定义
Wikipedia – AVL 树
在计算机科学中,AVL 树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在 AVL 树中,任一节点对应的两棵子树的最大高度差为 1,因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 {displaystyle O(log {n})} O(log{n})。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转,以实现树的重新平衡。AVL 树得名于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis,他们在 1962 年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。
理论
实现 AVL 树的要点为:每次新增 / 删除节点后 判断平衡性 然后通过 调整 使整棵树重新平衡
判断平衡性:每次新增 / 删除节点后,刷新受到影响的节点的高度,即可通过任一节点的左右子树高度差判断其平衡性
调整:通过对部分节点的父子关系的改变使树重新平衡
实现
基本结构
public class Tree<T extends Comparable<T>> {
private static final int MAX_HEIGHT_DIFFERENCE = 1;
private Node<T> root;
class Node<KT> {
KT key;
Node<KT> left;
Node<KT> right;
int height = 1;
public Node(KT key, Node<KT> left, Node<KT> right) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
}
插入(insert)
四种不平衡范型
对于任意一次 插入所造成的 不平衡,都可以简化为下述四种范型之一:
下面四张图中的数字仅代表节点序号,为了后文方便展示调整过程
4、5、6、7 号节点代表了四棵高度可以使不平衡成立的子树(遵循插入的规则)
- LL 型
- LR 型
- RR 型
- RL 型
总结得到判断范型的方法为:不平衡的节点(节点 1)通往高度最大的子树的叶子节点时所途经的前两个节点(节点 2、节点 3)的方向
调整方法
- LL 型
-
5 号节点
作为1 号节点
的左孩子 -
1 号节点
作为2 号节点
的右孩子
例子(例子中的数字代表节点的值):
插入 节点 5
后造成 节点 9
不平衡,其范型为LL 型
,按照固定步骤调整后全局重新达到平衡
- LR 型
-
6 号节点
作为2 号节点
的右孩子 -
7 号节点
作为1 号节点
的左孩子 -
2 号节点
作为3 号节点
的左孩子 -
1 号节点
作为3 号节点
的右孩子
例子(例子中的数字代表节点的值):
插入 节点 8.5
后造成 节点 9
不平衡,其范型为LR 型
,按照固定步骤调整后全局重新达到平衡
- RR 型
-
5 号节点
作为1 号节点
的右孩子 -
1 号节点
作为2 号节点
的左孩子
例子(例子中的数字代表节点的值):
插入 节点 10.5
后造成 节点 7
不平衡,其范型为RR 型
,按照固定步骤调整后全局重新达到平衡
- RL 型
-
7 号节点
作为2 号节点
的左孩子 -
6 号节点
作为1 号节点
的右孩子 -
2 号节点
作为3 号节点
的右孩子 -
1 号节点
作为3 号节点
的左孩子
例子(例子中的数字代表节点的值):
插入 节点 7.5
后造成 节点 7
不平衡,其范型为RL 型
,按照固定步骤调整后全局重新达到平衡
代码实现
public void insert(T key) {if (key == null) {throw new NullPointerException();
}
root = insert(root, key);
}
private Node<T> insert(Node<T> node, T key) {if (node == null) {return new Node<>(key, null, null);
}
int cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp == 0) {return node;}
if (cmp < 0) {node.left = insert(node.left, key);
} else {node.right = insert(node.right, key);
}
if (Math.abs(height(node.left) - height(node.right)) > MAX_HEIGHT_DIFFERENCE) {node = balance(node);
}
refreshHeight(node);
return node;
}
private int height(Node<T> node) {if (node == null) {return 0;}
return node.height;
}
private void refreshHeight(Node<T> node) {node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
/**
* 此方法中的 node, node1, node2 分别代表上文范型中的 1、2、3 号节点
*/
private Node<T> balance(Node<T> node) {
Node<T> node1, node2;
// ll
if (height(node.left) > height(node.right) &&
height(node.left.left) > height(node.left.right)) {
node1 = node.left;
node.left = node1.right;
node1.right = node;
refreshHeight(node);
return node1;
}
// lr
if (height(node.left) > height(node.right) &&
height(node.left.right) > height(node.left.left)) {
node1 = node.left;
node2 = node.left.right;
