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一、递归
学习树离不开递归。
1.1 介绍
递归是一种解决问题的方法，它解决问题的各个小部分，直到解决最初的大问题。递归通常涉及函数调用自身。
通俗的解释：年级主任需要知道某个年级的数学成绩的平均值，他没法直接得到结果；年级主任需要问每个班的数学老师，数学老师需要问班上每个同学；然后再沿着学生 –> 老师 –> 主任这条线反馈，才能得到结果。递归也是如此，自己无法直接解决问题，将问题给下一级，下一级若无法解决，再给下一级，直到有结果再依次向上反馈。
我们常见的使用递归解决的问题，如下：
// 斐波拉契数列
function fibo(n) {
if (n === 0 || n === 1) return n; // 边界
return fibo(n – 1) + fibo(n – 2);
}
// 阶乘
function factorial(n) {
if (n === 0 || n === 1) return 1; // 边界
return facci(n – 1) * n;
}
他们有共同的特点，也是递归的特点：
有边界条件，防止无限递归
函数自身调用
1.2 高效递归的两个方法
以斐波拉契数列举例，下面是 n = 6 时斐波拉契数列的计算过程。
我们可以发现，这里面存在许多重复的计算，数列越大重复计算越多。
如何避免呢？利用缓存，将 fib(n)计算后的值存储，后面使用时，若存在直接取用，不存在则计算
（1）缓存 Memoizer
const fibo_memo = function() {
const temp = {0: 0, 1: 1}; // 需要用闭包缓存
return function fib(n) {
if (!(n in temp)) {// 缓存中无对应数据时，向下计算查找
temp[n] = fib(n – 1) + fib(n – 2);
}
return temp[n];
}
}()
（2）递推法（动态规划）
动态规划并不属于高效递归，但是也是有效解决问题的一个方法。
动态规划：从底部开始解决问题，将所有小问题解决掉，然后合并成一个整体解决方案，从而解决掉整个大问题；递归：从顶部开始将问题分解，通过解决掉所有分解的小问题来解决整个问题；
使用动态规划解决斐波那契数列
function fibo_dp(n) {
let current = 0;
let next = 1;
for(let i = 0; i < n; i++) {
[current, next] = [next, current + next];
}
return current;
}
（3）效率对比
const arr = Array.from({length: 40}, (_, i) => i);
// 普通
console.time(‘fibo’);
arr.forEach((e) => {fibo(e); });
console.timeEnd(‘fibo’);
// 缓存
console.time(‘fibo_memo’);
arr.forEach((e) => {fibo_memo(e); });
console.timeEnd(‘fibo_memo’);
// 动态规划
console.time(‘fibo_dp’);
arr.forEach((e) => {fibo_dp(e); });
console.timeEnd(‘fibo_dp’);
// 打印结果【40】
fibo: 1869.665ms
fibo_memo: 0.088ms
fibo_dp: 0.326ms
// 当打印到【1000】时，普通的已溢出
fibo_memo: 0.370ms
fibo_dp: 16.458ms
总结：从上面的对比结果可知，使用缓存的性能最佳
二、树
一个树结构包含一系列存在父子关系的节点。每个节点都有一个父节点 (除了顶部的第一个节点) 以及零个或多个子节点:
2.1 相关术语
节点：树中的每个元素都叫作节点；
根节点：位于树顶部的节点叫作根节点；
内部节点 / 分支节点：至少有一个子节点的节点称为内部节点或；
外部节点 / 叶节点：没有子元素的节点称为外部节点或叶节点；
子女节点：7 和 15 为 11 的子女节点
父节点：11 为 7 和 15 的父节点
兄弟节点：同一个父节点的子女节点互称为兄弟；7 和 15 互为兄弟节点
祖先节点：从根节点到该节点所经过分支上的所有节点；如节点 3 的祖先节点为 11，7，8
子孙节点：以某一节点构成的子树，其下所有节点均为其子孙节点；如 12 和 14 为 13 的子孙节点
节点所在层次：根节点为 1 层，依次向下
节点的度：树中距离根节点最远的节点所处的层次就是树的深度；上图中，树的深度是 4
节点的度：结点拥有子结点的数量；
树的度：树中节点的度的最大值；
有序树
无序树
关于数的深度和高度的问题，不同的教材有不同的说法，具体可以参考树的高度和深度以及结点的高度和深度这篇文章
2.2 认识二叉搜索树 BST
2.2.1 定义
二叉树是树的一种特殊情况，每个节点最多有有两个子女，分别称为该节点的左子女和右子女，就是说，在二叉树中，不存在度大于 2 的节点。
二叉搜索树 (BST) 是二叉树的一种，但是它只允许你在左侧节点存储 (比父节点) 小的值，在右侧节点存储 (比父节点) 大(或者等于)的值。
