴含多张图片的数据集,其中,样本示意图片在数据集中的编号。用五阶张量(样本,帧速,高度,宽度,通道)示意视频。AI中的利用:张量是深度学习中一个十分重要的概念,大部分的数据和权重都是以张量的状态存储的,后续的所有运算和优化算法也都是基于张量进行的。 5.范数(Norm)范数是一种强化了的间隔概念;简略来说,能够把『范数』了解为『间隔』。 在数学上,范数包含『向量范数』和『矩阵范数』: 向量范数(Vector Norm),表征向量空间中向量的大小。向量空间中的向量都是有大小的,这个大小就是用范数来度量。不同的范数都能够来度量这个大小,就好比米和尺都能够来度量远近一样。矩阵范数(Matrix Norm),表征矩阵引起变动的大小。比方,通过运算\( \boldsymbol{A}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B} \),能够将向量\( \boldsymbol{X} \)变动为\( \boldsymbol{B} \),矩阵范数就能够度量这个变动的大小。 向量范数的计算: 对于\( \mathrm{p} - \)范数,如果\( \boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{\mathrm{T}} \),那么向量\( \boldsymbol{x} \)的\( \mathrm{p} - \)范数就是\( |\boldsymbol{x}|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \)。 ...

February 24, 2022 · 3 min · jiezi

关于数学:图解AI数学基础从入门到精通系列教程

作者:韩信子@ShowMeAI教程地址:http://www.showmeai.tech/tuto...本文地址:http://www.showmeai.tech/article-detail/166申明:版权所有,转载请分割平台与作者并注明出处引言本系列教程 开展解说AI所需的数学基础知识,力求以最直观最易懂的形式给帮忙大家把握AI依赖的数学知识最小子集。本教程内容笼罩线性代数与矩阵论,概率与统计,信息论,微积分与最优化几个外围的常识板块。 教程地址点击查看残缺教程学习门路内容章节1.线性代数与矩阵论 2.概率与统计 3.信息论 4.微积分与最优化 ShowMeAI系列教程举荐图解Python编程:从入门到精通系列教程图解数据分析:从入门到精通系列教程图解AI数学根底:从入门到精通系列教程图解大数据技术:从入门到精通系列教程

February 24, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:Golang力扣LeetBook初级算法字符串整数反转

题目:给你一个 32 位的有符号整数 x ,返回将 x 中的数字局部反转后的后果。如果反转后整数超过 32 位的有符号整数的范畴 [−231, 231 − 1] ,就返回 0。 链接: 力扣LeetBook—高级算法—字符串—整数反转. 示例 1: 输出:x = 123输入:321示例 2: 输出:x = -123输入:-321示例 3: 输出:x = 120输入:21示例 4: 输出:x = 0输入:0标签:数学 留神:Go语言中符号 “ ^ ” 不再用于次方,而是示意“按位异或的运算”,so不能够用2^31示意,在这我就用了math.Pow函数 次要Go代码如下: package mainimport ( "fmt" "math")func reverse(x int) int { sum := 0 for x != 0 { a := x % 10 sum = sum*10 + a x = x / 10 Max := int(math.Pow(2, 31) - 1) Min := int(math.Pow(-2, 31) - 1) if sum > Max || sum < Min { return 0 } } return sum}func main() { fmt.Println(reverse(321))}提交截图: ...

January 16, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:数学思维导论一-Introduction-to-Mathematical-Thinking-什么是数学为什么要学习数学