node.left = node2.right;
node1.right = node2.left;
node2.left = node1;
node2.right = node;
refreshHeight(node);
refreshHeight(node1);
return node2;
}
// rr
if (height(node.right) > height(node.left) &&
height(node.right.right) > height(node.right.left)) {
node1 = node.right;
node.right = node1.left;
node1.left = node;
refreshHeight(node);
return node1;
}
// rl
if (height(node.right) > height(node.left) &&
height(node.right.left) > height(node.right.right)) {
node1 = node.right;
node2 = node.right.left;
node.right = node2.left;
node1.left = node2.right;
node2.left = node;
node2.right = node1;
refreshHeight(node);
refreshHeight(node1);
return node2;
}
return node;
}
总结
由插入节点导致的局部不平衡均会符合上述四种范型之一,只需要按照固定的方式调整相关节点的父子关系即可使树恢复平衡
关于调整,很多博客或者书籍中将这种调整父子关系的过程称为 旋转,这个就见仁见智了,个人觉得这种描述并不容易理解,故本文统一称为调整
删除(remove)
通常情况
对于删除节点这个操作来说,有两个要点:被删除节点的空缺应该如何填补 以及 删除后如何使树恢复平衡
- 被删除节点的空缺应该如何填补
- 如果被删除节点是叶子节点,则不需要填补空缺
- 而如果是枝干节点,则需要填补空缺,理想的情况是使用某个节点填补被删除节点的空缺后,整棵树仍然保持平衡
a) 如果节点的左右子树有一棵为空,则使用 非空子树 填补空缺
b) 如果节点的左右子树均为非空子树,则使用节点的左右子树中 更高 的那棵子树中的 最大 / 最小节点 来填补空缺(如果子树高度一致则哪边都可以)
例子:
- 假设待删除节点为
节点 9
,则应当使用 左子树中的最大值节点 8
来填补空缺 - 假设待删除节点为
节点 13
,则应当使用 右子树中的最小值节点 14
来填补空缺 - 假设待删除节点为
节点 2
,则使用 左子树中的最大值节点 1.5
或者 右子树中的最小值节点 2.5
来填补空缺均可
按照上述方式来填补空缺,可以尽可能保证删除后整棵树仍然保持平衡
- 删除后如何使树恢复平衡
如图,叶子节点 12
为被删除节点,删除后不需要填补空缺,但是此时 节点 13
产生了不平衡
不过 节点 13
的不平衡满足上文所说的不平衡范型中的 RR 型
,因此只需要对 节点 13
做对应的调整即可,如图:
此时 节点 13
所在的子树经过调整重新达到局部平衡
但是我们紧接着发现,节点 11
出现了不平衡,其左子树高度为 4,右子树高度为 2
如果此时按照插入情况下的不平衡范型判断方法去判断 节点 11
的不平衡情况属于哪种范型,会发现无法满足四种范型的任一情况
特殊情况
由删除节点导致的不平衡,除了会出现插入中所说的四种范型之外,还会出现两种情况,如图:
整棵树初始状态为平衡状态,此时假设删除 节点 13
或 节点 14
,均会导致 节点 11
产生不平衡(左子树高度 3,右子树高度 1)
但是如果仍然按照插入时的方法来判断不平衡,则会发现,节点 4
的左右子树高度一致,即在满足了 L
后,后续无法判断这种情况属于哪种范型
对于 R
方向也是一样
本文称它们为 L 型
和 R 型
不过这两种情况的处理也很简单,实际上当出现这种情况时,使用 LL 型
或LR 型
的调整方法均可以达到使树重新平衡的目的
如图:
两种调整方式均可使树重新平衡,对于 R 型
也是一样,这里不再赘述
代码实现
public void remove(T key) {if (key == null) {throw new NullPointerException();
}
root = remove(root, key);
}
private Node<T> remove(Node<T> node, T key) {if (node == null) {return null;}
int cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp < 0) {node.left = remove(node.left, key);
}
if (cmp > 0){node.right = remove(node.right, key);
}
if (cmp == 0) {if (node.left == null || node.right == null) {return node.left == null ? node.right : node.left;}
var successorKey = successorOf(node).key;
node = remove(node, successorKey);
node.key = successorKey;
}
if (Math.abs(height(node.left) - height(node.right)) > MAX_HEIGHT_DIFFERENCE) {node = balance(node);
}
refreshHeight(node);
return node;
}
/**
* 寻找被删除节点的继承者
*/
private Node<T> successorOf(Node<T> node) {if (node == null) {throw new NullPointerException();
}
if (node.left == null || node.right == null) {return node.left == null ? node.right : node.left;}
return height(node.left) > height(node.right) ?
