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简介：本文主要介绍了 B 树和 B + 树的插入、删除操作。写这篇博客的目的是发现没有相关博客以举例的方式详细介绍 B + 树的相关操作，由于自身对某些细节也感到很迷惑，通过查阅相关资料，对 B + 树的操作有所顿悟，写下这篇博客以做记录。由于是自身对 B + 树的理解，肯定有考虑不周的情况，或者理解错误的地方，请留言指出。
1. B 树
1. B 树的定义
B 树也称 B - 树, 它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗 B 树时需要指定它的阶数，阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点，一般用字母 m 表示阶数。当 m 取 2 时，就是我们常见的二叉搜索树。
一颗 m 阶的 B 树定义如下：
1）每个结点最多有 m - 1 个关键字。
2）根结点最少可以只有 1 个关键字。
3）非根结点至少有 Math.ceil(m/2)- 1 个关键字。
4）每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。
5）所有叶子结点都位于同一层，或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。上图是一颗阶数为 4 的 B 树。在实际应用中的 B 树的阶数 m 都非常大（通常大于 100），所以即使存储大量的数据，B 树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字（key）和关键字对应的数据（data），以及孩子结点的指针。我们将一个 key 和其对应的 data 称为一个记录。但为了方便描述，除非特别说明，后续文中就用 key 来代替（key, value）键值对这个整体。在数据库中我们将 B 树（和 B + 树）作为索引结构，可以加快查询速速，此时 B 树中的 key 就表示键，而 data 表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。
1.2 B 树的插入操作
插入操作是指插入一条记录，即（key, value）的键值对。如果 B 树中已存在需要插入的键值对，则用需要插入的 value 替换旧的 value。若 B 树不存在这个 key, 则一定是在叶子结点中进行插入操作。
1）根据要插入的 key 的值，找到叶子结点并插入。
2）判断当前结点 key 的个数是否小于等于 m -1，若满足则结束，否则进行第 3 步。
3）以结点中间的 key 为中心分裂成左右两部分，然后将这个中间的 key 插入到父结点中，这个 key 的左子树指向分裂后的左半部分，这个 key 的右子支指向分裂后的右半部分，然后将当前结点指向父结点，继续进行第 3 步。
下面以 5 阶 B 树为例，介绍 B 树的插入操作，在 5 阶 B 树中，结点最多有 4 个 key, 最少有 2 个 key
a）在空树中插入 39
此时根结点就一个 key，此时根结点也是叶子结点
b）继续插入 22，97 和 41
根结点此时有 4 个 key
c）继续插入 53
插入后超过了最大允许的关键字个数 4，所以以 key 值为 41 为中心进行分裂，结果如下图所示，分裂后当前结点指针指向父结点，满足 B 树条件，插入操作结束。当阶数 m 为偶数时，需要分裂时就不存在排序恰好在中间的 key，那么我们选择中间位置的前一个 key 或中间位置的后一个 key 为中心进行分裂即可。
d）依次插入 13，21，40，同样会造成分裂，结果如下图所示。
e）依次插入 30，27, 33；36，35，34；24，29，结果如下图所示。
f）插入 key 值为 26 的记录，插入后的结果如下图所示。
当前结点需要以 27 为中心分裂，并向父结点进位 27，然后当前结点指向父结点，结果如下图所示。
进位后导致当前结点（即根结点）也需要分裂，分裂的结果如下图所示。
分裂后当前结点指向新的根，此时无需调整。
g）最后再依次插入 key 为 17,28,29,31,32 的记录，结果如下图所示。
在实现 B 树的代码中，为了使代码编写更加容易，我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为 m 而非 m -1，这样方便底层的结点由于分裂向上层插入一个记录时，上层有多余的位置存储这个记录。同时，每个结点还可以存储它的父结点的引用，这样就不必编写递归程序。
一般来说，对于确定的 m 和确定类型的记录，结点大小是固定的，无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况，比如 key 为 28,29 所在的结点，还有 2 个 key 的位置没有使用，但是已经不可能继续在插入任何值了，因为这个结点的前序 key 是 27, 后继 key 是 30, 所有整数值都用完了。所以如果记录先按 key 的大小排好序，再插入到 B 树中，结点的使用率就会很低，最差情况下使用率仅为 50%。