什么是数学?通常咱们都认为数学是一系列的特定步骤去解决数学问题,但更要探索为何要用这些步骤。 1. 数学不仅仅是算术数学被认为是在大概一万年前创造数字和算术时开始的,目标是为了给世界带来财产。在随后的几个世纪里,古埃及人和巴比伦人将这个主题扩大到包含几何学和三角学。在以上文化中,数学是实用的,就像菜谱一样,依照步骤就能失去想要的后果。 大概公元前 500 年到公元 300 年的期间是希腊数学的时代。古希腊数学家特地器重几何学。事实上,他们以几何的形式将数字视为长度的度量,当他们发现存在长度和他们的数字不相符(无理长的发现),他们对数字的钻研就停滞了。(传说发现这个的年老希腊数学家被带到海里淹死,免得他把偶尔发现的可怕音讯泄露进来。没有任何证据反对这个空想故事。 惋惜,因为这是一个平凡的故事。) 是希腊人把数学带到了钻研的畛域,而不仅仅是测量,计数之类的技术, 大概在公元前 500 年,米利都(位于安纳托利亚西海岸线上的一座古希腊城邦)的泰勒斯(当初是土耳其的一部分)提出了这样一种观点,即数学的准确陈说通过正式论证能够在逻辑上失去证实。这一翻新标记着定理的诞生,当初是数学的基石。 对于希腊人来说,这种办法在欧几里得的《几何本来》的出版中达到了高峰,《几何本来》据说是在《圣经》之后最流传的书籍。 第一个千年前半期印度古代位值算术的倒退及其在千年后半期穆斯林世界的贸易商和学者的扩大(包含代数)进一步推动了该学科,因为中世纪南欧的那些思维该学科更进一步倒退了。 只管数学从那时起始终在倒退,并且没有进行的迹象,但总的来说,学校数学包含下面列出的倒退,以及来自 17 世纪的两个进一步的提高:微积分和概率论。 在过来的三百年里,简直没有任何货色进入课堂。 然而,当今世界应用的大部分数学都是在过来的 200 年中倒退起来的! 在美国雇佣数学家最多的是美国安全部门(National Security Agency)大多数都在做解密工作。 过来一百年左右,数学流动戏剧性的爆炸增长。 在 20 世纪初,能够正当地认为数学由大概 12 门不同的学科组成:算术、几何、微积分等等。 明天,数学有大概六十到七十个不同的类别。 一些学科,如代数或拓扑学,曾经分成了不同的子畛域; 其余的,如复杂性实践或动力系统实践,则是全新的钻研畛域。 1980 年代数学的迅猛发展导致了数学作为模式迷信(science of patterns)(或者说迷信的模式)的新定义的呈现。 依据这种形容,数学家辨认并剖析形象模式——数字模式、形态模式、静止模式、行为模式、群体中的投票模式、反复偶尔事件的模式等等。 这些模式能够是实在的或设想的,视觉的或心理的,动态的或动静的,定性的或定量的,功利的或娱乐的。 它们可能来自咱们四周的世界,来自对迷信的谋求,或来自人类思维的外部运作。 不同类型的模式产生不同的数学分支。 例如: 算数和数论钻研数字和计数的模式几何学钻研物体形态的模式概率论钻研几率的模式拓扑学钻研近度(远近),地位等模式分形几何钻研自然界中发现的自相似性。 数学事件 总结数学由数字和计算倒退到迷信的模式,从实体中形象出数学的模式进行准确剖析钻研。 2. 数学符号用语言表述数学定理会更加简单,所以形象出数学的语言:符号。但数学不是符号,正如音乐不是音符一样。只有在脑钟把各种音符组合从而弹奏出的声音才是音乐,正如数学,了解各种数学符号组成起来的背地的意义才是数学。 符号有时比文字更能无效的传递信息。而数学的语言是符号,了解世界的语言是数学。数学让不可感知的变为可感知的。 The great book of nature can be read only by those who know the language in which it was written. And this language is mathematics ---- 《The Assayer》 Galileo Galilei3. 当代大学数学在19世纪起,重心由计算转移到了了解形象的概念和实践,以及它们之间的分割。 ...

January 5, 2022 · 1 min · jiezi

关于数学:Jordan-矩阵有啥用呢

用于判断两个矩阵是否类似。 断定两个矩阵是否类似不是件容易的事,即便他们有雷同的特色多项式、迹和行列式,他们依然可能不类似。 那么咱们的想法是:如果能将给定的两个矩阵A,B通过相似性转换成同一类矩阵,那么他们必然是类似的。 而因为种种原因间接寻找对角矩阵或者上三角矩阵在实际操作中都或多或少有一些问题, 因而咱们的想法是:寻找介于对角矩阵和上三角矩阵之间的一类矩阵,这就是Jordan矩阵,Jordan矩阵有如下性质,使得咱们断定矩阵类似变得容易起来: 两个Jordan矩阵类似,当且仅当他们有雷同的对角分块(不计排列秩序),那么这两个Jordan矩阵类似。 因而,咱们想要断定两个矩阵是否类似就等价于做这件事: 如果两个矩阵 A,B 能够类似于两个Jordan矩阵,且这两个Jordan矩阵类似,那么矩阵A,B也类似。 参考文献: R. A. Horn, C. R. Johnson.《Matrix Analysis》