findMax(node.left, node.left.right, node.left.right == null) :
findMin(node.right, node.right.left, node.right.left == null);
}
private Node<T> findMax(Node<T> node, Node<T> right, boolean rightIsNull) {if (rightIsNull) {return node;}
return findMax((node = right), node.right, node.right == null);
}
private Node<T> findMin(Node<T> node, Node<T> left, boolean leftIsNull) {if (leftIsNull) {return node;}
return findMin((node = left), node.left, node.left == null);
}
其中用到的 private Node<T> balance(Node<T> node)
方法修改为:
private Node<T> balance(Node<T> node) {
Node<T> node1, node2;
// ll & l
if (height(node.left) > height(node.right) &&
height(node.left.left) >= height(node.left.right)) {
node1 = node.left;
node.left = node1.right;
node1.right = node;
refreshHeight(node);
return node1;
}
// lr
if (height(node.left) > height(node.right) &&
height(node.left.right) > height(node.left.left)) {
node1 = node.left;
node2 = node.left.right;
node.left = node2.right;
node1.right = node2.left;
node2.left = node1;
node2.right = node;
refreshHeight(node);
refreshHeight(node1);
return node2;
}
// rr & r
if (height(node.right) > height(node.left) &&
height(node.right.right) >= height(node.right.left)) {
node1 = node.right;
node.right = node1.left;
node1.left = node;
refreshHeight(node);
return node1;
}
// rl
if (height(node.right) > height(node.left) &&
height(node.right.left) > height(node.right.right)) {
node1 = node.right;
node2 = node.right.left;
node.right = node2.left;
node1.left = node2.right;
node2.left = node;
node2.right = node1;
refreshHeight(node);
refreshHeight(node1);
return node2;
}
return node;
}
也就是将 L 型
情况包含进了 LL 型
, R 型
的情况包含进了 RR 型
,因为这两种范式的调整要比对应的LR 型
/RL 型
的操作数少
总结
尽管删除节点时会出现特殊的情况,但是仍然可以通过简单的调整使树始终保持平衡
完整代码
/**
* AVL-Tree
*
* @author Shinobu
* @since 2019/5/7
*/
public class Tree<T extends Comparable<T>> {
private static final int MAX_HEIGHT_DIFFERENCE = 1;
private Node<T> root;
class Node<KT> {
KT key;
Node<KT> left;
Node<KT> right;
int height = 1;
public Node(KT key, Node<KT> left, Node<KT> right) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
public Tree(T... keys) {if (keys == null || keys.length < 1) {throw new NullPointerException();
}
root = new Node<>(keys[0], null, null);
for (int i = 1; i < keys.length && keys[i] != null; i++) {root = insert(root, keys[i]);
}
}
public T find(T key) {if (key == null || root == null) {return null;}
return find(root, key, key.compareTo(root.key));
}
private T find(Node<T> node, T key, int cmp) {if (node == null) {return null;}
if (cmp == 0) {return node.key;}
return find((node = cmp > 0 ? node.right : node.left),
key,
node == null ? 0 : key.compareTo(node.key));
}
public void insert(T key) {if (key == null) {throw new NullPointerException();
}
root = insert(root, key);
}
private Node<T> insert(Node<T> node, T key) {if (node == null) {return new Node<>(key, null, null);
}
int cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp == 0) {return node;}
if (cmp < 0) {node.left = insert(node.left, key);
} else {node.right = insert(node.right, key);
