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Louvain-算法原理及设计实现

jiezi

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本篇为算法系列文章，将为大家分享 360 的算法团队在实践中积累的算法知识及经验，欢迎大家交流分享~

Louvain 算法是一种基于多层次优化 Modularity 的算法，具有快速、准确的优点，在效率和效果上都表现比较好，并且能够发现层次性的社区结构，被认为是性能最好的社区发现算法之一。

模块度

Louvain 算法是一种基于图数据的社区发现算法。
原始论文为：
《Fast unfolding of communities in large networks》。

Louvain 算法的优化目标为最大化整个数据的模块度，

模块度的计算如下：

其中 m 为图中边的总数量，k_i 表示所有指向节点 i 的连边权重之和，k_j 同理。A_{i,j} 表示节点 i，j 之间的连边权重。

有一点要搞清楚，模块度的概念不是 Louvain 算法发明的，而 Louvain 算法只是一种优化关系图模块度目标的一种实现而已。

Louvain 算法的两步迭代设计

最开始，每个原始节点都看成一个独立的社区，社区内的连边权重为 0
步骤 1
算法扫描数据中的所有节点，针对每个节点遍历该节点的所有邻居节点，衡量把该节点加入其邻居节点所在的社区所带来的模块度的收益。并选择对应最大收益的邻居节点，加入其所在的社区。这一过程化重复进行指导每一个节点的社区归属都不在发生变化。
步骤 2
对步骤 1 中形成的社区进行折叠，把每个社区折叠成一个单点，分别计算这些新生成的“社区点”之间的连边权重，以及社区内的所有点之间的连边权重之和。用于下一轮的步骤 1。

该算法的最大优势就是速度很快，步骤 1 的每次迭代的时间复杂度为 O(N)，N 为输入数据中的边的数量。步骤 2 的时间复杂度为 O(M + N)，M 为本轮迭代中点的个数。

算法实现

数据结构设计

算法数据结构的设计主要有两方面的考虑：

  1. 如何高效地存储图中的节点和节点之间的关系
  2. 如何在设计的数据结构上高效地扫描数据、进行算法迭代。

当前一些开源的算法实现主要通过 hash 表或 set 的结构来存储节点和节点之间的关系。主要有两个缺点：

  1. 维护 hash 或 集合结构本身就需要不少内存开销
  2. 遍历过程中需要不断地创建、销毁、清空对应的 Hash 或 Set 结构，尤其是在遍历不同的节点的邻居节点以及社区这点时。

而且，在遍历过程中，结构对元素的访问也并不是严格 O(1)的。

出于以上考虑，我们设计一种更高效的数据结构来存储图中的节点和边，避开使用复杂的数据结构，且在算法迭代过程中不申请多余的空间和空间的销毁操作，具体如下：

关于节点字段的说明：

  • count：社区内的节点个数
  • clsid：节点归属社区的代表节点 ID
  • next：步骤 1 迭代中下一个属于同一个临时社区的节点
  • prev：步骤 1 迭代中上一个属于同一个临时社区的节点
  • first：属于同一个社区的，除代表节点外的第一个节点，该节点有步骤 2 社区折叠的时候生成
  • kin：稳定社区内部节点之间的互相连接权重之和
  • kout：稳定社区外部，指向自己社区的权重之和
  • clskin：临时社区内部节点之间的互相连接权重之和
  • clstot：稳定社区所有内外部指向自己的连接权重之和
  • eindex：节点邻居链表的第一个指针，该链表下的所有 left，都是本节点自己

关于边数据结构的字段就顾名思义即可。

基于上述结构设计，在给定了一个 M 个节点，N 调边的图所需的空间为：60 M + 24 N.
例如：给定 1000 万给点，2000 万边的数据，则需要空间约为：10000000 60 + 20000000 24 = 1080M. 且整个迭代过程中内存环境维持不变。

迭代过程

1、假设我们最开始有 5 个点，互相之间存在一定的关系（至于什么关系，先不管），如下：

2、假设在进过了步骤 1 的充分迭代之后发现节点 2，应该加入到节点 1 所在的社区（最开始每个点都是一个社区，而自己就是这个社区的代表），新的社区由节点 1 代表，如下：

此时节点 3，4，5 之间以及与节点 1，2 之间没有任何归属关系。

3、此时应该执行步骤 2，将节点 1，2 组合成的新社区进行折叠，折叠之后的社区看成一个单点，用节点 1 来代表，如下：

此时数据中共有 4 个节点（或者说 4 个社区），其中一个社区包含了两个节点，而社区 3，4，5 都只包含一个节点，即他们自己。

4、重新执行步骤 1，对社区 1，3，4，5 进行扫描，假设在充分迭代之后节点 5，4，3 分别先后都加入了节点 1 所在的社区，如下：


5、进行步骤 2，对新生成的社区进行折叠，新折叠而成的社区看成一个单点，由节点 1 代表，结构如下：

此时由于整个数据中只剩下 1 个社区，即由节点 1 代表的社区。

再进行步骤 1 时不会有任何一个节点的社区归属发生变化，此时也就不需要再执行步骤 2，至此，迭代结束。

代码实现及测试

一个基于上述结构设计的代码实现参见：
https://github.com/liuzhiqian…

在一个实际的图（70 万点，200 万边）上进行测试，迭代到完全收敛所需时间为：1.77 秒。
实际中往往不需要迭代到每一个点都不发生变化，或者整个图中有多少比例的节点不在发生变化就退出。

本篇为算法系列文章的第 3 篇，为大家分享了 Louvain 算法的原理及设计实现。
本文来自 360 视频信息流算法团队投稿，我们将每周为大家推送一篇算法相关的文章，欢迎大家一起交流学习。

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