August 6, 2021 · 1 min · jiezi

关于数学:欧拉项目-98题-Anagramic-squares

原文公布于我的小站 - 欧拉我的项目 | 98题 | Anagramic squares 98题链接 将单词CARE的每个字母替换成1,2,9,6,失去一个平方数$1296=36^2$,更重要的是,RACE对应字母也换成这几个数字,又能失去一个平方数$9216=96^2$。那么这两单词被称为平方变位单词对(a square anagram word pair)。平方数不能是0开始的,不同的字母不能有雷同的数字。 题目给出了一系列单词,要求所有的单词对都从这些单词外面获得。求单词对的最大平方数。 首先,首先咱们能够找到所有的变位单词对。这很简略,两层for循环,比照每两个单词即可。判断两个单词是是否是变位词也很容易,统计字母呈现的次数,看是否统一。我这里应用的形式是应用一个数组保留次数,对第一个单词遍历各个字母,数组对应值加一,对第二个单词遍历各个字母,数组对应值减一。如果是变位词,那么数组所有数字都应该是0。 private List<List<string>> FindAnagrams(string[] words){ var anagrams = new List<List<string>>(); for (int i = 0; i < words.Length; i++) { var word = words[i]; var anagram = new List<string>() { word }; for (int j = i + 1; j < words.Length; j++) { if (Match(word, words[j])) { anagram.Add(words[j]); } } if (anagram.Count > 1) { anagrams.Add(anagram); } } return anagrams;}private bool Match(string word, string candidate){ if (word.Length != candidate.Length) { return false; } int[] letters = new int[26]; foreach (var letter in word) { letters[letter - 'A']++; } foreach (var letter in candidate) { letters[letter - 'A']--; } return letters.All(i => i == 0);}接着,咱们能够找到平方数。其实不必找太多,因为变位词最长是九位的,那么只须要生成小于1,000,000,000的平方数即可。对于每个单词对,只有长度一样的平方数才可能和其对应上,所以保留了长度以不便后续解决。 ...

June 25, 2021 · 2 min · jiezi

关于数学:欧拉项目-329题-一只懂质数的青蛙

最早公布在我的小站,对Mathjax渲染比拟好,可能辨认行内公式。 Problem 329 一只懂质数的青蛙站在编号为1-500的方块内,它等概率的向左或者向右跳,当然不能出1-500这些方块,如果达到了边缘就只能向另外一个方向跳。 如果方块的编号是质数,那么有2/3的概率呱出 'P' (PRIME),1/3的概率呱出 'N' (NOT PRIME);反之如果编号不是质数,那么呱出'P'和'N'的概率别离是1/3和2/3。 如果它从随机的一点登程(等概率),收回 'PPPPNNPPPNPPNPN' 的概率是多少呢?应用最简分数给出答案。 这个题目绝对比拟间接。 应用一个List放一系列数值对,每一对示意概率的分子和分母。从1-500个编号登程,将每种状况的概率存起来。 var probabilities = new List<(long, long)>();for (int i = 1; i <= 500; i++){ GetProbabilityAt(i, probabilities);}如果具体计算每种状况的概率呢?应用递归,假设第$k$步从第$i$个地位跳到第$j$的地位,在地位$i$的时候概率是$p$,接下来思考方向对应的概率和到了地位$j$之后依据题目失去呱出想要的字母的概率,两个之乘再乘以$p$就是达到地位$j$的概率,直至呱完所有的字母停下来就是一个可能的值,重复递归就失去了一系列的概率,求和就是对应每种状况的概率。不过我具体的实现没有求和,因为最初把500个系列的概率一起就和就能够了。 private void GetProbabilityAt(int i, List<(long, long)> p){ GetProbabilityAt(i, 0, 1, 1, p);}private void GetProbabilityAt(int i, int step, long numerator, long denominator, List<(long, long)> result){ var (n, d) = GetProbabilityWithCroak(i, croaks[step]); numerator *= n; denominator *= d; step++; if (step == croaks.Length) { result.Add((numerator, denominator)); return; } if (i == 1) { GetProbabilityAt(i + 1, step, numerator, denominator, result); return; } if (i == 500) { GetProbabilityAt(i - 1, step, numerator, denominator, result); return; } GetProbabilityAt(i + 1, step, numerator, denominator * 2, result); GetProbabilityAt(i - 1, step, numerator, denominator * 2, result);}GetProbabilityWithCroak计算达到每一个方块对应的概率,依据题意 ...