1.3 B 树的删除操作
删除操作是指，根据 key 删除记录，如果 B 树中的记录中不存对应 key 的记录，则删除失败。
1）如果当前需要删除的 key 位于非叶子结点上，则用后继 key（这里的后继 key 均指后继记录的意思）覆盖要删除的 key，然后在后继 key 所在的子支中删除该后继 key。此时后继 key 一定位于叶子结点上，这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第 2 步
2）该结点 key 个数大于等于 Math.ceil(m/2)-1，结束删除操作，否则执行第 3 步。
3）如果兄弟结点 key 个数大于 Math.ceil(m/2)-1，则父结点中的 key 下移到该结点，兄弟结点中的一个 key 上移，删除操作结束。
否则，将父结点中的 key 下移与当前结点及它的兄弟结点中的 key 合并，形成一个新的结点。原父结点中的 key 的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复上第 2 步。
有些结点它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。
下面以 5 阶 B 树为例，介绍 B 树的删除操作，5 阶 B 树中，结点最多有 4 个 key, 最少有 2 个 key
a）原始状态
b）在上面的 B 树中删除 21，删除后结点中的关键字个数仍然大于等 2，所以删除结束。
c）在上述情况下接着删除 27。从上图可知 27 位于非叶子结点中，所以用 27 的后继替换它。从图中可以看出，27 的后继为 28，我们用 28 替换 27，然后在 28（原 27）的右孩子结点中删除 28。删除后的结果如下图所示。
删除后发现，当前叶子结点的记录的个数小于 2，而它的兄弟结点中有 3 个记录（当前结点还有一个右兄弟，选择右兄弟就会出现合并结点的情况，不论选哪一个都行，只是最后 B 树的形态会不一样而已），我们可以从兄弟结点中借取一个 key。所以父结点中的 28 下移，兄弟结点中的 26 上移, 删除结束。结果如下图所示。
d）在上述情况下接着 32，结果如下图。
当删除后，当前结点中只 key，而兄弟结点中也仅有 2 个 key。所以只能让父结点中的 30 下移和这个两个孩子结点中的 key 合并，成为一个新的结点，当前结点的指针指向父结点。结果如下图所示。
当前结点 key 的个数满足条件，故删除结束。
e）上述情况下，我们接着删除 key 为 40 的记录，删除后结果如下图所示。
同理，当前结点的记录数小于 2，兄弟结点中没有多余 key，所以父结点中的 key 下移，和兄弟（这里我们选择左兄弟，选择右兄弟也可以）结点合并，合并后的指向当前结点的指针就指向了父结点。
同理，对于当前结点而言只能继续合并了，最后结果如下所示。
合并后结点当前结点满足条件，删除结束。
2.B+ 树
2.1 B+ 树的定义
各种资料上 B + 树的定义各有不同，一种定义方式是关键字个数和孩子结点个数相同。这里我们采取维基百科上所定义的方式，即关键字个数比孩子结点个数小 1，这种方式是和 B 树基本等价的。上图就是一颗阶数为 4 的 B + 树。
除此之外 B + 树还有以下的要求。
1）B+ 树包含 2 种类型的结点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点，也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有 1 个。
2）B+ 树与 B 树最大的不同是内部结点不保存数据，只用于索引，所有数据（或者说记录）都保存在叶子结点中。
3）m 阶 B + 树表示了内部结点最多有 m - 1 个关键字（或者说内部结点最多有 m 个子树），阶数 m 同时限制了叶子结点最多存储 m - 1 个记录。
4）内部结点中的 key 都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个 key，左树中的所有 key 都小于它，右子树中的 key 都大于等于它。叶子结点中的记录也按照 key 的大小排列。
5）每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
2.2 B+ 树的插入操作
1）若为空树，创建一个叶子结点，然后将记录插入其中，此时这个叶子结点也是根结点，插入操作结束。
2）针对叶子类型结点：根据 key 值找到叶子结点，向这个叶子结点插入记录。插入后，若当前结点 key 的个数小于等于 m -1，则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点，左叶子结点包含前 m / 2 个记录，右结点包含剩下的记录，将第 m /2+ 1 个记录的 key 进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的 key 左孩子指针向左结点, 右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第 3 步。
