(Python)零起步数学+神经网络入门

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摘要:手把手教你用 (Python) 零起步数学 + 神经网络入门!
在这篇文章中,我们将在 Python 中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络(完全连接,卷积等)的小型库中的机器学习和代码。最终,我们将能够写出如下内容:

假设你对神经网络已经有一定的了解,这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型,而是要说明如何正确实现。
逐层
我们这里需要牢记整个框架:
1.  将数据输入神经网络
2.  在得出输出之前,数据从一层流向下一层
3.  一旦得到输出,就可以计算出一个标量误差。
4.  最后,可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数(权重或偏差)。
5.  遍历整个过程。
最重要的一步是第四步。我们希望能够拥有任意数量的层,以及任何类型的层。但是如果修改 / 添加 / 删除网络中的一个层,网络的输出将会改变,误差也将改变,误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何,都必须要能够计算导数。
为了实现这一点,我们必须分别实现每一层。
每个层应该实现什么
我们可能构建的每一层(完全连接,卷积,最大化,丢失等)至少有两个共同点:输入和输出数据。

现在重要的一部分
假设给出一个层相对于其输出(∂E/∂Y)误差的导数,那么它必须能够提供相对于其输入(∂E/∂X)误差的导数。

记住,E是标量(一个数字),X和Y是矩阵。  

我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X 的元素:

为什么是∂E/∂X?
对于每一层,我们需要相对于其输入的误差导数,因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要,这是理解反向传播的关键!在这之后,我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络!
花样图解
基本上,对于前向传播,我们将输入数据提供给第一层,然后每层的输出成为下一层的输入,直到到达网络的末端。

对于反向传播,我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。

这可能看起来很抽象,但是当我们将其应用于特定类型的层时,它将变得非常清楚。现在是编写第一个 python 类的好时机。
抽象基类:Layer
所有其它层将继承的抽象类 Layer 会处理简单属性,这些属性是输入,输出以及前向和反向方法。
from abc import abstractmethod
# Base class
class Layer:
def __init__(self):
self.input = None;
self.output = None;
self.input_shape = None;
self.output_shape = None;
# computes the output Y of a layer for a given input X
@abstractmethod
def forward_propagation(self, input):
raise NotImplementedError

# computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any)
@abstractmethod
def backward_propagation(self, output_error, learning_rate):
raise NotImplementedError
正如你所看到的,在 back_propagation 函数中,有一个我没有提到的参数,它是 learning_rate。此参数应该类似于更新策略或者在 Keras 中调用它的优化器,为了简单起见,我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。
全连接层
现在先定义并实现第一种类型的网络层:全连接层或 FC 层。FC 层是最基本的网络层,因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。

前向传播
每个输出神经元的值由下式计算:

使用矩阵,可以使用点积来计算每一个输出神经元的值:

当完成前向传播之后,现在开始做反向传播。
反向传播
正如我们所说,假设我们有一个矩阵,其中包含与该层输出相关的误差导数(∂E/∂Y)。我们需要:
1. 关于参数的误差导数(∂E/∂W,∂E/∂B)
2. 关于输入的误差导数(∂E/∂X)
首先计算∂E/∂W,该矩阵应与 W 本身的大小相同:对于 ixj,其中 i 是输入神经元的数量,j 是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度:

使用前面提到的链规则,可以写出:

那么:

这就是更新权重的第一个公式!现在开始计算∂E/∂B:

同样,∂E/∂B 需要与 B 本身具有相同的大小,每个偏差一个梯度。我们可以再次使用链规则:

得出结论:

现在已经得到∂E/∂W 和∂E/∂B,我们留下∂E/∂X 这是非常重要的,因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。

再次使用链规则:

最后,我们可以写出整个矩阵:

我们已经得到FCå±‚æ‰€éœ€çš„ä¸‰ä¸ªå ¬å¼ï¼ 

编码全连接层
现在我们可以用 Python 编写实现:
from layer import Layer
import numpy as np

# inherit from base class Layer
class FCLayer(Layer):
# input_shape = (1,i) i the number of input neurons
# output_shape = (1,j) j the number of output neurons
def __init__(self, input_shape, output_shape):
self.input_shape = input_shape;
self.output_shape = output_shape;
self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) – 0.5;
self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) – 0.5;

# returns output for a given input
def forward_propagation(self, input):
self.input = input;
self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias;
return self.output;

# computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX.
def backward_propagation(self, output_error, learning_rate):
input_error = np.dot(output_error, self.weights.T);
dWeights = np.dot(self.input.T, output_error);
# dBias = output_error

# update parameters
self.weights -= learning_rate * dWeights;
self.bias -= learning_rate * output_error;
return input_error;
激活层
到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的,需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。
现在我们需要为这种新类型的层(激活层)重做整个过程!
不用担心,因为此时没有可学习的参数,过程会快点,只需要计算∂E/∂X。
我们将 f 和 f ’ 分别称为激活函数及其导数。

前向传播
正如将看到的,它非常简单。对于给定的输入 X,输出是关于每个 X 元素的激活函数,这意味着输入和输出具有相同的大小。

反向传播
给出∂E/∂Y,需要计算∂E/∂X

注意,这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法(而在上面的公式中,它是一个点积)
编码实现激活层
激活层的代码非常简单:
from layer import Layer
# inherit from base class Layer
class ActivationLayer(Layer):
# input_shape = (1,i) i the number of input neurons
def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime):
self.input_shape = input_shape;
self.output_shape = input_shape;
self.activation = activation;
self.activation_prime = activation_prime;