May 18, 2021 · 1 min · jiezi

关于数学:可微函数习题数学分析卓里奇

可微函数习题请证实 a) 椭圆 $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ 在点 (x_0, y_0) 的切线方程 $$\dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} = 1$$ b) 由位于半轴为 $a > b > 0$ 的椭圆镜的两个焦点 $F_1 = (- \sqrt{a^2 - b^2}, 0), \ F_2 = (\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ 之一的光源收回的光线汇聚于另一焦点. 证: a) 设 $(x_0, y_0)$ 是椭圆上的任意一点, $(x, y)$ 是椭圆上异于 $(x_0, y_0)$ 的点. 法一: 依据椭圆方程可得: $$\begin{split}y^2 - y_{0}^{2} &= \displaystyle \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2) - \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x_0^2) \\&= \displaystyle - \frac{b^2}{a^2}(x^2 - x_0^2)\end{split}$$ ...

May 9, 2021 · 12 min · jiezi

关于数学:欧拉项目-243题-最简分数

原文公布于我的小站 题目链接 分子小于分母的分数被称为真分数。比方$d=12$,那么有11个真分数$$\frac{1}{12},\frac{2}{12},\frac{3}{12},\frac{4}{12},\frac{5}{12},\frac{6}{12},\frac{7}{12},\frac{8}{12},\frac{9}{12},\frac{10}{12},\frac{11}{12}$$其中分子分母不能约分的分数成为最简分数,用$R(d)$来示意最简分数的个数与$d-1$之比,比方$R(12)=\frac{4}{11}$,事实上,$d=12$是最小的整数满足$R(d)<\frac{4}{10}$的。 求最小的$d$,使得$R(d)<\frac{15499}{94744}$ 一开始,我应用了暴力算法遍历$d$,然而大概几十秒过来了,$d$都到了大几百万还是不满足题意。我须要先推理简化问题再写程序。 令$d$有$k$个质因数,那么$d$能够写作$$d=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}$$和$d$互斥的因数个数是$$(p_1-1)p_1^{q_1-1}(p_2-1)p_2^{q_2-1}\cdots (p_k-1)p_k^{q_k-1}$$那么$$\begin{aligned}R(d)&=\frac{(p_1-1)p_1^{q_1-1}(p_2-1)p_2^{q_2-1}\cdots (p_k-1)p_k^{q_k-1}}{d-1}\\&=\frac{d\cdot \frac{p_1-1}{p_1}\frac{p_2-1}{p_2}\cdots\frac{p_k-1}{p_k}}{d-1}\\&=\frac{d}{d-1}\frac{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)}{p_1p_2\cdots p_k}\end{aligned}$$因为后面我曾经晓得$d$很大,那么$\frac{d}{d-1}\to 1$。所以要先找到一些质数,使得$$\frac{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)}{p_1p_2\cdots p_k}<\frac{15499}{94744}$$且再多一个质数就会不满足这个不等式。 要使得$d$最小化,那么这些质数就是从2开始的后面这些质数,而后$d$就是这些质数之积。当然,这个时候的$d$可能不满足题意,因为疏忽了系数$\frac{d}{d-1}$,然而$d$的若干倍(倍数小于下一个质数)就会满足题意的。 其中$c,d$要应用long的起因是$p$很小但乘积可能超过int的示意范畴。 int[] primes = Utils.GenPrimes(50).Where(l => l != 0).Select(Convert.ToInt32).ToArray();long c = 1;long d = 1;foreach (var p in primes){ c *= p - 1; d *= p; if (c * 94744L < d * 15499L) { break; }}for (int i = 2; i <= primes.Last(); i++){ long n = d * i; if (c * n * 94744L < d * (n - 1) * 15499L) { return n.ToString(); }}