}
if (Math.abs(height(node.left) - height(node.right)) > MAX_HEIGHT_DIFFERENCE) {node = balance(node);
}
refreshHeight(node);
return node;
}
private int height(Node<T> node) {if (node == null) {return 0;}
return node.height;
}
private void refreshHeight(Node<T> node) {node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
private Node<T> balance(Node<T> node) {
Node<T> node1, node2;
// ll & l
if (height(node.left) > height(node.right) &&
height(node.left.left) >= height(node.left.right)) {
node1 = node.left;
node.left = node1.right;
node1.right = node;
refreshHeight(node);
return node1;
}
// lr
if (height(node.left) > height(node.right) &&
height(node.left.right) > height(node.left.left)) {
node1 = node.left;
node2 = node.left.right;
node.left = node2.right;
node1.right = node2.left;
node2.left = node1;
node2.right = node;
refreshHeight(node);
refreshHeight(node1);
return node2;
}
// rr & r
if (height(node.right) > height(node.left) &&
height(node.right.right) >= height(node.right.left)) {
node1 = node.right;
node.right = node1.left;
node1.left = node;
refreshHeight(node);
return node1;
}
// rl
if (height(node.right) > height(node.left) &&
height(node.right.left) > height(node.right.right)) {
node1 = node.right;
node2 = node.right.left;
node.right = node2.left;
node1.left = node2.right;
node2.left = node;
node2.right = node1;
refreshHeight(node);
refreshHeight(node1);
return node2;
}
return node;
}
public void remove(T key) {if (key == null) {throw new NullPointerException();
}
root = remove(root, key);
}
private Node<T> remove(Node<T> node, T key) {if (node == null) {return null;}
int cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp < 0) {node.left = remove(node.left, key);
}
if (cmp > 0){node.right = remove(node.right, key);
}
if (cmp == 0) {if (node.left == null || node.right == null) {return node.left == null ? node.right : node.left;}
var successorKey = successorOf(node).key;
node = remove(node, successorKey);
node.key = successorKey;
}
if (Math.abs(height(node.left) - height(node.right)) > MAX_HEIGHT_DIFFERENCE) {node = balance(node);
}
refreshHeight(node);
return node;
}
private Node<T> successorOf(Node<T> node) {if (node == null) {throw new NullPointerException();
}
if (node.left == null || node.right == null) {return node.left == null ? node.right : node.left;}
return height(node.left) > height(node.right) ?
findMax(node.left, node.left.right, node.left.right == null) :
findMin(node.right, node.right.left, node.right.left == null);
}
private Node<T> findMax(Node<T> node, Node<T> right, boolean rightIsNull) {if (rightIsNull) {return node;}
return findMax((node = right), node.right, node.right == null);
}
private Node<T> findMin(Node<T> node, Node<T> left, boolean leftIsNull) {if (leftIsNull) {return node;}
return findMin((node = left), node.left, node.left == null);
}
}
结语
AVL 树的实现,在了解了不平衡的六种情况,以及对应的处理方式后,还是比较简单且逻辑清晰的
本文实现的 AVL 树的增删查三种操作,全部基于递归的算法模式,考虑到在树足够大时递归的效率问题,本人尝试进行了一些尾递归优化,希望这能使操作效率更高一些
后续 也许 会学习并尝试实现一下红黑树,然后对比一下二者的效率
文章如果有谬误或疏漏,还请务必指正,感谢万分