# returns the activated input
def forward_propagation(self, input):
self.input = input;
self.output = self.activation(self.input);
return self.output;

# Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY.
# learning_rate is not used because there is no “learnable” parameters.
def backward_propagation(self, output_error, learning_rate):
return self.activation_prime(self.input) * output_error;
可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数,稍后将使用它们构建 ActivationLayer:
import numpy as np
# activation function and its derivative
def tanh(x):
return np.tanh(x);

def tanh_prime(x):
return 1-np.tanh(x)**2;
损失函数
到目前为止,对于给定的层,我们假设给出了∂E/∂Y(由下一层给出)。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y?我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y,它取决于我们如何定义误差。
网络的误差由自己定义,该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差,其中一种最常见的叫做 MSE – Mean Squared Error:

其中 y 和 y 分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层,它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样,需要定义∂E/∂Y。除了现在,我们终于得到 E!

以下是两个 python 函数,可以将它们放在一个单独的文件中,将在构建网络时使用。
import numpy as np

# loss function and its derivative
def mse(y_true, y_pred):
return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));

def mse_prime(y_true, y_pred):
return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;
网络类
到现在几乎完成了!我们将构建一个 Network 类来创建神经网络,非常容易,类似于第一张图片!
我注释了代码的每一部分,如果你掌握了前面的步骤,那么理解它应该不会太复杂。
from layer import Layer

class Network:
def __init__(self):
self.layers = [];
self.loss = None;
self.loss_prime = None;

# add layer to network
def add(self, layer):
self.layers.append(layer);

# set loss to use
def use(self, loss, loss_prime):
self.loss = loss;
self.loss_prime = loss_prime;

# predict output for given input
def predict(self, input):
# sample dimension first
samples = len(input);
result = [];

# run network over all samples
for i in range(samples):
# forward propagation
output = input[i];
for layer in self.layers:
# output of layer l is input of layer l+1
output = layer.forward_propagation(output);
result.append(output);

return result;

# train the network
def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate):
# sample dimension first
samples = len(x_train);

# training loop
for i in range(epochs):
err = 0;
for j in range(samples):
# forward propagation
output = x_train[j];
for layer in self.layers:
output = layer.forward_propagation(output);

# compute loss (for display purpose only)
err += self.loss(y_train[j], output);

# backward propagation
error = self.loss_prime(y_train[j], output);
# loop from end of network to beginning
for layer in reversed(self.layers):
# backpropagate dE
error = layer.backward_propagation(error, learning_rate);

# calculate average error on all samples
err /= samples;
print(‘epoch %d/%d error=%f’ % (i+1,epochs,err));
构建一个神经网络
最后!我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络!为了简单起见,我将向你展示如何构建 …… 一个 XOR。
from network import Network
from fc_layer import FCLayer
from activation_layer import ActivationLayer
from losses import *
from activations import *
import numpy as np

# training data
x_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);
y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);

# network
net = Network();
net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));
net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));
net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));
net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));

# train
net.use(mse, mse_prime);
net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);

# test
out = net.predict(x_train);
print(out);
同样,我认为不需要强调很多事情,只需要仔细训练数据,应该能够先获得样本维度。例如,对于 xor 问题,样式应为(4,1,2)。
结果
$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980 epoch 2/1000 error=0.311174 epoch 3/1000 error=0.307195 … epoch 998/1000 error=0.000243 epoch 999/1000 error=0.000242 epoch 1000/1000 error=0.000242 [array([[ 0.00077435]]), array([[0.97760742]]), array([[0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]
卷积层
这篇文章开始很长,所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是,这是我做的一个实现:
from layer import Layer
from scipy import signal
import numpy as np

# inherit from base class Layer
# This convolutional layer is always with stride 1
class ConvLayer(Layer):
# input_shape = (i,j,d)
# kernel_shape = (m,n)
# layer_depth = output depth
def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth):
self.input_shape = input_shape;
self.input_depth = input_shape[2];
self.kernel_shape = kernel_shape;
self.layer_depth = layer_depth;
self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth);
self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) – 0.5;
self.bias = np.random.rand(layer_depth) – 0.5;

# returns output for a given input
def forward_propagation(self, input):
self.input = input;
self.output = np.zeros(self.output_shape);

for k in range(self.layer_depth):
for d in range(self.input_depth):
self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], ‘valid’) + self.bias[k];

return self.output;

# computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX.
def backward_propagation(self, output_error, learning_rate):
in_error = np.zeros(self.input_shape);
dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth));
dBias = np.zeros(self.layer_depth);

for k in range(self.layer_depth):
for d in range(self.input_depth):
in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], ‘full’);
dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], ‘valid’);
dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]);

self.weights -= learning_rate*dWeights;
self.bias -= learning_rate*dBias;
return in_error;
它背后的数学实际上并不复杂!这是一篇很好的文章,你可以找到∂E/∂W,∂E/∂B 和∂E/∂X 的解释和计算。
如果你想验证你的理解是否正确,请尝试自己实现一些网络层,如 MaxPooling,Flatten 或 Dropout
GitHub 库
你可以在 GitHub 库中找到用于该文章的完整代码。

本文作者:【方向】阅读原文
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正文完
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