March 5, 2021 · 1 min · jiezi

关于数学:TILRGB-转-16-进制数值

December 31, 2020 · 0 min · jiezi

关于数学:程序员的数学-笔记

程序员的数学这应该是叫初、中等数学在计算机利用。有初中数学根底就能够了解。我数学差,还是带来一些思维上的更新。依照章节总结如下: 0计数零碎引入0,能够用来进行占位和统一标准,简化规定。在实际当中零能够用来示意没有信息,没有成果或不起作用,这样就对立了规范,简化了编程的规定。逻辑命题、虚实、与、或、非、异或、蕴含、相等等概念,文氏图用来了解逻辑,卡诺图用来简化简单的逻辑。德摩根公式用于转换逻辑表达式。逻辑的完整性和排他性对编程是比拟重要的。余数余数能够用于大数据计算找法则,奇偶校验,分组。草席问题证实不可行,简略判明了不成立的条件;12个月前的恋人的题目进行分组,简化了步骤;七桥问题,将生存当中的问题转化为奇偶点的数目问题。余数和分组使须要重复验证的问题得以轻松进行解决。演绎对数列进行演绎,找出公式可用于疾速计算,可将大问题分解成n个同类同规模的小问题, 排序加法,乘法,置换排列组合,能够找出问题的实质,可用于疾速计算,并将其抽象化。 递归汉诺塔、阶乘、伏波那切数列、杨辉三角、分型图。将问题分解成同类,然而不同规模的问题。找到递归结构,再递推计算。 指数指数爆炸,折纸,搜寻,对数,明码不以破解。 对于指数问题,有四种解决办法:竭力求解,近似求解,公式求解,概率求解。指数能够对简单的问题进行极简化。不可解反正法、可数、对角论证法、不可解问题、停机问题。 最重要的问题就是认清模式,进行抽象化,由事实世界转化进数学世界,解决之后再由数学返回事实。留神的点是完整性,排他性,放大问题的规模,认清构造,发现模式,抽象化,分组等。附录 机器学习机器学习用来解决预测和分类问题输出和理论后果的指标形成训练数据应用训练数据对参数进行调整,成为训练好的模型,应用测试数据测试进行评估和对参数的调整。计算机的输出(或多个值形成向量),交给感知器(模型),参数各有权重,加权求和x,而后激励函数f将间断的值进行1/2的判断,使模拟量进入逻辑量。学习的过程是模型输入和指标进行比拟,进而调整模型的参数。过拟合指的是训练数据体现良好,然而测试数据就变成差。损失函数:比拟输入和指标的差的时候,用损失函数来比拟两者差别的水平。比方平方和误差函数。参数和损失函数形成地势,而后用梯度降落寻找低点,梯度降落的步调是学习率,最小的点就是最优的损失函数,最优的参数。参数多于三个时,用反向流传算法管制运算量的暴发,该算法微分计算查看权重参数变动如何影响输入后果。神经网络是将感知器好几层叠放在一块组成的。神经网络节点输入的不是二元单值,而是间断值,可进行微分计算。深度学习神经网络减少层数失去更深的模型。强化学习每个输入零碎都提供反馈(处分),参数依据反馈调整。人类作用:构建模型、确保数据牢靠、解释后果、做出决策。

December 21, 2020 · 1 min · jiezi

关于数学:数学题卡特兰数及其应用

简介卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中呈现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰(1814–1894)命名。历史上,清朝数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先创造这种计数形式,远远早于卡塔兰。有中国学者倡议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。 卡塔兰数的个别项公式为 前20项的卡塔兰数为:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 递推公式 python代码求第n个卡特兰数 def numTrees(self, n): catelan_num = [-1,1,1] def catelan(n): result = 0 for i in range(1,n): result += catelan_num[i]*catelan_num[n-i] return result for i in range(3,n+1): catelan_num.append(catelan(i)) return catelan_num[n]卡特兰数还有那些利用呢? 1.括号化 ()() || (()) 这样子滴 2.出栈秩序(above) 3.凸多边形三角划分 4.给定结点组成二叉搜寻树 5.n对括号正确匹配次数 试一下用这个公式去做吧!