3）针对索引类型结点：若当前结点 key 的个数小于等于 m -1，则插入结束。否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前 (m-1)/ 2 个 key，右结点包含 m -(m-1)/ 2 个 key，将第 m / 2 个 key 进位到父结点中，进位到父结点的 key 左孩子指向左结点, 进位到父结点的 key 右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第 3 步。
下面是一颗 5 阶 B 树的插入过程，5 阶 B 数的结点最少 2 个 key，最多 4 个 key。
a）空树中插入 5
b）依次插入 8，10，15
c）插入 16
插入 16 后超过了关键字的个数限制，所以要进行分裂。在叶子结点分裂时，分裂出来的左结点 2 个记录，右边 3 个记录，中间 key 成为索引结点中的 key，分裂后当前结点指向了父结点（根结点）。结果如下图所示。
当然我们还有另一种分裂方式，给左结点 3 个记录，右结点 2 个记录，此时索引结点中的 key 就变为 15。
d）插入 17
e）插入 18，插入后如下图所示
当前结点的关键字个数大于 5，进行分裂。分裂成两个结点，左结点 2 个记录，右结点 3 个记录，关键字 16 进位到父结点（索引类型）中，将当前结点的指针指向父结点。
当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。
f）插入若干数据后
g）在上图中插入 7，结果如下图所示
当前结点的关键字个数超过 4，需要分裂。左结点 2 个记录，右结点 3 个记录。分裂后关键字 7 进入到父结点中，将当前结点的指针指向父结点，结果如下图所示。
当前结点的关键字个数超过 4，需要继续分裂。左结点 2 个关键字，右结点 2 个关键字，关键字 16 进入到父结点中，将当前结点指向父结点，结果如下图所示。
当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。
2.3 B+ 树的删除操作
如果叶子结点中没有相应的 key，则删除失败。否则执行下面的步骤
1）删除叶子结点中对应的 key。删除后若结点的 key 的个数大于等于 Math.ceil(m-1)/2 – 1，删除操作结束, 否则执行第 2 步。
2）若兄弟结点 key 有富余（大于 Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟结点借一个记录，同时用借到的 key 替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的 key，删除结束。否则执行第 3 步。
3）若兄弟结点中没有富余的 key, 则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的 key（父结点中的这个 key 两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第 4 步（第 4 步以后的操作和 B 树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。
4）若索引结点的 key 的个数大于等于 Math.ceil(m-1)/2 – 1，则删除操作结束。否则执行第 5 步
5）若兄弟结点有富余，父结点 key 下移，兄弟结点 key 上移，删除结束。否则执行第 6 步
6）当前结点和兄弟结点及父结点下移 key 合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第 4 步。
注意，通过 B + 树的删除操作后，索引结点中存在的 key，不一定在叶子结点中存在对应的记录。
下面是一颗 5 阶 B 树的删除过程，5 阶 B 数的结点最少 2 个 key，最多 4 个 key。
a）初始状态
b）删除 22, 删除后结果如下图
删除后叶子结点中 key 的个数大于等于 2，删除结束
c）删除 15，删除后的结果如下图所示
删除后当前结点只有一个 key, 不满足条件，而兄弟结点有三个 key，可以从兄弟结点借一个关键字为 9 的记录, 同时更新将父结点中的关键字由 10 也变为 9，删除结束。
d）删除 7，删除后的结果如下图所示
当前结点关键字个数小于 2，（左）兄弟结点中的也没有富余的关键字（当前结点还有个右兄弟，不过选择任意一个进行分析就可以了，这里我们选择了左边的），所以当前结点和兄弟结点合并，并删除父结点中的 key，当前结点指向父结点。
此时当前结点的关键字个数小于 2，兄弟结点的关键字也没有富余，所以父结点中的关键字下移，和两个孩子结点合并，结果如下图所示。