上图展示的便是二叉搜索数
2.2.2 特点
同一层，数值从左到右依次增加
以某一祖先节点为参考，该节点左侧值均小于节点值，右侧值均大于节点值
在二叉树的第 i(i>=1)层，最多有 x^(i-1)个节点
深度为 k(k>=0)的二叉树，最少有 k 个节点，最多有 2^(k-1)个节点
对于一棵非空二叉树，叶节点的数量等于度为 2 的节点数量加 1
满二叉树：深度为 k 的满二叉树，是有 2^(k-1)个节点的二叉树，每一层都达到了可以容纳的最大数量的节点
2.2.3 基础方法
insert(key): 向树中插入一个新的键；
inOrderTraverse: 通过中序遍历方式遍历所有节点
preOrderTraverse: 通过先序遍历方式遍历所有节点
postOrderTraverse: 通过后序遍历方式遍历所有节点
getMin: 返回树中最小的值 / 键
getMax: 返回树中最大的值 / 键
find(key): 在树中查找一个键，如果节点存在则返回该节点不存在则返回 null；
remove(key): 从树中移除某个键
2.3 BST 的实现
2.3.1 基类
// 基类
class BinaryTreeNode {
constructor(data) {
this.key = data;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
下图展现了二叉搜索树数据结构的组织方式：
2.3.2 BST 类
// 二叉查找树（BST）的类
class BinarySearchTree {
constructor() {
this.root = null; // 根节点
}
insert(){} // 插入节点
preOrderTraverse(){} // 先序遍历
inOrderTraverse(){} // 中序遍历
postOrderTraverse(){} // 后序遍历
search(){} // 查找节点
getMin(){} // 查找最小值
getMax(){} // 查找最大值
remove(){} // 删除节点
}
2.3.3 insert 方法
insert 某个值到树中，必须依照二叉搜索树的规则【每个节点 Key 值唯一，最多有两个节点，且左侧节点值 < 父节点值 < 右侧节点值】
不同情况具体操作如下：
根节点为 null，直接赋值插入节点给根节点；
根节点不为 null，按照 BST 规则找到 left/right 为 null 的位置并赋值
insert(key) {
const newNode = new BinaryTreeNode(key);
if (this.root !== null) {
this.insertNode(this.root, newNode);
} else {
this.root = newNode;
}
}
insertNode(node, newNode) {
if (newNode.key < node.key) {
if (node.left === null) {// 左侧
node.left = newNode;
} else {
this.insertNode(node.left, newNode);
}
} else {
if (node.right === null) {// 右侧
node.right = newNode;
} else {
this.insertNode(node.right, newNode);
}
}
}
下图为在已有 BST 的基础上插入值为 6 的节点，步骤如下：
有无根节点？有；对比根节点值（6<11），根节点左侧判断；
第二层左侧节点是否为 null？不为；对比第二层左侧节点的值（6<7），继续左侧判断；
第三层左侧节点是否为 null？不为；对比第三层左侧节点的值（6>5），以右侧判断；
第四层右侧节点是否为 null？为；插入该处
2.3.4 树的遍历
树的遍历，核心为递归：根节点需要找到其每一个子孙节点，但是并不知道这棵树有多少层。因此，它找到其子节点，子节点也不知道，依次向下找，直到叶节点。
访问树的所有节点有三种方式: 中序、先序和后序。下面依次介绍
（1）中序遍历
中序遍历是一种以上行顺序访问 BST 所有节点的遍历方式，也就是以从最小到最大的顺序访问所有节点。中序遍历的一种应用就是 <u> 对树进行排序操作 </u>
inOrderTraverse(callback) {
this.inOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
inOrderTraverseNode(node, callback) {
if (node !== null) {
this.inOrderTraverseNode(node.left, callback);
callback(node.key);
this.inOrderTraverseNode(node.right, callback);
}
}
下面的图描绘了中序遍历方法的访问路径:
（2）先序遍历
先序遍历是以优先于后代节点的顺序访问每个节点的。先序遍历的一种应用是 <u> 打印一个结构化的文档 </u>
preOrderTraverse(callback) {