December 3, 2020 · 1 min · jiezi

关于数学:高数重要极限

October 11, 2020 · 1 min · jiezi

关于数学:常用排列组合公式

1. 排列公式$n$ 个相异物件取 $r$($1 \leq r \leq n$)个的不同排列总数,为 $$P_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$ 特地地,若 $n=r$,得 $$P_r^r = r(r-1)\cdots 1 = r!$$ 人们常约定把 $0!$ 作为 $1$。当 $r$ 不是非负整数时,记号 $r!$ 没有意义。 2. 组合公式$n$ 个相异物件取 $r$ 个($1 \leq r \leq n$)个的不同组合总数,为 $$C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!}$$ 当 $r=0$ 时,按 $0!=1$ 的约定,算出 $\binom{n}{0} = 1$,这可看作一个约定。 只有 $r$ 为非负整数,$n$ 不管为任何实数,都有意义。故 $n$ 可不用限度为自然数。例如: $$\binom{-1}{r} = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r$$ ...

August 13, 2020 · 1 min · jiezi

关于数学:对有限覆盖引理的一些理解

对无限笼罩引理的一些了解定理形容无限笼罩原理又称为博雷尔-勒贝格原理 1, 在卓里奇的<<数学分析>>中是这样形容的: 在笼罩一个闭区间的任何开区间族中都有笼罩该闭区间的无限子族. 1 在菲赫金哥茨的 <<微积分学教程>> 中是这样形容的: 在闭区间 $[a, b]$ 被一个开区间的无穷系 $\Sigma = \{\sigma\}$ 所笼罩, 则恒能从 $\Sigma$ 里选出无限的子系$\Sigma^* = \{\sigma_1, \sigma_2,\dots, \sigma_n\}$ 它同样能笼罩全区间. 2 证实办法我所知的对这个定理进行的证实办法有两个.(请原谅我的见多识广) 证法一: 前提: $X_k\,(k \in Z)$ 是一开区间, 现有有限个开区间的汇合 $S = \{X_k\}$, 并集 $P = {\displaystyle \cup \atop {X_k \in S}} {X_k}$ 笼罩闭区间 $[a, b]$. 现假如存在一个区域 $({a}^{'}, \, {b}^{'})$ , 无论都无奈从$S$中选出无限的 $X$ 集 $U$ 齐全笼罩此区域.既然 $({a}^{'}, \, {b}^{'})$ 没有被齐全笼罩, 那么其中定然存在一个更小的区域 ${({a}^{''}, \, {b}^{''})} \subset {({a}^{'}, \, {b}^{'})}$ , 即 $({a}^{''}, \, {b}^{''})$ 中所有的点都不被无限的 $X$ 笼罩. 假如 $\lambda \in {({a}^{"}, \, {b}^{"})}$ , 那么 $\lambda$ 必然也没有被笼罩.然而依据条件, 存在确定的 $p\,\,(p \in Z)$ 使 $\lambda \in X_p$ 成立, 将 $X_p$ 退出到选出的无限汇合 $U$ 中, $U$ 还是无限的, 而 $\lambda$ 被笼罩了, 与假如矛盾.证法二: ...

July 22, 2020 · 5 min · jiezi

关于数学:求解线性模运算中的逆元

咱们在中学都学过这个问题:已知非零正整数a,b如何求解a,b的最大公约数?答案是欧几里得公式,表达出来就是gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 用python写进去就是 def gcd(a,b): if b ==0: return a return gcd(b,a%b)接下来探讨引理: a在模b中有逆元,当且仅当gcd(a,b)=1这个引理指出了有逆元的条件,咱们来证实其充分性如果存在整数x,y,使得a·x + b·y = 1 (模b)则x是a的逆元,因为a·x =1 (模b)咱们能够应用扩大欧几里得算法来求解x,y ax + by = gcd(a,b)bx1 + (a%b)y1 = gcd(b,a%b)可推导出x = y1y = x1 - (a/b)*x 应用python写 def exgcd(a,b): if b == 0: return 1,0 x1,y1 = exgcd(b, a%b) return y1, x1- int(a/b)*y1能求解x,y当a,b互质时,ax + by = gcd(a,b) = 1充分性得证必要性在这里不证实了,比较简单x即为a的逆元

July 21, 2020 · 1 min · jiezi

求解平方根

求解平方根,是多项式求解的一个最简单的特例。分别采用梯度下降和牛顿迭代解法如下。其中梯度下降的步进如何选择有点不解,迭代次数比牛顿多太多了。 import sys import mathdef gradient_descent(y): x = 1 alpha = 0.001 delta = 1 count = 0 while abs(delta) > 0.000001: delta = 4 * x * ( x ** 2 - y) x -= alpha * delta count += 1 #print("y=%f\tcount=%d\tx=%f\tdelta=%f\n"%(y, count, x, delta)) return x,countdef niudun(y): x = 1 delta = abs(x ** 2 - y) count = 0; while delta > 0.000001: x = (x + y/x) / 2 delta = abs(x * x - y) count += 1 #print("y=%f\tcount=%d\tx=%f\tdelta=%f\n"%(y, count, x, delta)) return x,countwhile True: try: print "select mode, 1-gradient_descent, 2-niudun, and input y to sqrt" m, y = map(float, sys.stdin.readline().split(' ')) if m == 1: x, cnt = gradient_descent(y) else: x, cnt = niudun(y) print("mode=%d, sqrt(%f)=%f, delta=%f, cnt=%d" % (m, y,x, x-math.sqrt(y), cnt)) except RuntimeError, e: print("exception: ", e) continue

June 30, 2020 · 1 min · jiezi

单位换算竟然这么简单快学学换算系数吧

无所不在的单位从小学开始,我们就一直接触到计量单位。从最开始基础的时分秒,到后来速度的单位,我们似乎还在掌控之中。 但是到了中学,计量单位就开始变得多了起来。各种物理公式混杂在一起,让人手忙脚乱。 这里,我们来梳理一下常见的实用单位分析的方法,把我们从单位转换和公式中解救出来! 单位换算小学版本小学的时候的单位换算主要就是乘法和除法并用。比如说时间单位:$$1\text{min} = 60\text{s}$$我们要算$\text{min}$和算$\text{s}$的时候是不一样的。 ▼▼▼ 例1: 转换为秒:$53\mathrm{min}$ 解1: $53\times 60 = 3180(\text{s})$ 例2: 转换为分钟:$3180\mathrm{s}$ 解2: $3180\div 60 = 53(\text{min})$ ▲▲▲ 但是这种方法还要再思考到底要用乘法还是除法,非常的麻烦,还容易出错。 如果要算的步骤多了,特别容易把自己搞晕: ▼▼▼ 例3: 转换为天:$30\mathrm{s}$ 解3: $30\div 60 = 0.5(\text{min})$ $0.5\div 60 \approx 0.00833(\text{h})$ $0.00833\div 24 \approx 0.000347(\text{day})$ ▲▲▲ 这简直太容易出错了!而且小数一步一步地算最后的答案还不精确! 换算系数(conversion factor)则能够完美地解决这一问题。 中学版本换算系数换算系数的优雅之处就在于,他利用了数学上“任何数乘以1都得原数”的性质,将要转换的两个单位写成了分数的形式。拿时间来说,我们左右两边同时除以左边的数:$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$$$\frac{1\mathrm{min}}{1\mathrm{min}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$$$1 = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$同理,左右同时除以右边的数:$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{60\mathrm{s}}$$$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = 1$$所以我们就有了时间的换算系数:$$\boxed{\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 1}$$其实就是把等式左右两边堆成一个等于1的分数。 换算系数的使用在转换单位的时候,记住这三点: 计算全程带单位。把单位当成未知数运算。选择能够约分的转换系数:分别在分子分母对角线的单位可以约分。还是同样的题,思考时间大大减少: ▼▼▼ 例4: 转换为秒:$53\mathrm{min}$ ...

June 21, 2020 · 1 min · jiezi

求下列模拟信号的奈奎斯特采样率

June 20, 2020 · 0 min · jiezi