this.preOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
preOrderTraverseNode(node, callback) {
if (node !== null) {
callback(node.key);
this.preOrderTraverseNode(node.left, callback);
this.preOrderTraverseNode(node.right, callback);
}
}
下面的图描绘了先序遍历方法的访问路径:
（3）后序遍历
后序遍历则是先访问节点的后代节点，再访问节点本身。后序遍历的一种应用是 <u> 计算一个目录和它的子目录中所有文件所占空间的大小 </u>
postOrderTraverse(callback) {
this.postOrderTraverseNode(this.root, callback);
}
postOrderTraverseNode(node, callback) {
if (node !== null) {
this.postOrderTraverseNode(node.left, callback);
this.postOrderTraverseNode(node.right, callback);
callback(node.key);
}
}
下面的图描绘了后序遍历方法的访问路径：
2.3.5 查找方法
（1）最值观察下图，我们可以非常直观的发现左下角为最小值，右下角为最大值
具体代码实现如下
getMin() {
const ret = this.getMinNode();
return ret && ret.key;
}
getMinNode(node = this.root) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left;
}
}
return node;
}
getMax() {
const ret = this.getMaxNode();
return ret && ret.key;
}
getMaxNode(node = this.root) {
if (node) {
while (node && node.right !== null) {
node = node.right;
}
}
return node;
}
（2）find()方法
递归找到与目标 key 值相同的节点，并返回；具体实现如下：
find(key) {
return this.findNode(this.root, key);
}
findNode(node, key) {
if (node === null) {
return null;
}
if (key < node.key) {
return this.findNode(node.left, key);
}
if (key > node.key) {
return this.findNode(node.right, key);
}
return node;
}
2.3.6 remove()方法
移除节点是这一类方法中最为复杂的操作，首先需要找到目标 key 值对应的节点，然后根据不同的目标节点类型需要有不同的操作
remove(key) {
return this.removeNode(this.root, key);
}
removeNode(node, key) {
if (node === null) {
return null;
}
if (key < node.key) {// 目标 key 小于当前节点 key，继续向左找
node.left = this.removeNode(node.left, key);
return node;
}
if (key > node.key) {// 目标 key 小于当前节点 key，继续向右找
node.right = this.removeNode(node.right, key);
return node;
}
// 找到目标位置
if (node.left === null && node.right === null) {// 目标节点为叶节点
node = null;
return node;
}
if (node.right === null) {// 目标节点仅有左侧节点
node = node.left;
return node;
}
if (node.left === null) {// 目标节点仅有右侧节点
node = node.right;
return node;
}
// 目标节点有两个子节点
const tempNode = this.getMinNode(node.right); // 右侧最小值
node.key = tempNode.key;
node.right = this.removeNode(node.right, node.key);
return node;
}
目标节点为叶节点图例：子节点赋值为 null，并将目标节点指向 null
目标节点为仅有左侧子节点或右侧子节点图例：将目标节点的父节点指向子节点
目标节点有两个子节点：根据 BST 的构成规则，以目标节点右侧树最小值替换重新连接
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